デデキントドメイン

抽象代数学において、リチャード・デデキントにちなんで名付けられたデデキント域またはデデキント環は、すべての非零の真イデアルが素イデアルの積に因数分解される整域である。そのような因数分解は因数の順序まで必ず一意であることが示される。デデキント域には、定義として採用されることがある他の特徴付けが少なくとも 3 つある。以下を参照。

体とは、非自明な真イデアルが存在しない可換環であり、したがって任意の体はデデキント域であるが、かなり空虚な方法である。一部の著者は、デデキント域が体ではないという要件を追加している。さらに多くの著者は、体の場合に自明な変更が必要になる可能性があるという暗黙の但し書きを付けてデデキント域の定理を述べている。

定義から直接得られる結果は、すべての主イデアル領域(PID) がデデキント領域であるということです。実際、デデキント領域は、PID である場合にのみ、 一意因数分解領域(UFD) になります。

19 世紀には、高次の代数的数の環を用いて多項式方程式の整数解を解明することが一般的な手法となりました。たとえば、正の整数を固定します。どの整数が二次形式によって表されるかを判断するには、二次形式を に因数分解するのが自然です。因数分解は、二次形式の整数環で行われます。同様に、正の整数 の場合、多項式(フェルマー方程式を解くのに関連) は、環 上で因数分解できます。ここで、 は の原始n乗根です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$${\displaystyle \zeta_{n}}$

およびのいくつかの小さな値に対して、これらの代数的整数の環は PID であり、これはフェルマー( ) とオイラー( ) の古典的な成功の説明として見ることができます。この時までに、与えられた二次体のすべての代数的整数の環が PID であるかどうかを判断する手順は、二次形式理論家にはよく知られていました。特に、ガウスは虚二次体の場合に注目しました。彼は、整数の環が PID である のちょうど 9 つの値を見つけ、それ以上の値は存在しないと予想しました。 (ガウスの予想は、100 年以上後にカート・ヒーグナー、アラン・ベイカー、ハロルド・スタークによって証明されました。) ただし、これは二次形式の同値類の言語で (のみ) 理解されていたため、特に二次形式とフェルマー方程式の類似性は認識されていなかったようです。 1847 年、ガブリエル ラメはフェルマーの最終定理のすべての に対する解、すなわちフェルマー方程式には非ゼロの整数に対する解がないという解を発表しましたが、彼の解は円分環が UFD であるという仮定に依存していることが判明しました。 エルンスト クンマーは3 年前に、 についてはこれが当てはまらないことを示していました( が UFD である値の完全で有限なリストは現在わかっています)。同時に、クンマーは、環がデデキント領域であるという事実として現在認識されているものを使用して、少なくとも大規模な素指数クラスについてフェルマーの最終定理を証明する強力な新しい方法を開発しました。実際、クンマーはイデアルではなく「イデアル数」を扱っており、イデアルの現代的な定義はデデキントによって与えられました。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m=1,n=4}$${\displaystyle m=2,3,n=3}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$${\displaystyle D<0}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$${\displaystyle n=23}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$

20 世紀までに、代数学者と数論学者は、PID であるための条件はかなり微妙であるのに対し、デデキント領域であるための条件は非常に堅牢であることに気付くようになりました。たとえば、通常の整数の環は PID ですが、上で見たように、数体における代数的整数の環は PID である必要はありません。実際、ガウスは、の整数の環がPID となるような素数が無限に存在すると予想しましたが、 が PID となるような数体(任意の次数)が無限に存在するかどうかはまだわかっていません。一方、数体における整数の環は常にデデキント領域です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

デリケート/ロバスト二分法のもう 1 つの例は、デデキント領域がネーター領域の中で局所的な特性であるという事実です。ネーター領域がデデキントであるためには、局所化のあらゆる極大イデアルがデデキント環である必要があります。しかし、局所領域がデデキント環であるためには、それが PID であるためには、それが離散評価環(DVR) である必要があります。そのため、同じ局所的な特徴付けは PID には当てはまりません。むしろ、デデキント環の概念はDVR の概念の グローバル化であると言えます。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{M}}$

