一般的なトポロジー

数学において、一般位相幾何学（または点集合位相幾何学）は、位相幾何学で使用される基本的な集合論的定義と構成を扱う位相幾何学の一分野です。これは、微分位相幾何学、幾何位相幾何学、代数位相幾何学など、位相幾何学の他のほとんどの分野の基礎となっています。

点集合位相における基本的な概念は、連続性、コンパクト性、連結性である。

• 連続関数は、直感的に言えば、近くの点を近くの点に移動します。
• コンパクト集合とは、任意の小さなサイズの有限個の集合でカバーできる集合です。
• 連結集合とは、離れた 2 つの部分に分割できない集合です。

「近い」「任意に小さい」「遠く離れている」という用語は、開集合の概念を使用することですべて明確にすることができます。「開集合」の定義を変更すると、連続関数、コンパクト集合、連結集合が変わります。「開集合」の定義のそれぞれの選択は、位相と呼ばれます。位相を持つ集合は位相空間と呼ばれます。

距離空間は、集合内の点のペアに対して、距離とも呼ばれる実数の非負の距離を定義できる位相空間の重要なクラスです。距離があると多くの証明が簡素化され、最も一般的な位相空間の多くは距離空間です。

一般的なトポロジーは、いくつかの領域から生まれましたが、最も重要なのは次の領域です。

• 実数直線の部分集合の詳細な研究（かつては点集合の位相として知られていたが、この用法は現在では廃れている）
• 多様体概念の導入
• 関数解析の初期における距離空間、特にノルム線型空間の研究。

一般位相幾何学は 1940 年頃に現在の形になりました。これは、連続性の直感におけるほぼすべてを、数学のあらゆる分野に適用できる技術的に適切な形で捉えていると言えます。

X を集合とし、 τ をXの部分集合の族とする。次の条件を満たすとき、 τはX 上の位相と呼ばれる: ^{[1] [2]}

1. 空集合とXは両方ともτの要素である
2. τの要素の任意の和集合はτの要素である
3. τの有限個の要素の交差はτの要素である。

τ がX上の位相である場合、ペア ( X、τ ) は位相空間と呼ばれます。表記X _{τ は、}特定の位相τが備わっている集合X を表すために使用できます。

τの要素はXの開集合と呼ばれます。Xの部分集合は、その補集合がτに含まれる場合（つまり、その補集合が開いている場合）、閉じていると言われます。 Xの部分集合は、開いている場合、閉じている場合、その両方である場合（閉開集合）、またはそのどちらでもない場合があります。空集合とX自体は常に閉じていて開いている状態です。

位相Tを持つ位相空間Xの基底(または基底) B は、 T内の開集合の集まりで、 T内のすべての開集合がBの要素の和集合として表せるものである。^{[3] [4]}基底が位相T を生成する という。基底が便利なのは、位相の多くの性質を、その位相を生成する基底についての命題に還元できるためであり、また多くの位相は、それらを生成する基底によって最も簡単に定義できるためである。

位相空間のすべての部分集合には、より大きな空間の開集合と部分集合との交差が開集合となるような部分空間位相を与えることができる。位相空間の任意のインデックス付き族に対して、積には積位相を与えることができ、これは射影写像の下での因子の開集合の逆像によって生成される。たとえば、有限積では、積位相の基底は開集合のすべての積から構成される。無限積の場合、基本開集合では、その射影の有限個を除くすべてが空間全体であるという追加の要件がある。

商空間は次のように定義されます。Xが位相空間でYが集合であり、f  : X → Y が全射関数である場合 、 Y上の商位相は、 fに関して開いた逆像を持つYの部分集合の集まりです。言い換えると、商位相は、fが連続するY上の最も細かい位相です。商位相の一般的な例は、位相空間X上で同値関係が定義されている場合です。その場合、写像fは同値類の集合への自然な射影です。

与えられた集合には、さまざまな位相が存在する場合があります。集合に異なる位相が与えられた場合、その集合は異なる位相空間としてみなされます。

任意の集合には、すべての部分集合が開いている離散位相を与えることができます。この位相で収束するシーケンスまたはネットは、最終的に定数になるものだけです。また、任意の集合には、空集合と空間全体だけが開いている自明な位相(非離散位相とも呼ばれる) を与えることができます。この位相のすべてのシーケンスとネットは、空間のすべての点に収束します。この例は、一般的な位相空間では、シーケンスの極限が一意である必要がないことを示しています。ただし、多くの場合、位相空間は、極限点が一意である ハウスドルフ空間である必要があります。

