クリフォード代数

クリフォード代数は外積代数と密接に関係しています。実際、Q = 0の場合、クリフォード代数Cl( V , Q )は外積代数⋀ Vに他なりません。基礎体Kにおいて2 が可逆である場合、 ⋀ VとCl( V , Q )の間には標準的な線形同型が存在します。つまり、これらはベクトル空間として自然に同型ですが、乗法が異なります (標数 2 の場合、ベクトル空間としては依然として同型ですが、自然には同型ではありません)。クリフォード乗法は、特別な部分空間とともに、Qによって提供される追加情報を使用するため、外積よりも厳密に豊かです。  

クリフォード代数はフィルター付き代数であり、それに対応する次数付き代数は外部代数である。

より正確には、クリフォード代数は、ワイル代数が対称代数の量子化であるのと同様に、外部代数の量子化（量子群を参照）と考えることができる。

ワイル代数とクリフォード代数は、 *-代数のさらなる構造を許容し、CCR代数とCAR代数で議論されているように、超代数の偶数項と奇数項として統一することができます。

クリフォード代数は幾何代数とも呼ばれ、多くの場合、実数上の代数である。

有限次元実ベクトル空間上の非退化二次形式はすべて、標準対角形式と等価である。 $${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},}$$ ここで、 n = p + qはベクトル空間の次元です。整数のペア( p , q )は、二次形式の符号と呼ばれます。この二次形式を持つ実ベクトル空間は、しばしばR ^{p , q}と表記されます。R p ^{, q}上のクリフォード代数はCl _p ^, _q ( R )と表記されます。 記号Cl _n ( R )は_、著者が正定値空間を好むか負定値空間を好むかによって、Cl _{n ,0} ( R )またはCl _{0, n} ( R ) のいずれかを意味します。

R ^{p , q}の標準基底{ e ₁ , ..., e _n }は、互いに直交するn = p + q個のベクトルからなり、そのうちp 個は二乗すると+1になり、 q 個は二乗すると−1になります。このような基底から、代数Cl _{p , q} ( R )は、二乗すると+1になるp 個のベクトルと、二乗すると−1になるq個のベクトルを持つことになります。  

低次元のケースをいくつか挙げると次のようになります。

• Cl _0,0 ( R )は非ゼロベクトルが存在しないため、Rと自然に同型です。
• Cl _0,1 ( R )は、 e ₁によって生成される 2 次元代数であり、2乗すると−1になり、複素数体Cと代数的に同型です。
• Cl _1,0 ( R )は、 e ₁によって生成される 2 次元代数であり、2乗すると1になり、分割複素数と代数的に同型です。
• Cl _0,2 ( R )は、{1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ }によって張られる 4 次元代数です。後者の 3 つの要素はすべて−1に二乗され、反可換であるため、この代数は四元数Hと同型です。 
• Cl _2,0 ( R ) ≅ Cl _1,1 ( R )は分割四元数の代数と同型である。
• Cl _0,3 ( R )は、分割二元数H ⊕ Hの直和と 同型な 8 次元代数です。
• Cl _3,0 ( R ) ≅ Cl _1,2 ( R )はパウリ代数とも呼ばれ、^{[ 7 ] [ 8 ]}は双四元数の代数と同型である。

複素ベクトル空間上のクリフォード代数も研究することができる。n次元の複素ベクトル空間上のすべての非退化二次形式は、標準対角形式と等価である 。$${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.}$$ したがって、各次元nに対して、同型を除いて、非退化二次形式を持つ複素ベクトル空間のクリフォード代数はただ一つしか存在しない。標準的な二次形式を持つC ⁿ上のクリフォード代数をCl _n ( C )と表記する。

最初のいくつかのケースでは、

• Cl ₀ ( C ) ≅ C、複素数
• Cl ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C、双複素数
• Cl ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C )、二四元数

ここで、M _n ( C )はC上のn × n行列の代数を表す。

このセクションでは、ハミルトンの四元数はクリフォード代数Cl _3,0 ( R )の偶数部分代数として構成されます。

ベクトル空間Vを実数三次元空間R ³とし、二次形式を通常の二次形式とする。このとき、R ³のv、wに対して双線形形式 (またはスカラー積) が成り立つ 。 $${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$ここ で、ベクトルvとw のクリフォード積を導入します。$${\displaystyle vw+wv=2(v\cdot w).}$$

