微分代数

数学において、微分代数は、広義には、代数的対象としての微分方程式と微分演算子の研究からなる数学の領域であり、多項式代数は多項式方程式系の解の集合である代数多様体の研究に用いられるのと同様に、解を計算することなく微分方程式と微分演算子の特性を導くことを目的としている。ワイル代数とリー代数は微分代数に属すると考えられる。

より具体的には、微分代数は1950年にジョセフ・リットによって提唱された理論を指し、微分環、微分体、微分代数は有限個の微分を備えた環、体、代数である。^{[1] [2] [3]}

微分体の自然な例としては、複素数上の 1 変数の有理関数の体があり、ここでの微分は について微分することです。より一般的には、すべての微分方程式は、方程式に現れる (既知の) 関数によって生成される微分体上の微分代数の要素として見ることができます。 ${\displaystyle \mathbb {C} (t),}$${\displaystyle t.}$

ジョセフ・リットは、微分方程式系をさまざまな標準形に還元する試みは不十分なアプローチであると考えて、微分代数を考案しました。しかし、代数的消去法と代数多様体理論の成功により、リットは微分方程式に対して同様のアプローチを検討するようになりました。^[4] 彼の努力は、最初の論文「代数微分方程式系によって定義される関数の多様体」と2冊の本「代数的立場からの微分方程式」と「微分代数」につながりました。^{[5] [6] [2]リットの学生であった} エリス・コルチンは、この分野を発展させ、「微分代数と代数群」を出版しました。^[1]

環上の微分は 、次のような 関数であり 、 ${\textstyle \partial }$${\textstyle R}$ ${\displaystyle \partial :R\to R\,}$$${\displaystyle \partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}}$$

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad }$（ライプニッツの積の法則）、

それぞれについて、そして${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle R.}$

これらの恒等式は整数に対して線形であり、${\displaystyle \partial (0)=\partial (1)=0}$${\displaystyle \partial (-r)=-\partial (r).}$

微分環は、一つ以上の微分が対ごとに可換である可換環 である。つまり、すべての微分対とすべての^[7]微分が1つしかない場合は、通常微分環と呼ばれることが多い。それ以外の場合は、偏微分環と呼ばれる。${\displaystyle R}$$${\displaystyle \partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))}$$${\displaystyle r\in R.}$

微分体とは、体でもある微分環のことである。微分体上の微分代数 は、 を部分環として含み、の微分に対する の制限が の微分に等しい微分環である（ が体でない場合をカバーし、 が体である場合は本質的に同値となる、より一般的な定義が以下に示される）。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

ウィット代数は、有理数体を含む微分環です。同様に、これは 上の微分代数です。なぜなら は、すべての微分が零関数である微分体と見なすことができるからです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

微分環の定数は、あらゆる微分に対して、微分環の定数が部分環を形成し、微分可能体の定数が部分体を形成するような元である。[ 8 ]この「定数^{」の意味は}定数関数の概念を一般化したものであり、定数の一般的な意味と混同してはならない。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \partial r=0}$${\displaystyle \partial .}$

次の恒等式では、は微分環の導出である^[9]${\displaystyle \delta }$${\displaystyle R.}$

• およびが（つまり、 ）における定数である場合、${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle c}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \delta c=0}$$${\displaystyle \delta (cr)=c\delta (r).}$$
• とが単位である場合、 ${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle u}$${\displaystyle R,}$$${\displaystyle \delta \left({\frac {r}{u}}\right)={\frac {\delta (r)u-r\delta (u)}{u^{2}}}}$$
• が非負の整数である場合、${\displaystyle n}$${\displaystyle r\in R}$$${\displaystyle \delta (r^{n})=nr^{n-1}\delta (r)}$$
• が単位であり、が整数である場合、対数微分恒等式が成り立ちます。${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {\delta (u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}}}}=e_{1}{\frac {\delta (u_{1})}{u_{1}}}+\dots +e_{n}{\frac {\delta (u_{n})}{u_{n}}}.}$$

