ユークリッド位相幾何学

数学、特に一般位相幾何学において、ユークリッド位相は、${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ユークリッド距離によって。

ユークリッドノルム​$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$非負関数${\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$定義される $${\displaystyle \left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.}$$

すべての規範と同様に、それは次のように定義される標準的な計量を誘導します。${\displaystyle d(p,q)=\|pq\|.}$指標${\displaystyle d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ユークリッドノルムによって誘導される距離は、ユークリッド距離またはユークリッド計量と呼ばれ、点間の距離は${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$そして${\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}$は $${\displaystyle d(p,q)~=~\|pq\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.}$$

任意の距離空間において、開球はその空間上の位相の基礎を形成する。 ^{[ 1 ]} 上のユークリッド位相$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これは、これらの球によって生成される位相です。言い換えれば、ユークリッド位相の開集合は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$開球の（任意の）和集合によって与えられる${\displaystyle B_{r}(p)}$定義される${\displaystyle B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\},}$すべての現実のために${\displaystyle r>0}$そしてすべて${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n},}$どこ${\displaystyle d}$はユークリッド距離です。

この位相が備わっている場合、実数直線は${\displaystyle \mathbb {R} }$T ₅空間である。2 つの部分集合が与えられた場合、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$の${\displaystyle \mathbb {R} }$と${\displaystyle {\overline {A}}\cap B=A\cap {\overline {B}}=\varnothing ,}$どこ${\displaystyle {\overline {A}}}$閉包を表す${\displaystyle A,}$開集合が存在する${\displaystyle S_{A}}$そして${\displaystyle S_{B}}$と${\displaystyle A\subseteq S_{A}}$そして${\displaystyle B\subseteq S_{B}}$そのため${\displaystyle S_{A}\cap S_{B}=\varnothing .}$^{[ 2 ]}

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