R ³の直交単位ベクトルの集合を{ e ₁ , e ₂ , e ₃ }とすると、クリフォード積は次の関係式を与える。 $${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{1}e_{3}=-e_{3}e_{1},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$$ そして $${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=1.}$$クリフォード代数Cl _3,0 ( R ) の一般要素は次のように与えられる。 $${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{1}e_{3}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$$

Cl _3,0 ( R )の偶数次要素の線形結合は、一般要素を持つ 偶数部分代数Cl ^[0] _3,0 ( R )を定義する。$${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{1}e_{3}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$$基底要素は、四元数基底要素i、j、k と同一視できる。 $${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2},}$$ これは、偶数部分代数Cl ^[0] _3,0 ( R )がハミルトンの実四元数代数であることを示している。

これを確認するには、計算します。 $${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$$ そして $${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}=-e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.}$$ ついに、 $${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}e_{1}e_{2}=-1.}$$

このセクションでは、退化した二次形式を持つ実 4 次元空間のクリフォード代数の偶数部分代数として、双対四元数が構成されます。 ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ベクトル空間V を実数 4 次元空間R ⁴とし、二次形式QをR ³上のユークリッド計量から導出される退化形式とする。R ⁴のv、w に対して、退化双線形形式を導入する。 $${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$ この退化したスカラー積は、R ^{4における距離測定値を}R ³超平面に投影します。

ベクトルvとwのクリフォード積は次のように表される。 $${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$$ 負の符号は、四元数との対応関係を簡略化するために導入されていることに注意してください。

R ⁴の互いに直交する単位ベクトルの集合を{ e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }とすると、クリフォード積は次の関係式を与える。 $${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,}$$ そして $${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$$

クリフォード代数Cl( R ⁴ , d )の一般元は16 個の成分を持つ。偶数次元を線形結合すると、一般元を持つ 偶数部分代数Cl ^[0] ( R ⁴ , d )が定義される。$${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$

基底要素は、四元数基底要素i、j、kおよび双対単位εと同一視できる。 $${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$これにより、 Cl ^[0] _0,3,1 ( R )と双対四元数代数と の対応関係が示される。

これを確認するには、計算します。 $${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$$ そして $${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$$e ₁とe ₄ の交換は偶数回符号が入れ替わり、双対単位ε が四元数基底要素i、j、kと可換であることを示している。

dim V = 1の場合、Q が対角化diag( a )を持ち、Q ( x ) = aとなるような非ゼロベクトルxが存在するならば、Cl( V , Q )は、 x ² = aを満たす要素xによって生成されるK代数、すなわち二次代数K [ X ] / ( X ² − a )と代数的に同型である。

特に、a = 0 (つまり、Qがゼロ二次形式)の場合、 Cl( V , Q )はK上の双対数代数と代数的に同型です。

a がKの非ゼロ平方数である場合、Cl( V , Q ) ≃ K ⊕ Kとなります。

それ以外の場合、Cl( V , Q )はKの二次体拡張K ( √ a )と同型である。

dim V = 2の場合、Q が非ゼロのaとbを持つ対角化diag( a , b )を持つ場合 ( Qが非退化であれば常に存在する)、 Cl( V , Q )は、 x ² = a、y ² = bおよびxy = − yxを満たす要素xとyによって生成されるK代数と同型です。

したがって、Cl( V , Q )は (一般化された)四元数代数( a , b ) _Kと同型である。H = (−1, −1) R_なので、a = b = −1のときにハミルトンの四元数を取得する。

特殊なケースとして、V内の何らかのx がQ ( x ) = 1を満たす場合、Cl( V , Q ) ≃ M ₂ ( K )となります。

ベクトル空間Vが与えられたとき、外積代数⋀ Vを構成できます。この定義は、V上の任意の二次形式に依存しません。Kの標数が2でない場合、 ⋀ VとCl( V , Q )をベクトル空間とみなしたときの自然な同型が存在することがわかります(標数が 2 の場合にも同型が存在しますが、これは自然ではない可能性があります)。これは、Q = 0の場合に限り、代数同型となります。したがって、クリフォード代数Cl( V , Q )は、 Qに依存する乗法を持つV上の外積代数の拡張 (より正確には量子化、序論を参照) と考えることができます (外積はQとは独立して定義できます)。   