微分演算子または高階微分^[要出典]は、複数の微分を合成したものである。微分環の微分は可換であると想定されるため、微分の順序は重要ではなく、微分演算子は次のように記述される。ここで、 は 検討中の微分であり、は非負の整数であり、微分の指数は、この微分が演算子内で合成される回数を表す。 $${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}},}$$${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{n}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

和は導出の順序と呼ばれます。導出演算子が元の導出の 1 つである場合。 の場合、恒等関数があり、これは一般に 0 次導出演算子として一意であると考えられています。 これらの規則により、導出演算子は、検討中の導出の集合上で 自由可換モノイドを形成します。${\displaystyle o=e_{1}+\cdots +e_{n}}$${\displaystyle o=1}$${\displaystyle o=0}$

微分環の元の微分は微分演算子の適用であり、上記の表記法を用いると、真微分は正の位数の微分である。^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(x).}$

微分環の微分イデアルは 、環の微分に関して閉じている（安定している）環のイデアルです。つまり、すべての微分とすべてのに対して です。微分イデアルは、それが環全体でない場合は適切であると言われます。混乱を避けるために、微分イデアルではないイデアルは、代数イデアルと呼ばれることがあります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\textstyle \partial x\in I,}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle x\in I.}$

微分イデアルの根号は、代数イデアルとしての根号、つまりイデアル内で冪を持つ環元の集合と同じである。微分イデアルの根号も微分イデアルである。根号微分イデアルまたは完全微分イデアルは、その根号に等しい微分イデアルである。^[10]素微分イデアルは、通常の意味で素である微分イデアルである。つまり、積がイデアルに属する場合、少なくとも1つの因数がイデアルに属する。素微分イデアルは常に根号微分イデアルである。

リットの発見は、代数的イデアルの古典的な理論は微分的イデアルには適用できないが、その大部分は根元微分的イデアルに拡張でき、これによって根元微分的イデアルが微分代数学において基本的なものになるというものである。

任意の微分イデアル族の交点は微分イデアルであり、任意の根元微分イデアル族の交点は根元微分イデアルである。^[11]微分環の 部分集合が与えられた場合、それによって生成されるイデアルは 3 つ存在し、それぞれそれを含むすべての代数イデアル、すべての微分イデアル、すべての根元微分イデアルの交点となる。^{[11] [12]}${\displaystyle S}$

によって生成される代数的イデアルは、の元の有限線形結合の集合であり、一般的にはまたはと表記される。${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle (S)}$${\displaystyle \langle S\rangle .}$

によって生成される微分イデアルは、 の元とこれらの元の任意の次数の導関数の有限線形結合の集合です。これは通常 と表記されます。 が有限である場合、は一般に代数イデアルとして 有限生成されません。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [S].}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [S]}$

によって生成される根号微分イデアルは、一般に と表記されます。他の 2 つの場合と同様にその要素を特徴付ける方法は知られていません。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \{S\}.}$

微分体上の微分多項式は、方程式に現れる既知の関数が に属し、未定値が未知の関数の記号である ような微分方程式の概念の形式化です。${\displaystyle K}$${\displaystyle K,}$

そこで、を微分体とします。これは通常 (必ずしもそうとは限りませんが)有理分数(多変数多項式の分数) の体であり、 および のような導関数 (通常の偏導関数) を備え ています。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(X)=K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle \partial _{i}x_{i}=1}$${\displaystyle \partial _{i}x_{j}=0}$${\displaystyle i\neq j}$

上の不定値を持つ微分多項式環を微分付きで定義するために、形の無限の新しい不定値を導入する。 ここで は1以上の任意の微分演算子である。この表記法では、はこれらすべての不定値を持つ多項式の集合であり、自然な微分を持つ（各多項式には有限個の不定値のみが含まれる）。特に、${\textstyle K\{Y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Y=\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n},}$${\displaystyle \Delta y_{i},}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle K\{Y\}}$${\displaystyle n=1,}$