任意の集合には、開集合が空集合で補集合が有限であるようなコ有限位相を与えることができます。これは任意の無限集合上の 最小のT _{1位相です。}

任意の集合には、可算位相を与えることができます。可算位相では、集合が空であるか、その補集合が可算である場合に、その集合は開集合であると定義されます。集合が非可算である場合、この位相は多くの状況で反例として機能します。

実数の集合R上の位相を定義する方法は多数あります。 R上の標準的な位相は、開区間によって生成されます。すべての開区間の集合は位相の基底または基数を形成します。つまり、すべての開集合は基底からの集合の集合の和集合です。特に、これは集合内のすべての点について半径がゼロでない開区間が存在する場合、その集合は開集合であることを意味します。より一般的には、ユークリッド空間R ^{n に}位相を与えることができます。 R ⁿ上の通常の位相では、基本的な開集合は開球です。同様に、複素数集合C、およびC ⁿには、基本的な開集合が開球である標準的な位相があります。

実数直線には、下限位相を与えることもできます。ここで、基本的な開集合は半開区間 [ a , b ) です。R 上のこの位相は、上で定義したユークリッド位相よりも厳密に細かくなっています。つまり、シーケンスがこの位相の点に収束するのは、ユークリッド位相で上から収束する場合のみです。この例は、セットには、その上に定義された多くの異なる位相がある可能性があることを示しています。

すべての計量空間には計量位相を与えることができ、その場合、基本開集合は計量によって定義される開球である。これは、任意のノルム付きベクトル空間上の標準位相である。有限次元ベクトル空間では、この位相はすべてのノルムに対して同じである。

• 任意の有限集合上には多数の位相が存在します。このような空間は有限位相空間と呼ばれます。有限空間は、位相空間一般に関する推測の例や反例を提供するために使用されることがあります。
• すべての多様体は局所ユークリッドなので、自然な位相を持ちます。同様に、すべての単体とすべての単体複体はR ⁿから自然な位相を継承します。
• ザリスキ位相は、環または代数多様体のスペクトル上で代数的に定義されます。R ⁿまたはC ⁿ上では、ザリスキ位相の閉集合は多項式方程式系の解集合です。
• 線型グラフは、頂点と辺を持つグラフの幾何学的側面の多くを一般化する自然なトポロジを持ちます。
• 関数解析における線形演算子の多くのセットには、特定の関数シーケンスがゼロ関数に収束するタイミングを指定することによって定義されるトポロジが備わっています。
• 任意の局所体には固有の位相があり、これをその体上のベクトル空間に拡張できます。
• シェルピンスキー空間は最も単純な非離散位相空間です。計算理論と意味論に重要な関係があります。
• Γ が順序数である場合、集合 Γ = [0, Γ) には、区間 ( a ,  b )、[0,  b )、( a , Γ) によって生成される順序位相が付与されます。ここで、aとb はΓ の要素です。

連続性は近傍の観点から表現されます。f がx  ∈  Xのある点において連続であるためには、 f ( x )の任意の近傍Vに対して、 f ( U ) ⊆  Vとなるxの近傍U が存在する必要があります。直感的には、連続性とは、 Vがどれだけ「小さく」なっても、常にx を含むUが存在し、それがV内に写像され、fによるその像にf ( x )が含まれることを意味します。これは、 Yの開集合 (閉集合) の逆像がXで開集合 (閉集合) であるという条件に相当します。距離空間では、この定義は解析でよく使用される ε–δ 定義に相当します。

極端な例：集合Xに離散位相が与えられている場合、すべての関数

${\displaystyle f\colon X\rightarrow T}$

任意の位相空間Tへの関数は連続である。一方、X が非離散位相を備え、空間T集合が少なくともT ₀である場合、連続関数は定数関数のみである。逆に、値域が非離散である関数はすべて連続である。

位相構造には同等の定義が複数存在するため、連続関数を定義する同等の方法も複数存在します。

原像に基づく定義は、直接使用するのが困難な場合がよくあります。次の基準は、近傍の観点から連続性を表します。f がx  ∈  Xのある点において連続であるためには、 f ( x )の任意の近傍Vに対して、 f ( U ) ⊆  Vとなるxの近傍Uが存在する必要があります。直感的に、連続性とは、 V がどれだけ「小さく」なっても、常にV内にマップされるx を含むUが存在することを意味します。