体ではない整域の場合、以下の条件はすべて同値である: ^[1]${\displaystyle R}$

(DD1)ゼロ以外のすべての真イデアルは素因数分解されます。

(DD2) はネーターであり、各最大イデアルにおける局所化は離散評価環である。${\displaystyle R}$

(DD3)のすべての非ゼロ分数イデアルは逆である。${\displaystyle R}$

(DD4)は、 クルル次元が1である整閉ネーター領域です（つまり、すべての非ゼロの素イデアルは最大です）。${\displaystyle R}$

(DD5)と の任意の2つのイデアルに対して、がに含まれるのは、 がイデアルとして 割り切れる場合のみである。つまり、となるイデアルが存在する。この条件を満たす単位元を持つ可換環（必ずしも領域ではない）は、包含割り切れる環（CDR）と呼ばれる。^[2]${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I=JH}$

したがって、デデキント領域は、体であるか、(DD1) から (DD5) のいずれか 1 つ (したがって 5 つすべて) を満たす領域です。したがって、これらの条件のどれを定義として採用するかは、単に好みの問題です。実際には、(DD4) を検証するのが最も簡単な場合がよくあります。

クルル領域はデデキント領域の高次元版です。つまり、体ではないデデキント領域は次元 1 のクルル領域です。この概念は、デデキント領域のさまざまな特徴を調べるために使用できます。実際、これはブルバキの「可換代数」で使用されるデデキント領域の定義です。

デデキント域はホモロジー代数の観点からも特徴付けることができる。整域がデデキント域となるのは、それが遺伝環である場合に限る。つまり、その上の射影加群のすべての部分加群は射影的である。同様に、整域がデデキント域となるのは、その上のすべての可分加群が単射である場合に限る。^[3]

すべての主イデアル領域、したがってすべての離散評価環はデデキント領域です。

数体Kの代数的整数環は、ノイザン的であり、整閉であり、次元が 1 です。最後の特性を確認するには、Rの任意の非ゼロ素イデアルIに対して、R / Iが有限集合であることに注目し、有限整域は体であることを思い出してください。したがって、(DD4) により、Rはデデキント域です。上記のように、これにはクンマーとデデキントが検討したすべての例が含まれており、一般的な定義の動機となったケースであり、これらは最も研究されている例の 1 つです。 ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$

おそらく同じくらい重要なデデキント環のもう 1 つのクラスは、幾何学から来ています。Cを体k上の非特異幾何学的に整列したアフィン代数曲線とします。 このとき、C上の正則関数の座標環k [ C ] はデデキント領域です。これは、幾何学用語を代数に翻訳するだけでほぼ明らかです。任意のアフィン多様体の座標環は、定義により、有限生成k代数であり、したがってノイザンです。さらに、曲線は次元 1 を意味し、非特異性は(次元 1 では と同等であり)正規を意味し、これは定義により整列閉じ を意味します。

これら両方の構成は、次の基本的な結果の特殊なケースとして見ることができます。

定理：Rを分数体 Kを持つデデキント域とする。LをKの有限次数体拡大とし、 SをLにおけるRの整閉包とする。するとS自体がデデキント域となる。^[4]

R自体が PID である場合にこの定理を適用すると、PID からデデキント領域を構築する方法が得られます。 R = Zとすると、この構成は数体の整数の環がデデキント領域であることを正確に示しています。R = k [ t ] とすると、アフィン直線の 分岐被覆として非特異アフィン曲線の上記の場合が得られます。

ザリスキとサミュエルはこの構成に非常に興味を持ち、すべてのデデキント領域がこれから生じるのか、つまりPIDから始めて有限次数体拡張で積分閉包をとるのかを尋ねた。^[5] L. クラボーンは驚くほど単純な否定的答えを与えた。^[6]

