前加法カテゴリ

数学、特に圏論において、前加法圏はAb 圏、すなわちアーベル群の圏Ab 上で強化された圏の別名です。つまり、Ab 圏C は、C内のすべてのホム集合Hom( A , B ) がアーベル群の構造を持ち、射の合成が群演算にわたって分配されるという意味で双線型であるような圏です。式では、 および + は群演算です。 $${\displaystyle f\circ (g+h)=(f\circ g)+(f\circ h)}$$$${\displaystyle (f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h),}$$

一部の著者は加法カテゴリという用語を前加法カテゴリに使用していますが、このページではこの用語を特定の特殊な前加法カテゴリにのみ使用します (以下の § 特殊なケースを参照)。

前加法カテゴリの最も明白な例は、カテゴリAb自体です。より正確には、Ab は閉じたモノイド カテゴリです。ここでは、可換性が重要であることに注意してください。可換性により、2 つのグループ準同型の和が再び準同型になることが保証されます。対照的に、すべてのグループのカテゴリは閉じていません。中位カテゴリを参照してください。

その他の一般的な例:

• 環R上の（左）加群のカテゴリ、特に：
  • 体K上のベクトル空間のカテゴリ。
• 環上の行列の代数。加法カテゴリの記事で説明されているカテゴリとして考えられます。
• 任意の環は、オブジェクトが 1 つだけのカテゴリとして考えられ、前加法カテゴリです。ここで、射の合成は環の乗算にすぎず、一意の hom 集合が基礎となるアーベル群です。

これらは、何を考えればよいかのヒントになります。その他の例については、以下の § 特殊なケースへのリンクを参照してください。

すべてのホム集合 Hom( A , B ) はアーベル群なので、零元 0 を持ちます。これはAからBへの零射です。射の合成は双線型なので、零射と他の射 (両側) の合成は別の零射でなければなりません。合成を乗算に類似したものと考えると、零による乗算は常に零の積になるということになり、これはよく知られた直感です。この類似性を拡張すると、合成が一般に双線型であるという事実は、乗算の加算に対する 分配性になります。

前加法圏の単一のオブジェクトAに注目すると、これらの事実は、環内の乗法を合成と定義すると、自己準同型ホム集合 Hom( A , A ) は環であることを示しています。この環はAの自己準同型環です。逆に、すべての環 (単位元を持つ) は、何らかの前加法圏の何らかのオブジェクトの自己準同型環です。実際、環Rが与えられた場合、単一のオブジェクトAを持つ前加法圏Rを定義し、 Hom( A , A ) をRとし、合成を環の乗法とすることができます。Rはアーベル群であり、環内の乗法は双線型 (分配的) であるため、R は前加法圏になります。圏論者は、環Rと圏R を同じものの 2 つの異なる表現と考えることが多いため、特にひねくれた圏論者は、環を、正確に1 つのオブジェクトを持つ前加法圏として定義することがあります (モノイドを1 つのオブジェクトだけを持つ圏として見ることができるのと同じように、環の加法構造を忘れるとモノイドになります)。

このように、前加法カテゴリは環の一般化として見ることができます。イデアル、ヤコブソンラジカル、因子環など、環理論の多くの概念は、この設定に簡単に一般化できます。これらの一般化を書き留めようとするときは、前加法カテゴリの射を「一般化された環」の「要素」として考える必要があります。

およびが前加法的なカテゴリである場合、関数はカテゴリ 上でも強化されている場合に加法的です。つまり、が加法的である場合、およびの任意のオブジェクトが与えられたときに、関数が群準同型 である場合に限ります。前加法的なカテゴリ間で研究される関数のほとんどは加法的です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F:C\rightarrow D}$${\displaystyle Ab}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))}$

簡単な例として、環と が1 つのオブジェクトの前加法カテゴリ と によって表される場合、からへの環準同型はからへの加法関数によって表され、その逆も同様です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C_{R}}$${\displaystyle C_{S}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C_{R}}$${\displaystyle C_{S}}$

と がカテゴリであり、 が前加法である場合、自然な変換を自然な方法で追加できるため、関数カテゴリも前加法です。も前加法である場合、加法関数のカテゴリとそれらの間のすべての自然変換も前加法です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{追加}}(C,D)}$