XとY が距離空間である場合、すべての近傍ではなく、 xとf ( x )を中心とする開球の近傍システムを考慮することと同等です。これにより、距離空間のコンテキストでの連続性の上記の δ-ε 定義が返されます。ただし、一般的な位相空間では、近さや距離の概念はありません。

ただし、ターゲット空間がハウスドルフの場合でも、 x がa に近づくときのfの極限がf ( a )である場合に限り、 fがaで連続であることは変わりません。孤立点では、すべての関数は連続です。

いくつかの文脈では、空間の位相は、極限点によって便宜的に指定される。多くの場合、これは、点がシーケンスの極限である場合を指定することによって達成されるが、ある意味で大きすぎる一部の空間では、点が、ネットと呼ばれる、有向集合によってインデックス付けされた、より一般的な点の集合の極限である場合も指定する。^[5] 関数が連続するのは、シーケンスの極限をシーケンスの極限に取る場合のみである。前者の場合、極限の保存も十分である。後者の場合、関数はシーケンスのすべての極限を保存するが、それでも連続ではない可能性があり、ネットの保存は必要かつ十分な条件である。

詳細には、関数f : X → Yが順次連続であるとは、 X内のシーケンス ( x _n ) が極限xに収束するときはいつでも、シーケンス ( f ( x _n )) がf ( x ) に収束することです。^[6] したがって、順次連続関数は「順次限界を保存します」。すべての連続関数は順次連続です。Xが第 1 可算空間で可算選択が成り立つ場合、逆も成り立ちます。つまり、順次限界を保存する関数はすべて連続です。特に、X が距離空間の場合、順次連続性と連続性は同値です。第 1 可算でない空間の場合、順次連続性は連続性よりも厳密に弱い可能性があります。(2 つの特性が同値である空間は、順次空間と呼ばれます。) これは、一般的な位相空間でシーケンスの代わりにネットを考慮する動機になります。連続関数はネットの極限を保存し、実際、この特性は連続関数を特徴付けます。

位相空間の開集合を指定する代わりに、位相は閉包演算子（clと表記）によって決定することもできる。閉包演算子は、任意の部分集合A ⊆ Xにその閉包を割り当てる。また、内部演算子（intと表記）は、任意の部分集合A Xにその内部を割り当てる。これらの用語では、関数

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')\,}$

位相空間間の連続性が上記の意味で連続であることは、Xの全ての部分集合Aに対して

${\displaystyle f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).}$

つまり、Xの任意の元xが任意の部分集合Aの閉包に含まれる場合、f ( x )はf ( A )の閉包に属する。これは、 X ' のすべての部分集合A 'に対して

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A')).}$

さらに、

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')\,}$

連続である必要条件は、

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))}$

Xの任意の部分集合Aに対して。

f : X → Yとg : Y → Zが連続であれば、合成g ∘ f : X → Zも連続です。f : X → Yが連続で、

• Xがコンパクトであれば、f ( X ) はコンパクトです。
• Xが連結されている場合、f ( X ) は連結されています。
• X がパス接続されている場合は、f ( X ) もパス接続されています。
• X がリンデロフであれば、f ( X ) はリンデロフになります。
• X が分離可能であれば、f ( X ) も分離可能です。

固定された集合X上の可能な位相は部分的に順序付けられている。位相 τ ₁が別の位相 τ _2よりも粗い( τ ₁ ⊆ τ ₂と表記) とは、 τ _{1に関するすべての開集合が τ 2}に関しても開集合である場合である。このとき、恒等写像

id _X : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ )

は連続であるためには、τ ₁ ⊆ τ ₂が成立する必要がある（位相の比較も参照）。より一般的には、連続関数

${\displaystyle (X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})}$

トポロジーτ _Yがより粗いトポロジーに置き換えられた場合、および/またはτ _Xがより細かいトポロジーに置き換えられた場合、連続性は維持されます。

連続写像の概念と対称なのは開写像であり、開集合の像は開写像である。実際、開写像f に逆関数がある場合、その逆は連続であり、連続写像gに逆がある場合、その逆は開写像である。2つの位相空間間の全単射関数fが与えられた場合、逆関数f ^{−1は連続である必要はない。連続逆関数を持つ全単射連続関数は}同相写像と呼ばれる。