同型性を確立する最も簡単な方法は、Vの直交基底{ e ₁ , ..., e _n }を選択し、それを上記のようにCl( V , Q )の基底に拡張することです。写像Cl( V , Q ) → ⋀ Vは次のように決定されます 。$${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$$これは基底{ e ₁ , ..., e _n }が直交基底である場合にのみ有効であることに注意してください。この写像は直交基底の選択に依存しないことが示され、自然な同型写像が得られます。

Kの特性が0の場合、反対称化によって同型性を確立することもできます。関数f _k : V × ⋯ × V → Cl( V , Q )を次のように 定義します。 $${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$$ ここで、和はk個の要素上の対称群S _kについて取られます。f _kは交代群であるため、一意の線形写像⋀ ^k V → Cl( V , Q )を誘導します。これらの写像の直和は、⋀ VとCl( V , Q )の間の線形写像を与えます。この写像は線形同型であることが示され、自然なものです。

この関係をより洗練された方法で捉えるには、Cl( V , Q )上にフィルターを構築する方法がある。テンソル代数T ( V )には自然なフィルターF ⁰ ⊂ F ¹ ⊂ F ² ⊂ ⋯が存在することを思い出そう。ここでF ^kは次数≤ kのテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に投影すると、 Cl( V , Q )上にフィルターが得られる。関連する次数付き代数$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$$ は、外部代数⋀ Vと自然に同型です。フィルター付き代数の関連する次数付き代数は、フィルター付きベクトル空間として常にフィルター付き代数と同型であるため (すべてのkに対してF ^{k +1}のF ^kの補集合を選択することによって)、これにより、任意の特性 (2 であっても) において同型 (自然な同型ではない) が実現されます。 

以下では、特性が2ではないと仮定します。^{[ e ]} 

クリフォード代数はZ ₂次数付き代数（超代数とも呼ばれる）である。実際、 v ↦ − v (原点を通る反射)で定義されるV上の線形写像は二次形式Qを保存するため、クリフォード代数の普遍性により代数自己同型に拡張される。$${\displaystyle \alpha$$ :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}

αは対合（つまり、2乗すると恒等写像になる）であるため、Cl( V , Q )をαの正および負の固有空間に分解することができる。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$$ どこ $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$$

αは自己同型写像​​であるため、次のことが成り立つ。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$$ ここで、括弧で囲まれた上付き文字は法2 で読みます。これにより、Cl( V , Q )はZ ₂次数付き代数の構造を持ちます。部分空間Cl ^[0] ( V , Q )はCl( V , Q )の部分代数を形成し、偶数部分代数と呼ばれます。部分空間Cl ^[1] ( V , Q )はCl( V , Q )の奇数部分と呼ばれます(部分代数ではありません)。 このZ ₂次数付けは、クリフォード代数の解析と応用において重要な役割を果たします。自己同型αは主対合または次数対合と呼ばれます。このZ ₂次数付けにおいて純粋な要素は、単に偶数または奇数であると言われます。

注記。クリフォード代数は Z次数付き代数ではなく、Zフィルター付き代数です。ここでCl ^{≤ i} ( V , Q )は、 Vのi個以下の要素のすべての積によって張られる部分空間です。  $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$$

クリフォード数の次数とは、通常、 Zグレーディングにおける次数を指します。

クリフォード代数の偶数部分代数Cl ^[0] ( V , Q )は、それ自体がクリフォード代数と同型である。 ^{[ f ] [ g ]} Vが、ノルムがゼロでないベクトルaと部分空間Uの直交直和である場合、Cl [ ^0] ( V , Q )はCl( U , − Q ( a ) Q | _U )と同型である。ここで、Q | _UはUに制限された形式Qである。特に実数体上では、これは次のことを意味する 。$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbf {R} )&q>0\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{cases}}}$$

負定値の場合、これは包含関係Cl _{0, n − 1} ( R ) ⊂ Cl _{0, n} ( R )を与え、数列を拡張します。

同様に、複素数の場合、Cl _n ( C )の偶数部分代数がCl _{n −1} ( C )と同型であることを示すことができる。

自己同型写像​​ αに加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす反自己同型写像​​が 2 つ存在する。テンソル代数T ( V )には、ベクトルのすべての積の順序を反転させる反自己同型写像​​が付属していることを思い出してほしい。 $${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$$ 理想I _{Q は}この反転の下で不変であるため、この操作はCl( V , Q )の反自己同型写像​​、すなわち転置または反転操作x ^tに降りる。転置は反自己同型写像​​である: ( xy ) ^t = y ^t x ^t。転置操作はZ _{2次数付けを使用しないため、} αと転置を合成して 2 番目の反自己同型写像​​を定義する。この操作をクリフォード共役と呼び、${\displaystyle {\bar {x}}}$$${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$$ 2つの反自己同型写像​​のうち、転置写像の方がより基本的である。^{[ h ]}