状況が上記と同じで、Kの拡大Lが無限次代数的である場合、 LにおけるRの積分閉包S がデデキント域になる可能性は依然としてありますが、保証されるわけではありません。たとえば、再びR = Z、K = Qとし、今度はL をすべての代数的数の体とします。積分閉包は、すべての代数的整数の環に他なりません。代数的整数の平方根は再び代数的整数であるため、ゼロでない非単位の代数的整数を既約元の有限積に因数分解することはできず、これは がノイザンでさえないことを意味します。一般に、無限代数的拡大におけるデデキント域の積分閉包はプリューファー域です。代数的整数の環はこれよりも少し特殊で、ベズー域であることがわかります。 ${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$

R を分数体Kを持つ整域とする。分数イデアルとは、Kの非零R部分加群I で、 Kに非零x が存在し、${\displaystyle xI\subset R.}$

2 つの分数イデアルIとJ が与えられたとき、それらの積IJ をすべての有限和の集合として定義します。積IJも分数イ​​デアルです。上記の積が備わったすべての分数イデアルの集合 Frac( R ) は可換半群であり、実際はモノイドです。単位元は分数イデアルRです。 ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$

任意の分数イデアルIに対して、分数イデアルを定義することができる。

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

すると、トートロジー的に が成り立ちます。実際、 I がFrac( R )のモノイドの要素として可逆である場合に限り、等式が成り立ちます。言い換えると、I に逆がある場合、その逆は でなければなりません。 ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$${\displaystyle I^{*}}$

主分数イデアルは、K内の0 でないxに対して の形式の 1 つです。各主分数イデアルは可逆であり、 の逆は単に であることに注意してください。主分数イデアルの部分群をPrin( R ) で表します。${\displaystyle xR}$${\displaystyle xR}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$

領域Rが PID となるのは、すべての分数イデアルが主イデアルである場合に限ります。この場合、2 つの主分数イデアルとが等しい場合と、がRの単位である場合に限り、Frac( R ) = Prin( R ) =となります。 ${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$${\displaystyle xR}$${\displaystyle yR}$${\displaystyle xy^{-1}}$

一般領域Rでは、すべての分数イデアルのモノイド Frac( R ) を主分数イデアルのサブモノイド Prin( R ) で割ることは意味があります。しかし、この商自体は一般にモノイドにすぎません。実際、 Frac( R )/Prin( R )の分数イデアル I のクラスが可逆なのは、 I 自体が可逆な場合のみであることは容易にわかります。

ここで、(DD3) が理解できます。デデキント領域では (そしてデデキント領域でのみ)、すべての分数イデアルは可逆です。したがって、これらはまさに Frac( R )/Prin( R )がグループ、つまりRのイデアルクラスグループCl( R )を形成する領域のクラスです。このグループは、 Rが PID である場合に限り自明であるため、一般的なデデキント領域が PID であることの障害を定量化したものと考えることができます。

任意の領域に対して、ピカール群 Pic( R ) を主分数イデアルの部分群を法とする可逆分数イデアル Inv( R ) の群として定義できることに注意する。デデキント領域の場合、これはもちろんイデアル類群と同じである。しかし、ネーター領域やクルル領域を含むより一般的な領域クラスでは、イデアル類群は異なる方法で構築され、標準準同型が存在する。

Pic( R ) → Cl( R )

しかし、これは一般には単射でも射影でもありません。これは、特異代数多様体上のカルティエ因子とヴェイユ因子の区別のアフィン類似物です。

L. Claborn の注目すべき定理 (Claborn 1966) は、どのようなアーベル群 Gに対しても、その理想類群がGと同型であるデデキント領域R が存在すると主張しています。後に、CR Leedham-Green は、そのようなR が二次体拡大における PID の整閉包として構成できることを示しました (Leedham-Green 1972)。1976 年に、M. Rosen は、楕円曲線の有理関数体のサブリングであるデデキント領域の類群として任意の可算アーベル群を実現する方法を示し、そのような「楕円」構成が一般アーベル群に対して可能であるはずだと予想しました (Rosen 1976)。Rosen の予想は、2008 年に PL Clark によって証明されました (Clark 2009)。