連続全単射がコンパクト空間を定義域として持ち、その余域がハウスドルフである場合、それは同相写像である。

関数が与えられた場合

${\displaystyle f\colon X\rightarrow S,\,}$

ここで、Xは位相空間で、Sは集合（位相が指定されていない）である場合、S上の最終的な位相は、 Sの開集合を、Xにおいてf ⁻¹ ( A ) が開いているSの部分集合Aとすることによって定義されます。Sに既存の位相がある場合、既存の位相がS上の最終的な位相よりも粗い場合に限り、 f はこの位相に関して連続です。したがって、最終的な位相は、 f を連続にするS上の最も細かい位相として特徴付けることができます。fが全射の場合、この位相は、 fによって定義された同値関係の下で商位相と標準的に同一視されます。

双対的に、集合Sから位相空間Xへの関数fに対して、S上の初期位相は、UがX において開いている場合の形式f^(-1) ( U )の集合によって与えられる開集合の基底を持ちます。 S が既存の位相を持つ場合、既存の位相がS上の初期位相よりも細かい場合のみ、f はこの位相に関して連続です。したがって、初期位相は、 f を連続にするS上の最も粗い位相として特徴付けることができます。fが単射の場合、この位相は、 Xのサブセットとして見たSの部分空間位相と標準的に同一視されます。

集合S上の位相は、すべての位相空間Xへのすべての連続関数のクラスによって一意に決定される。双対的に、同様の考え方は写像にも適用できる。${\displaystyle S\rightarrow X}$${\displaystyle X\rightarrow S.}$

形式的には、位相空間 Xは、その開被覆のそれぞれが有限部分被覆を持つ場合、コンパクトと呼ばれます。そうでない場合は、非コンパクトと呼ばれます。明示的には、任意の集合に対して

${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$

Xの開集合のうち、

${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },}$

Aの有限部分集合Jが存在し、

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.}$

代数幾何学など、フランスのブルバキ学派の影響を典型的に受ける数学の分野では、一般的な概念として「準コンパクト」という用語を使用し、「コンパクト」という用語は、ハウスドルフと準コンパクトの両方である位相空間に対してのみ使用します。コンパクト集合は、コンパクトム(複数形はcompacta )と呼ばれることもあります。

R内の有限長の閉区間はすべてコンパクトです。さらに、R ⁿにおいて、集合がコンパクトであるためには、それが閉じていて有界である必要があります。( Heine-Borel の定理を参照)。

コンパクトな空間の連続したイメージはすべてコンパクトです。

ハウスドルフ空間のコンパクトな部分集合は閉じている。

コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続全単射はすべて必然的に同相写像となる。

コンパクトな距離空間内の点の 列はすべて収束する部分列を持ちます。

あらゆるコンパクトな有限次元多様体は、何らかのユークリッド空間R ⁿに埋め込むことができます。

位相空間 X は、 2 つの互いに素な空でない開集合の和集合である場合に不連続であるといいます。そうでない場合、X は連結であるといいます。位相空間の部分集合は、その部分空間位相の下で連結である場合に連結であるといいます。一部の著者は、空集合(その固有の位相を持つ) を連結空間として除外しますが、この記事ではその慣例には従いません。

位相空間Xの場合、次の条件は同等です。

1. Xが接続されています。
2. X は2 つの互いに素な空でない閉集合に分割できません。
3. Xの開集合かつ閉集合 ( clopen sets )である唯一の部分集合は、Xと空集合です。
4. 空の境界を持つXの唯一の部分集合は、Xと空集合です。
5. X は、 2 つの空でない分離された集合の和集合として記述することはできません。
6. Xから離散位相を備えた 2 点空間 {0,1} までの連続関数のみが定数です。

R内のすべての区間は連結されています。

繋がった空間の連続したイメージが繋がっています。

空でない位相空間の最大の連結部分集合（包含 の順序で）は、空間の連結成分と呼ばれます。任意の位相空間Xの成分は、 Xの 分割を形成します。つまり、成分は互いに素で、空でなく、それらの和が空間全体となります。すべての成分は、元の空間の閉じた部分集合です。したがって、成分の数が有限である場合、各成分は開いた部分集合でもあります。ただし、成分の数が無限である場合は、そうではない可能性があります。たとえば、有理数集合の連結成分は1 点集合であり、開集合ではありません。

を位相空間Xにおけるxの連結成分とし、をx を含むすべての開閉集合の共通部分（xの準成分と呼ばれる）とします。ここで、 Xがコンパクト ハウスドルフまたは局所連結である場合、等式が成立します。 ${\displaystyle \Gamma _{x}}$${\displaystyle \Gamma _{x}'}$${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$