${\displaystyle K\{y\}=K\left[y,\partial y,\partial ^{2}y,\partial ^{3}y,\ldots \right].}$

微分多項式の環がネーター環でない場合でも、この多項式環の一般化の理論は困難になります。しかし、2 つの事実により、このような一般化が可能になります。 ${\displaystyle n=1,}$

まず、有限個の微分多項式には、有限個の不定値が一緒に含まれます。したがって、有限個の多項式を含む多項式のすべての特性は、微分多項式にも当てはまります。特に、最大公約数が存在し、微分多項式の環は一意の因数分解領域です。

2 つ目の事実は、体が有理数体を含む場合、微分多項式の環は根元微分イデアル上の上昇連鎖条件を満たすということです。このリットの定理は、リット代数(つまり、有理数体を含む微分環)が根元微分イデアル上の上昇連鎖条件を満たす場合、 ^{[13]微分多項式の環は同じ性質を満たす (定理を}繰り返し適用することで、一変量の場合から多変量の場合に移行します)と主張する、リット-ラウデンブッシュ基底定理と呼ばれることもある一般化によって示唆されます。^{[14] [15]}${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R\{y\}}$

このネーター的性質は、微分多項式の環において、すべての根元微分イデアルIが根元微分イデアルとして有限生成であることを意味する。つまり、微分多項式の有限集合Sが存在し、 I がS を含む最小の根元微分イデアルであることを意味する。^[16]これにより、根元微分イデアルをそのような有限集合の生成元で表し、これらのイデアルを使って計算することが可能になる。しかし、代数的な場合の通常の計算には拡張できないものがある。特に、根元微分イデアルの要素のメンバーシップや、2つの根元微分イデアルの等式をテストするアルゴリズムは知られていない。

ネーターの性質のもう一つの結果は、根元微分イデアルは、そのイデアルの本質的素成分と呼ばれる有限個の素微分イデアルの交差として一意に表現できることである。 ^[17]

消去法は、微分方程式のセットから指定された導関数のセットを優先的に消去するアルゴリズムであり、通常は微分方程式のセットをよりよく理解して解くために行われます。

消去法のカテゴリには、特性集合法、微分グレブナー基底法、結果ベース法などがある。^{[1] [18] [19] [20] [21] [22] [23]}

消去アルゴリズムで使用される一般的な操作には、1) 導関数、多項式、および多項式セットのランク付け、2) 多項式の主要な導関数、初期値、および分離値の識別、3) 多項式の削減、および 4) 特殊な多項式セットの作成が含まれます。

導関数の順位は全順序と許容順序であり、次のように定義される: ^{[24] [25] [26]}

${\textstyle \forall p\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :\theta _{\mu }p>p.}$

${\textstyle \forall p,q\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :p\geq q\Rightarrow \theta _{\mu }p\geq \theta _{\mu }q.}$

各導関数は整数組を持ち、単項式順序は導関数の整数組を順位付けすることによって導関数を順位付けする。整数組は微分不定値、導関数の多重指数を識別し、導関数の順序を識別する場合もある。順位付けの種類には以下が含まれる: ^[27]

• 順位順：${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ \operatorname {ord} (\theta _{\mu })\geq \operatorname {ord} (\theta _{\nu })\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}$
• 敗退順位:${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ y_{i}\geq y_{j}\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}$

この例では、整数タプルは微分不定値と導関数の多重インデックスを識別し、辞書式単項式順序、、は導関数のランクを決定します。^[28]${\textstyle \geq _{\text{lex}}}$

${\displaystyle \eta (\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(y_{j}))=(j,e_{1},\ldots ,e_{n})}$。

${\displaystyle \eta (\theta _{\mu }y_{j})\geq _{\text{lex}}\eta (\theta _{\nu }y_{k})\Rightarrow \theta _{\mu }y_{j}\geq \theta _{\nu }y_{k}.}$

これは標準的な多項式の形である。^{[24] [28]}${\displaystyle p=a_{d}\cdot u_{p}^{d}+a_{d-1}\cdot u_{p}^{d-1}+\cdots +a_{1}\cdot u_{p}+a_{0}}$