これらの演算はすべて対合であることに注意してください。Z次数付けで純粋な要素に対しては、これらが±1として作用することが示せます。実際、3 つの演算はすべて法4の次数のみに依存します。つまり、x が次数kの純粋な要素である場合 、 $${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$$ 符号は次の表で示されます。

特性が2でない場合、 V上の二次形式Q は、 Cl( V , Q )全体上の二次形式(これもQと表記)に拡張できます。そのような拡張の基底に依存しない定義は次のとおりです。 $${\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}}$$ ここで、⟨ a ⟩ _{0 は}aのスカラー部分( Zグレーディングにおける0次部分) を表す。 $${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$$ ここで、v _iはVの要素である。この恒等式は、Cl( V , Q )の任意の要素に対しては成り立たない。

Cl( V , Q )上の関連する対称双線形形式は次のように与えられる。 $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$$V に制限すると、これが元の双線形形式に帰着することが確認できます。Cl ( V , Q )全体における双線形形式が非退化であるのは、 V上で非退化である場合のみです。

要素aの転置a ^tによる左 (それぞれ右) クリフォード乗算の演算子は、この内積に関する aによる左 (それぞれ右) クリフォード乗算の随伴演算子です。つまり、$${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,}$$ そして $${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .}$$

任意の標数において、スピノルノルQはリプシッツ群上で次のように定義される。 $${\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}$$これは、リプシッツ群からKの非零要素の 群K ^{×への準同型写像です。V}をクリフォード代数の部分空間と同一視すると、これはVの二次形式Qと一致します。いくつかの著者はスピノルノルをわずかに異なる方法で定義しており、 Γ 1上では、ここで定義したものとは−1、2、または−2の係数で異なります。この違いは、標数が²以外の場合にはそれほど重要ではありません。 

Kの非零要素は、体Kの非零要素の二乗の群 ( K ^× ) ²においてスピノルノルを持ちます。したがって、V が有限次元かつ非特異である場合、 Vの直交群から群K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ²への誘導写像、すなわちスピノルノルが得られます。任意のベクトルr について、r ⊥^{に関する反射のスピノルノルは、} K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ²において像Q ( r )を持ち、この性質により直交群上で一意に定義されます。これにより、次の正確な数列が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)&\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} _{V}(K)&\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

特性2では、群{±1}は要素を1つだけ持つことに注意してください。

代数群のガロアコホモロジーの観点から見ると、スピノルノルムはコホモロジー上の連結準同型である。1の平方根の代数群をμ2と_表記すると（標数が2でない体上では、自明なガロア作用を持つ2要素群とほぼ同じである）、短完全列は $${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow \operatorname {Pin} _{V}\rightarrow \operatorname {O} _{V}\rightarrow 1}$$ コホモロジー上の長い完全列が得られ、 $${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}(\operatorname {Pin} _{V};K)\to H^{0}(\operatorname {O} _{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).}$$

Kを係数とする代数群の 0 番目のガロア コホモロジー群は、 K値点の群に他なりません。すなわち、 H ⁰ ( G ; K ) = G ( K )、そしてH ¹ (μ ₂ ; K ) ≅ K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ²であり、これは前の数列を再現します。 $${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},}$$ ここで、スピノルノルムは接続準同型写像H ⁰ (O _V ; K ) → H ¹ (μ ₂ ; K )である。

実際のスピン表現を記述するには、スピン群がクリフォード代数の中でどのような位置にあるかを知る必要があります。ピン群Pin _{p , q}は、単位ベクトルの積として表せる Cl _{p , q}内の可逆要素の集合です。$${\displaystyle \mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\right\}.}$$ 上記のクリフォード代数の具体的な実現と比較すると、ピン群は任意の数の鏡映の積に対応し、完全直交群O( p , q )の被覆となります。スピン群は、偶数個の単位ベクトルの積であるPin _{p , q}の要素から構成されます。したがって、カルタン・ディウドネの定理により、スピンは固有回転群SO( p , q )の被覆となります。