後者の例は、環上の加群の一般化につながります。 が前加法カテゴリである場合、 は上の加群カテゴリと呼ばれます。^{[要出典] が}環 に対応する 1 オブジェクト前加法カテゴリである場合、これは(左) -加群の通常のカテゴリに簡約されます。 繰り返しますが、加群の理論のほぼすべての概念をこの設定に一般化できます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Mod}}(C)\mathbin {:=} {\text{Add}}(C,Ab)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

より一般的には、可換環R上の加群のモノイド圏に富んだ圏C を考えることができます。これはR線型圏と呼ばれます。言い換えると、Cの各ホム集合はR加群の構造を持ち、射の合成はR双線型です。 ${\displaystyle {\text{ホム}}(A,B)}$

2 つのR線形カテゴリ間の関数を考える場合、多くの場合、関数はR線形、つまり各ホムセットに R線形マップを誘導するものに制限されます。

前加法カテゴリ内の有限 積は必ず余積でもあり、その逆も同様です。実際、前加法カテゴリ内の有限積と余積は、次の二積条件によって特徴付けることができます。

オブジェクトBがオブジェクトA ₁、...、A _nの副積であるための必要十分条件は、射影射p _j :  B  →  A _jと注入射i _j :  A _j  →  Bが存在し、 ( i ₁ ∘ p ₁ ) + ··· + ( i _n ∘ p _n ) がBの恒等射、p _j ∘ i _jがA _jの恒等射、そしてjとkが異なる場合にp _j ∘ i _kがA _kからA _jへの零射となることである。

この二重積は、直和の表記法を借用して、A ₁  ⊕ ··· ⊕  A _nと表記されることが多い。これは、 Abのようなよく知られた前加法圏の二重積が直和であるためである。しかし、Abのようないくつかの圏では無限直和は意味をなすが、無限二重積は意味をなさない（アーベル群の圏 § 特性 を参照）。

n  = 0の場合の二重積条件は大幅に単純化されます。つまり、Bが零重積となるのは、 Bの恒等射がBからそれ自身への零射である場合、またはホム集合 Hom( B , B ) が自明な環である場合のみです。零重積は終端(零重積) かつ始端(零重コ積)であるため、実際には零対象となります。実際、「零対象」という用語は、零対象が零群であるAbなどの前加法カテゴリの研究に由来しています。

すべての副積（ゼロオブジェクトを含む）が存在する前加法カテゴリは加法カテゴリと呼ばれます。加法カテゴリのコンテキストで主に役立つ副積に関するその他の事実は、その主題の下にあります。

前加法カテゴリのホム集合には零射があるため、核と余核の概念は 意味をなします。つまり、f :  A  →  Bが前加法カテゴリの射である場合、fの核はfとAからBへの零射の等化子で あり、 fの余核はfとこの零射の余等化子です。積と余積とは異なり、 fの核と余核は前加法カテゴリでは一般に等しくありません。

環上のアーベル群または加群の前加法カテゴリに特化する場合、この核の概念は、f :  A  →  Bの通常の核Kをその埋め込みK  →  Aと同一視すれば、準同型の核の通常の概念と一致します。ただし、一般的な前加法カテゴリでは、核や余核のない射が存在する場合があります。

核と余核とホム集合上のアーベル群構造の間には便利な関係がある。平行射fとg が与えられたとき、 fとgのイコライザーは、どちらかが存在する場合、 g  −  fの核そのものであり、余イコライザーについても同様のことが言える。バイナリイコライザーの別名「差分核」はこの事実に由来する。

すべての副積、核、余核が存在する前加法圏は前アーベル圏と呼ばれます。前加法圏の核と余核に関する、主に前アーベル圏の文脈で役立つさらなる事実は、その主題の下にあります。

これらの前加法カテゴリの特殊なケースのほとんどはすでに上で説明されていますが、ここでは参考のためにまとめています。

• 環は、正確に 1 つのオブジェクトを持つ前加法カテゴリです。
• 加法カテゴリは、すべての有限の副積を持つ前加法カテゴリです。
• 前アーベル圏は、すべての核と余核を持つ加法圏です。
• アーベル圏は、あらゆる単射とエピモーフィズムが正規となるような前アーベル圏です。

最も一般的に研究される前加法カテゴリは、実際にはアーベルカテゴリです。たとえば、Abはアーベルカテゴリです。

• ニコラエ・ポペスク; 1973;アーベル圏とその環と加群への応用; Academic Press, Inc.; 絶版
• チャールズ・ワイベル; 1994;ホモロジー代数入門; ケンブリッジ大学出版局