• リーダーまたは主要導関数は、多項式の最高位の導関数です。${\displaystyle u_{p}}$
• 係数には 主導関数は含まれません。${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{0}}$${\textstyle u_{p}}$
• 多項式の次数は、主導関数の最大指数です。${\displaystyle \deg _{u_{p}}(p)=d}$
• 初期値は係数です: 。${\displaystyle I_{p}=a_{d}}$
• 階数は、多項式の次数まで上げられた主導関数です。${\displaystyle u_{p}^{d}}$
• 分離子は導関数です:。${\displaystyle S_{p}={\frac {\partial p}{\partial u_{p}}}}$

分離集合は、初期集合は、結合集合は である。^[29]${\displaystyle S_{A}=\{S_{p}\mid p\in A\}}$${\displaystyle I_{A}=\{I_{p}\mid p\in A\}}$${\textstyle H_{A}=S_{A}\cup I_{A}}$

多項式 に関する部分的に簡約された（部分正規形）多項式は、これらの多項式が非基底体要素であり、の適切な導関数を含まないことを示す。^{[30] [31] [29]}${\textstyle q}$${\textstyle p}$${\textstyle p,q\in {\mathcal {K}}\{Y\}\setminus {\mathcal {K}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle u_{p}}$

多項式 に関する部分約多項式は、におけるの次数がにおけるの次数より小さい場合、に関する約（正規形）多項式になる 。^{[30] [31] [29]}${\textstyle q}$${\textstyle p}$${\textstyle q}$${\textstyle p}$${\textstyle u_{p}}$${\textstyle q}$${\textstyle u_{p}}$${\textstyle p}$

自己簡約多項式集合では、すべての多項式がその集合内の他のすべての多項式に対して簡約されます。すべての自己簡約集合は有限です。自己簡約集合は三角形であり、各多項式要素には異なる主導関数があります。^{[32] [30]}

リットの縮約アルゴリズムは整数を識別し、擬似除法を使用して微分多項式を、自動縮約多項式セットに関して縮約されるより低いまたは同等のランクの剰余多項式に変換する。アルゴリズムの最初のステップでは入力多項式を部分的に縮約し、アルゴリズムの2番目のステップでは多項式を完全に縮約する。縮約の式は次の通りである: ^[30]${\textstyle i_{A_{k}},s_{A_{k}}}$${\textstyle f}$${\textstyle f_{red}}$${\textstyle A}$

${\displaystyle f_{\text{red}}\equiv \prod _{A_{k}\in A}I_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot S_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot f,{\pmod {[A]}}{\text{ with }}i_{A_{k}},s_{A_{k}}\in \mathbb {N} .}$

集合が微分連鎖であるとは、主導関数の階数が[ ^33]に関して減じられることである。${\textstyle A}$${\textstyle u_{A_{1}}<\dots <u_{A_{m}}}$${\textstyle \forall i,\ A_{i}}$${\textstyle A_{i+1}}$

自動縮小集合にはそれぞれランク付けされた多項式要素が含まれています。この手順では、両方の自動縮小集合から同じインデックスの多項式のペアを比較することにより、2つの自動縮小集合をランク付けします。^[34]${\textstyle A}$${\textstyle B}$

• ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}\in A}$そしてそして。${\displaystyle B_{1}<\cdots <B_{n}\in B}$${\displaystyle i,j,k\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle {\text{rank }}A<{\text{rank }}B}$およびに対してとなるようなが存在する場合。${\displaystyle k\leq \operatorname {minimum} (m,n)}$${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$${\textstyle 1\leq i<k}$${\displaystyle A_{k}<B_{k}}$
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A<\operatorname {rank} B}$の場合、およびの場合。${\displaystyle n<m}$${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} B}$の場合、およびの場合。${\displaystyle n=m}$${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

