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数学において、環の積または環の直積とは、複数の環（場合によっては無限環）の基礎となる集合のデカルト積によって形成され、各要素ごとの演算を備えた環のことである。これは環の圏における直積である。
直積は同型を除いて定義されるため、ある環がいくつかの環の直積と同型である場合、その環はそれらの環の直積であると口語的に言う。例えば、中国剰余定理は次のように述べることができる。mとnが互いに素な整数である場合、商環ははそして
重要な例として、 nを法とする整数環Z / n Zがあります。nを素数のべき乗の積として表すと(算術の基本定理を参照)、
ここでp i は互いに異なる素数である。このとき、Z / n Zは自然に積と同型である。
これは中国剰余定理から導かれる。
R = Π i ∈ I R i が環の積である場合、 Iのすべてのiに対して、積をi番目の座標に射影する全射環準同型p i : R → R iが存在する。積Rと射影p iは、次の普遍性を持つ。
これは、環の積が圏論の意味での積の一例であることを示している。
Iが有限の場合、 Π i ∈ I R iの基礎となる加法群は、R iの加法群の直和と一致します。この場合、一部の著者はR を「環R iの直和」と呼び、⊕ i ∈ I R iと書きますが、これは通常、環の圏(単位元を持つ) の余積ではないため、圏論の観点からは正しくありません。たとえば、2 つ以上のR iが非自明な場合、包含写像R i → Rは 1 から 1 への写像にならず、したがって環準同型ではありません。
（可換環上の可換代数の圏における有限余積は、代数のテンソル積である。代数の圏における余積は、代数の自由積である。）
直積は、自然同型を除いて可換性と結合性を満たす。つまり、直積を構成する順序は関係ない。
Iの各iについてA iがR iのイデアルである場合、A = Π i ∈ I A iはRのイデアルです。Iが有限である場合、逆が成り立ちます。つまり、Rのすべてのイデアルはこの形式です。しかし、I が無限であり、環R iが自明でない場合、逆は偽です。非ゼロの座標が有限個以外すべてを持つ要素の集合は、R iのイデアルの直積ではないイデアルを形成します。イデアルAが R の素イデアルであるのは、A iのうち 1 つを除いてすべてがR iと等しく、残りのA iがR iの素イデアルである場合です。しかし、 Iが無限の場合、逆は成り立ちません。たとえば、R iの直和は、そのようなAに含まれないイデアルを形成しますが、選択公理により、それはある極大イデアルに含まれ、それは当然素イデアルであることがわかります。
Rの要素xは、そのすべての構成要素が単位である場合、すなわち、 Iのすべてのiに対してp i ( x ) がR iの単位である場合に限り、単位である。Rの単位群は、 R iの単位群の積である。
2 つ以上の非自明な環の積は、常にゼロでない零因子を持ちます。xが積の要素で、座標がすべてゼロであるがp i ( x ) を除く場合、y が積の要素で、座標がすべてゼロであるがp j ( y ) （i ≠ j）の場合、積環ではxy = 0 となります。