対照的に、代数的整数論における基本定理の 1 つは、数体の整数環の類群が有限であると主張しています。その濃度は類数と呼ばれ、ガウスから今日までの多くの一流数学者の懸命な研究にもかかわらず、重要かつかなり神秘的な不変量です。

主イデアル領域 (PID) 上の有限生成モジュールに関するよく知られた非常に有用な構造定理を考慮すると、デデキント領域上の 有限生成モジュールに関する対応する理論を求めるのは当然です。

PID 上の有限生成モジュールの場合の構造理論を簡単に思い出してみましょう。内の非ゼロの に対してとなる の元の集合を、捩れサブモジュールと定義します。すると、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle rm=0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$

(M1)は、の非ゼロイデアルに対しての形の巡回捩れ加群の直和に分解できる。中国剰余定理により、それぞれはの形のサブ加群の直和にさらに分解できる。ここで は素イデアルのべき乗である。この分解は一意である必要はないが、任意の 2 つの分解は一意である。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R/P^{i}}$${\displaystyle P^{i}}$

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

要因の順序のみが異なります。

(M2) 捩れ部分加群は直和項である。つまり、となるようなの補部分加群が存在する。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=T\oplus P}$

(M3PID) は、一意に決定される非負整数 に対してと同型です。特に、は有限生成自由モジュールです。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$

ここで、任意のデデキント領域上の有限生成加群を とします。すると、(M1) と (M2) はそのまま成り立ちます。しかし、(M3PID) から、PID 上の有限生成捩れのない加群は自由であることがわかります。特に、すべての分数イデアルが主であると主張しますが、これはが PID でない場合は常に偽です。言い換えると、類群の非自明性により、(M3PID) は失敗します。注目すべきことに、任意のデデキント領域上の捩れのない有限生成加群の追加構造は、これから説明するように、類群によって正確に制御されます。任意のデデキント領域上では、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Cl(R)}$

(M3DD)は階数1の射影加群の直和と同型である: 。さらに、階数1の射影加群のどれに対しても、 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

もし、もし、

${\displaystyle r=s}$

そして

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

階数1の射影加群は分数イデアルと同一視することができ、最後の条件は次のように言い換えることができる。

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

したがって、階数の有限生成捩れのない加群は と表現でき、ここで は階数 1 の射影加群である。上ののSteinitz 類はにおけるの類であり、一意に決定される。^[7] この結果は次のようになる。 ${\displaystyle n>0}$${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle [I]}$${\displaystyle I}$${\displaystyle Cl(R)}$

定理:をデデキント領域とします。このとき、 は有限生成射影加群の可換モノイドのグロタンディーク群です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$${\displaystyle K_{0}(R)}$${\displaystyle R}$

これらの結果は 1912 年にエルンスト・シュタイニッツによって確立されました。

この構造の追加の帰結は、前の定理では暗黙的ではないが、デデキント領域上の 2 つの射影加群がグロタンディーク群で同じクラスを持つ場合、それらは実際に抽象的に同型であるということです。

局所的にはデデキントであるが、大域的にはデデキントではない整域が存在します。各極大イデアルにおける の局所化はデデキント環 (DVR と同等) ですが、それ自体はデデキントではありません。前述のように、このような環はネーター環にはなり得ません。このような環の最初の例は、1953 年に N. Nakano によって構築されたようです。文献では、このような環は「適切なほぼデデキント環」と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

• ダベンポート定数

• エドワーズ、ハロルド M. (1990)、約数理論、ボストン:ビルクハウザー出版社、ISBN 0-8176-3448-7、Zbl  0689.12001

• 「デデキント環」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]