特性集合 とは、その部分集合多項式分離項がイデアルの要素でないすべての自己簡約部分集合の中で、最も順位の低い自己簡約部分集合のことである。^[35]${\textstyle C}$${\textstyle {\mathcal {I}}}$

デルタ多項式は、共通の導関数 を共有する多項式ペアに適用されます。多項式ペアの主導関数の最小共通導関数演算子は であり、デルタ多項式は次のように表されます。^{[36] [37]}${\textstyle p,q}$${\textstyle \theta _{\alpha }u_{p}=\theta _{\beta }u_{q}}$${\textstyle \theta _{pq}}$

${\displaystyle \operatorname {\Delta -poly} (p,q)=S_{q}\cdot {\frac {\theta _{pq}p}{\theta _{p}}}-S_{p}\cdot {\frac {\theta _{pq}q}{\theta _{q}}}}$

コヒーレント集合とは、デルタ多項式対をゼロにする多項式集合である。^{[36] [37]}

正則系には、 自己簡約かつ首尾一貫した微分方程式の集合と、その方程式の集合に関して簡約された不等式集合が含まれる。 ^[37]${\textstyle \Omega }$${\textstyle A}$${\textstyle H_{\Omega }\supseteq H_{A}}$${\textstyle H_{\Omega }}$

正則微分イデアルと正則代数イデアルは、正則系から生じる飽和イデアルである。 ^[37]ラザードの補題によれば、正則微分イデアルと正則代数イデアルは根基イデアルである。^[38]${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}}$${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}}$

• 正規微分イデアル:${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}=[A]:H_{\Omega }^{\infty }.}$
• 正規代数イデアル:${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}=(A):H_{\Omega }^{\infty }.}$

ローゼンフェルド-グレブナーアルゴリズムは、根微分イデアルを正則根微分イデアルの有限集合として分解する。特性集合で表されるこれらの正則微分根微分イデアルは必ずしも素イデアルではなく、表現は必ずしも極小ではない。^[39]

帰属問題とは、微分多項式が微分多項式の集合から生成されるイデアルの元であるかどうかを判断することである。ローゼンフェルド・グレブナーアルゴリズムはグレブナー基底の集合を生成する。このアルゴリズムは、部分約分剰余多項式がグレブナー基底によって生成される代数イデアルの元である場合にのみ、多項式がイデアルの元であると判断する。^[40]${\textstyle p}$${\textstyle S}$

ローゼンフェルド・グレブナーアルゴリズムは微分方程式の解のテイラー級数展開を容易に作成します。 ^[41]

例 1:は単一の標準微分を持つ微分有理型関数体です。 ${\textstyle (\operatorname {Mer} (\operatorname {f} (y),\partial _{y}))}$

例 2: は、任意の多項式 に対して、線型微分演算子を導出とする微分体です。 ${\textstyle (\mathbb {C} \{y\},p(y)\cdot \partial _{y})}$${\displaystyle p(y)}$

多項式 のシフト演算子として定義します。 ${\textstyle E^{a}(p(y))=p(y+a)}$ ${\textstyle E^{a}}$${\textstyle p(y)}$

シフト不変演算子はシフト演算子と可換です。 ${\textstyle T}$${\textstyle E^{a}\circ T=T\circ E^{a}}$

シフト不変演算子の微分であるピンチャール微分はである。^[42]${\textstyle T}$${\textstyle T^{\prime }=T\circ y-y\circ T}$

整数環は であり、すべての整数は定数です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} .\delta )}$

• 1 の導出はゼロです。${\textstyle \delta (1)=\delta (1\cdot 1)=\delta (1)\cdot 1+1\cdot \delta (1)=2\cdot \delta (1)\Rightarrow \delta (1)=0}$
• また、。${\displaystyle \delta (m+1)=\delta (m)+\delta (1)=\delta (m)\Rightarrow \delta (m+1)=\delta (m)}$
• 帰納的に、.${\displaystyle \delta (1)=0\ \wedge \ \delta (m+1)=\delta (m)\Rightarrow \forall \ m\in \mathbb {Z} ,\ \delta (m)=0}$