α : Cl → Cl を、純粋ベクトルに作用する写像v ↦ − vによって与えられる自己同型とする。特に、Spin _{p , q}はPin _{p , q}の部分群であり、その要素は αによって固定される。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.}$$（これらはまさにCl _p、q の偶数次の要素です。）すると、スピン群はCl ^[0] _p、qの中にあります。

Cl _{p , q}の既約表現は、ピン群の表現を与えるように制限されます。逆に、ピン群は単位ベクトルによって生成されるため、そのすべての既約表現はこの方法で誘導されます。したがって、2 つの表現は一致します。同じ理由で、スピンの既約表現はCl ^[0] _{p , q}の既約表現と一致します。

ピン表現を分類するには、クリフォード代数の分類を参照するだけでよい。スピン表現（偶数部分代数の表現）を見つけるには、まず同型写像のいずれかを利用すればよい（上記参照）。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0}$$そして、署名( p , q ) のスピン表現を、署名( p , q − 1)または( q , p − 1)のピン表現として実現します。

外積代数の主要な応用の一つは微分幾何学であり、滑らかな多様体上の微分形式の束を定義するために用いられる。擬似リーマン多様体の場合、接空間には計量によって誘導される自然な二次形式が備わっている。したがって、外積束に類似してクリフォード束を定義することができる。これはリーマン幾何学において多くの重要な応用を持つ。おそらくより重要なのは、スピン多様体、それに関連するスピノル束、およびスピン^c多様体との関連性である。

クリフォード代数は物理学において数多くの重要な応用例を持つ。物理学者は通常、クリフォード代数を、ディラック行列と呼ばれる行列γ ₀、 ... 、γ ₃によって生成される基底を持つ代数とみなす。ディラック行列は、次のような性質を持つ。 $${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij},}$$ ここでηは、符号(1, 3)の二次形式の行列（または、計量符号の2つの同等な選択に対応する(3, 1)）である。これらはまさにクリフォード代数Clの定義関係である。_1,3 (R)、その錯体形成Clである_1,3 (R) _Cは、クリフォード代数の分類4 × 4複素行列の代数Cl₄(C) ≈ M₄(C)。しかし、表記Cl_1,3 (R) _C、双線形形式を標準形式に変換する変換は、基礎となる時空のローレンツ変換ない

物理学で用いられる時空のクリフォード代数は、Cl ₄ ( C )よりも構造が複雑である。さらに、ローレンツ変換という一連の好ましい変換も存在する。複素化がそもそも必要かどうかは、慣例や直接的にどれだけ取り入れたいかによって異なるが、量子力学では、クリフォード代数の中にあるリー代数so (1, 3)のスピン表現が慣例的に複素クリフォード代数を必要とするため、複素化が最も必要となることが多い。参考までに、スピンリー代数は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}}$$

これは（3, 1）規約に準拠しており、したがってClに適合する。_3,1 (R) _C . ^{[ 14 ]}

ディラック行列は、ポール・ディラックが電子の相対論的一次波動方程式を記述しようとしていた際に初めて書き記され、クリフォード代数から複素行列の代数への明示的な同型写像を与えた。この結果は、ディラック方程式を定義し、ディラック演算子を導入するために使用された。クリフォード代数全体は、量子場理論においてディラック場の双線形関数の形で現れる。

量子論を記述するためのクリフォード代数の使用は、マリオ・シェーンベルク^{[ i ]}、幾何計算の観点からデビッド・ヘステネス、クリフォード代数の階層の形でデビッド・ボームとバジル・ハイリーとその同僚、そしてエリオ・コンテら^{[ 15 ] [ 16 ]によって推進されてきた。}

クリフォード代数は、コンピュータビジョンにおける動作認識と分類の問題に適用されてきた。Rodriguez ら^{[ 17 ]}は、従来の MACH フィルタをビデオ (3D 時空間ボリューム) やオプティカルフローなどのベクトル値データに一般化するためにクリフォード埋め込みを提案している。ベクトル値データはクリフォードフーリエ変換を用いて解析される。これらのベクトルに基づいて、クリフォードフーリエ領域で動作フィルタが合成され、クリフォード相関を用いて動作認識が行われる。著者らは、古典的な長編映画やスポーツ放送テレビでよく見られる動作を認識することで、クリフォード埋め込みの有効性を実証している。