指数体

数学において、指数体とは、加法群から乗法群への準同型である単項演算をさらに持つ体である。これは、選択された正の実数を底とする 実数に対する指数演算の通常の考え方を一般化するものである。

体とは、 F の集合、2つの二項演算、加算 (+ ₎と乗算 (·) から構成される代数構造であり、加算は単位元 0 F のアーベル群を形成し、乗算は単位元 1 _Fのアーベル群を形成し、乗算は加算に対して分配的であり、つまりF の任意の元a、b、cに対して、 a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )が成り立つ。また、 F をFに写像する関数Eがあり、 Fの 任意のaとbに対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(a+b)=E(a)\cdot E(b),\\&E(0_{F})=1_{F}\end{aligned}}}$

するとF は指数体と呼ばれ、関数EはF上の指数関数と呼ばれる。^[1] したがって、体上の指数関数はFの加法群とその乗法群 の間の準同型である。

任意の体には自明な指数関数、つまり乗算によって体の単位元にすべての元を送る写像が存在します。したがって、すべての体は自明に指数体でもあるため、数学者にとって興味深いケースは指数関数が自明でない場合に発生します。

指数体は、特性がゼロであることが求められることがある。これは、特性がゼロでない体上の指数関数は自明なものだけであるからである。^{[2]まず、特性}p  > 0 の体上の任意の元x について、

${\displaystyle 1=E(0)=E(\underbrace {x+x+\cdots +x} _{p{\text{ of these}}})=E(x)E(x)\cdots E(x)=E(x)^{p}.}$

したがって、フロベニウス準同型を考慮すると、

${\displaystyle (E(x)-1)^{p}=E(x)^{p}-1^{p}=E(x)^{p}-1=0.\,}$

そして、すべてのxに対してE ( x )=1となる。^[3]

• 実数体R、または、純粋に加算、乗算、および特殊定数 0 と 1 を含む体として考えていることを強調するために( R , +, ·, 0, 1)と書くと、無限に多くの指数関数があります。そのような関数の 1 つが通常の指数関数、つまりE ( x ) = e ^xです。これは、必要に応じてe ^{x + y} = e ^x e ^yおよびe ⁰ = 1となるためです。この関数を備えた順序体 Rを考えると、順序付けられた実指数体R _exp = ( R , +, ·, <, 0, 1, exp) と表記されます。
• 任意の実数a > 0はR上の指数関数を与え、マップE ( x ) = a ^{x は}必要な特性を満たします。
• 実指数体と同様に、複素指数体C _exp = ( C , +, ·, 0, 1, exp)が存在します。
• ボリス・ジルバーは指数体K _expを構築したが、これは重要なことに、その体の指数関数によるシャヌエル予想の同等の定式化を満たしている。 ^{[4]この指数体は実際には}C _exp であると予想されており、この事実を証明すればシャヌエル予想が証明されることになる。

基底集合F は体である必要はなく、単に環Rであってもよく、同時に指数関数はRの加法群からRの乗法群の単位への準同型に緩和される。結果として得られるオブジェクトは指数環と呼ばれる。^[2]

非自明な指数関数を持つ指数環の例としては、偶数で+1、奇数で-1となる関数Eを備えた整数環Z 、すなわち関数が挙げられる。この指数関数と自明な関数は、条件を満たすZ 上の唯一の2つの関数である。 ^[5]${\displaystyle n\mapsto (-1)^{n}.}$

指数体はモデル理論でよく研究されている対象であり、ジルバーのシャヌエル予想に関する研究のように、時折数論とモデル理論を結びつける。1990年代にR _{exp が}モデル完全であることが証明され、これはウィルキーの定理として知られる結果である。この結果は、パフィアン関数に関するホヴァンスキーの定理と組み合わせると、R _expもo-極小であることが証明される。^[6]一方、C _{exp は}モデル完全ではないことがわかっている。^[7]決定可能性 の問題はまだ解決されていない。 アルフレッド・タルスキはR _expの決定可能性の問題を提起したため、これは現在タルスキの指数関数問題として知られている。シャヌエル予想の実数版が真であれば、 R _expは決定可能であることがわかっている。^[8]

• 順序指数体