有理数体は であり、すべての有理数は定数です。 ${\displaystyle (\mathbb {Q} .\delta )}$

• すべての有理数は整数の商です。

  ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Q} ,\ \exists \ a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} /\{0\},\ r={\frac {a}{b}}}$

• 整数の微分はゼロであることを認識しながら、商の微分式を適用します。

  ${\displaystyle \delta (r)=\delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {\delta (a)\cdot b-a\cdot \delta (b)}{b^{2}}}=0}$。

定数は定数の部分環 を形成する。^[43]${\textstyle (\mathbb {C} ,\partial _{y})\subset (\mathbb {C} \{y\},\partial _{y})}$

要素は単に微分環に微分イデアルを生成する。^[44]${\textstyle \exp(y)}$${\textstyle [\exp(y)]}$${\textstyle (\mathbb {C} \{y,\exp(y)\},\partial _{y})}$

単位元を持つ環はどれも代数である。^[45] したがって微分環は代数である。 ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$

環が単位環の中心の部分環であれば、環は代数である。^[45] したがって、微分環はその微分部分環上の代数である。これが部分環上の代数の自然な構造である。 ^[30]${\textstyle {\mathcal {R}}}$${\textstyle {\mathcal {M}}}$${\textstyle {\mathcal {M}}}$${\textstyle \operatorname {{\mathcal {R}}-} }$

リングには、 (通常の、平方自由) および(特殊な、理想的な生成元)という既約多項式があります。 ${\textstyle (\mathbb {Q} \{y,z\},\partial _{y})}$${\textstyle p}$${\textstyle q}$

${\textstyle \partial _{y}(y)=1,\ \partial _{y}(z)=1+z^{2},\ z=\tan(y)}$

${\textstyle p(y)=1+y^{2},\ \partial _{y}(p)=2\cdot y,\ \gcd(p,\partial _{y}(p))=1}$

${\textstyle q(z)=1+z^{2},\ \partial _{y}(q)=2\cdot z\cdot (1+z^{2}),\ \gcd(q,\partial _{y}(q))=q}$

環には導関数があり、${\textstyle (\mathbb {Q} \{y_{1},y_{2}\},\delta )}$${\textstyle \delta (y_{1})=y_{1}^{\prime }}$${\textstyle \delta (y_{2})=y_{2}^{\prime }}$

• 各導関数を整数タプルにマッピングします。${\textstyle \eta (\delta ^{(i_{2})}(y_{i_{1}}))=(i_{1},i_{2})}$
• ランク導関数と整数タプル: .${\textstyle y_{2}^{\prime \prime }\ (2,2)>y_{2}^{\prime }\ (2,1)>y_{2}\ (2,0)>y_{1}^{\prime \prime }\ (1,2)>y_{1}^{\prime }\ (1,1)>y_{1}\ (1,0)}$

主な派生語、頭文字は次のとおりです。

${\textstyle p={\color {Blue}(y_{1}+y_{1}^{\prime })}\cdot ({\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }})^{2}+3\cdot y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle q={\color {Blue}(y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime })}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+y_{1}\cdot y_{2}^{\prime }+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle r={\color {Blue}(y_{1}+3)}\cdot ({\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }})^{2}+y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }}+2\cdot y_{1}}$

${\textstyle S_{p}=2\cdot (y_{1}+y_{1}^{\prime })\cdot y_{2}^{\prime \prime }+3\cdot y_{1}^{2}}$。

${\textstyle S_{q}=y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime }}$

${\textstyle S_{r}=2\cdot (y_{1}+3)\cdot y_{1}^{\prime \prime }+y_{1}^{2}}$

• 自動簡約集合はおよび です。各集合は、異なる多項式主導関数を持つ三角形です。${\textstyle \{p,r\}}$${\textstyle \{q,r\}}$
• 非自動縮約集合には、に関して部分的に縮約された のみが含まれます。多項式は同じ主導関数を持つため、この集合は非三角形です。${\textstyle \{p,q\}}$${\textstyle p}$${\textstyle q}$

記号積分では、エルミート還元、チコフスキーアルゴリズム、ラザード・リオブー・トレーガーアルゴリズム、ホロウィッツ・オストログラツキーアルゴリズム、平方分解、特殊多項式と通常多項式への分割分解など、多項式とその導関数を含むアルゴリズムが使用されます。^[46]

微分代数は、微分多項式方程式の集合が解を持つかどうかを判定できる。全順序順位は代数的制約を識別できる。消去順位は、1つまたは選択された独立変数のグループが微分方程式を表現できるかどうかを判定できる。三角分解と消去順序を使用すると、段階的な方法で一度に1つの微分不定項を微分方程式で解くことができる可能性がある。別のアプローチは、既知の解形式を持つ微分方程式のクラスを作成することである。微分方程式をそのクラスと一致させることで方程式の解が特定される。微分代数方程式系の数値積分を容易にする方法が利用可能である。^[47]

カオスを伴う非線形動的システムの研究では、研究者らは微分消去法を用いて、微分方程式を単一の状態変数を含む常微分方程式に簡約した。ほとんどの場合に成功し、これにより近似解の開発、カオスの効率的な評価、およびリャプノフ関数の構築が容易になった。^[48] 研究者らは、細胞生物学、コンパートメント生化学モデル、パラメータ推定、生化学反応の準定常状態近似（QSSA）の理解に微分消去法を応用した。^{[49] [50]微分グレブナー基底を使用して、研究者らは}非線形微分方程式の非古典的な対称性特性を 調査した。^[51] その他の応用には、制御理論、モデル理論、代数幾何学などがある。^{[52] [16] [53]} 微分代数は微分差分方程式にも適用される。^[54]

ベクトル空間は整数次数のベクトル空間の集合である。この次数付きベクトル空間は直和で表すことができる。 ^[55]${\textstyle \operatorname {\mathbb {Z} -graded} }$ ${\textstyle V_{\bullet }}$${\textstyle V_{m}}$ ${\textstyle |v|=m}$${\textstyle v\in V_{m}}$

${\displaystyle V_{\bullet }=\bigoplus _{m\in \mathbb {Z} }V_{m}}$

微分次数付きベクトル空間または鎖複素数とは、との微分写像または境界写像を持つ次数付きベクトル空間である。^[56]${\textstyle V_{\bullet }}$ ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m-1}}$${\displaystyle d_{m}\circ d_{m+1}=0}$

コチェーン複体とは、との微分写像または共境界写像を持つ次数付きベクトル空間である。^[56]${\textstyle V^{\bullet }}$ ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m+1}}$${\displaystyle d_{m+1}\circ d_{m}=0}$

微分次数代数は、次数ライプニッツ積分則に従う線型微分を持つ次数代数である。 ^[57]${\textstyle A}$${\textstyle d:A\to A}$${\displaystyle d\circ d=0}$

• 次数付きライプニッツ積分則:ベクトルの次数を持つ。${\displaystyle \forall a,b\in A,\ d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+(-1)^{|a|}\cdot a\cdot d(b)}$${\displaystyle |a|}$${\displaystyle a}$

リー代数は、歪対称性とヤコビ恒等式を持つ双線型括弧演算子を持つ有限次元の実数または複素数ベクトル空間である。^[58]${\textstyle {\mathcal {g}}}$${\textstyle [,]:{\mathcal {g}}\times {\mathcal {g}}\to {\mathcal {g}}}$

• 歪んだ対称性:${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• ヤコビ恒等式の性質:${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$

すべてに対して。 ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {g}}}$

随伴演算子は括弧の微分である。なぜなら随伴演算子の二項括弧演算への影響は、微分が二項積演算に与える影響と類似しているからである。これはによって決定される内部微分である。^{[59] [60]}${\textstyle \operatorname {ad_{X}} (Y)=[Y,X]}$${\textstyle X}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}([Y,Z])=[\operatorname {ad} _{X}(Y),Z]+[Y,\operatorname {ad} _{X}(Z)]}$

リー代数の普遍包絡代数は 、単位元を持つ最大結合代数であり、リー代数の元によって生成され、括弧演算によって定義される積を含む。最大とは、線型準同型が普遍代数を、それ以外の点でこれらの特性を持つ他の代数に写像することを意味する。随伴演算子は、ライプニッツの積の規則に従う導出である。^[61]${\textstyle U({\mathcal {g}})}$${\textstyle {\mathcal {g}}}$${\textstyle {\mathcal {g}}}$

• 製品 ：${\displaystyle U({\mathcal {g}})}$${\displaystyle X\cdot Y-Y\cdot X=[X,Y]}$
• ライプニッツの積の法則:${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y\cdot Z)=\operatorname {ad} _{X}(Y)\cdot Z+Y\cdot \operatorname {ad} _{X}(Z)}$

すべてに対して。 ${\displaystyle X,Y,Z\in U({\mathcal {g}})}$

ワイル代数は、特定の非可換積を持つ 環上の代数である: ^[62]${\textstyle A_{n}(K)}$${\textstyle K[p_{1},q_{1},\dots ,p_{n},q_{n}]}$

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{i}-q_{i}\cdot p_{i}=1,\ :\ i\in \{1,\dots ,n\}}$。

他のすべての不定積は に対して可換である: ${\textstyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot p_{i}=0{\text{ if }}i\neq j,\ p_{i}\cdot p_{j}-p_{j}\cdot p_{i}=0,\ q_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot q_{i}=0}$。

ワイル代数は可換環の多項式の微分を表現することができる。ワイル代数の元は自己準同型であり、元は標準微分として機能し、写像合成は線型微分作用素を生成する。D 加群は微分作用素を理解するための関連するアプローチである。自己準同型は以下の通りである: ^[62]${\textstyle f\in K[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$${\textstyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$

${\displaystyle q_{j}(y_{k})=y_{j}\cdot y_{k},\ q_{j}(c)=c\cdot y_{j}{\text{ with }}c\in K,\ p_{j}(y_{j})=1,\ p_{j}(y_{k})=0{\text{ if }}j\neq k,\ p_{j}(c)=0{\text{ with }}c\in K}$

結合的かつ非可換な環は微分を持つ。^[63]${\textstyle A}$${\textstyle d:A\to A}$

擬微分作用素 環は 環元を含む左である: ^{[63] [64] [65]}${\textstyle A((\partial ^{-1}))}$${\textstyle \operatorname {A-module} }$${\textstyle L}$

${\displaystyle a_{i}\in A,\ i,i_{\min }\in \mathbb {N} ,\ |i_{\min }|>0\ :\ L=\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}}$

微分演算子はである。^[63]${\textstyle d(a)=\partial \circ a-a\circ \partial }$

二項係数はです。 ${\displaystyle {\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}}$

擬似微分演算子の乗算は^{[63]である。}

${\displaystyle \sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}\cdot \sum _{j\geq j_{\min }}^{m}b_{i}\cdot \partial ^{j}=\sum _{i,j;k\geq 0}{\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}\cdot a_{i}\cdot d^{k}(b_{j})\cdot \partial ^{i+j-k}}$

リットの問題は、特性集合が両方のイデアルを識別するときに、1つの素微分イデアルが2番目の素微分イデアルを含むかどうかを決定するアルゴリズムが存在するかどうかを問うものである。^[66]

コルチンカテナリー予想は、次元の既約微分代数多様体と任意の点が与えられたとき、VからVにかけて既約微分代数部分多様体の長いギャップ連鎖が発生することを述べている^。[67]${\textstyle d>0}$${\textstyle V}$${\textstyle p\in V}$${\textstyle p}$

ヤコビ境界予想は、微分多様体の既約成分の位数の上限に関する予想である。多項式の位数はヤコビ数を決定し、ヤコビ数がこの上限を決定するという予想である。^[68]

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