すべての成分が一点集合である空間は、完全に不連続であると呼ばれます。この特性に関連して、空間X は、 Xの任意の異なる 2 つの元xとyに対して、 xの互いに交わらない開近傍UとyのVが存在し、XがUとVの和集合であるとき、完全に分離されていると呼ばれます。明らかに、完全に分離された空間は完全に不連続ですが、その逆は成り立ちません。たとえば、有理数Qの 2 つのコピーを取り、ゼロ以外のすべての点でそれらを同一視します。結果として得られる空間は、商位相とともに、完全に不連続です。ただし、ゼロの 2 つのコピーを考慮すると、空間が完全に分離されていないことがわかります。実際、それはハウスドルフでもなく、完全に分離されているという条件は、ハウスドルフであるという条件よりも厳密に強いです。

位相空間X 内の点xから点yへのパスは、単位区間[0,1]からXへの連続関数fであり、 f (0) = xかつf (1) = yである。Xのパス成分は同値関係の下でのXの同値類であり、xからyへのパスがある場合にx はy と同値になる。パス成分が最大で 1 つしかない場合、つまり X 内の任意の 2 点を結ぶパスがある場合、空間Xはパス連結(またはパスごと連結、あるいは0 連結)であると言われる。ここでも、多くの著者は空の空間を除外している。

すべてのパス連結空間は連結です。逆は必ずしも真ではありません。パス連結でない連結空間の例には、延長された長い直線 L * や位相幾何学者の正弦曲線などがあります。

しかし、実数直線 Rの部分集合は、それらがパス連結である場合に限り連結であり、これらの部分集合はRの区間である。また、R ⁿまたはC ⁿの開部分集合が連結である場合に限り、それらはパス連結である。さらに、連結性とパス連結性は有限位相空間の場合と同じである。

Xが​

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

は、で添え字付けされた位相空間X _iと標準射影p _i  : X → X _iの直積であり、X上の積位相は、すべての射影p _iが連続する最も粗い位相（つまり、開集合が最も少ない位相）として定義されます。積位相は、ティコノフ位相と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle i\in I}$

積位相における開集合は、形式 の集合の和集合（有限または無限）であり、各U _iはX _iにおいて開集合であり、U _i  ≠  X _{i は}有限回のみである。特に、有限積（特に 2 つの位相空間の積）の場合、X _iの基本元の積は積 の基底を与える。 ${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$

X上の積位相は、形式p _i ⁻¹ ( U ) の集合によって生成される位相であり、 i はI内にあり 、U はX _iの開集合である。言い換えると、集合 { p _i ⁻¹ ( U )}はX上の位相の部分基底を形成する。Xの部分集合が開集合となるのは、形式p _i ⁻¹ ( U )の有限個の集合の交差の(無限個の場合もある) 和集合である場合に限る。p _i ⁻¹ ( U ) は開円筒と呼ばれることもあり、その交差は円筒集合である。

一般に、各X _iの位相の積は、X上のボックス位相と呼ばれるものの基底を形成します。一般に、ボックス位相は積位相よりも細かいですが、有限積の場合は両者は一致します。

コンパクト性と関連しているのは、チコノフの定理です。コンパクト空間の (任意の)積はコンパクトです。

これらの名前の多くは、分離公理の歴史で説明されているように、数学文献によっては別の意味を持っています。たとえば、「normal」と「T ₄」の意味は時々入れ替わりますし、「regular」と「T ₃」も同様です。多くの概念にも複数の名前がありますが、最初にリストされている名前は常に最も曖昧になりにくいです。

これらの公理のほとんどには、同じ意味を持つ別の定義があります。ここで示す定義は、前のセクションで定義されたさまざまな分離の概念に関連する一貫したパターンに当てはまります。その他の定義の可能性については、個々の記事を参照してください。

以下のすべての定義において、X は位相空間です。

• X内の任意の 2 つの異なる点が位相的に区別できる場合、 X はT ₀、つまりコルモゴロフです。(分離公理では、T _{0 を}必要とする公理と必要としない公理があるのが一般的なテーマです。)
• X内の任意の 2 つの異なる点が離れている場合、 XはT ₁、つまりアクセス可能またはフレシェです。したがって、 Xが T _{1であるのは、それが T 0}かつ R ₀である場合に限ります。( T ₁空間、フレシェ位相、位相空間Xがフレシェであると仮定すると、この文脈でフレシェ空間と言うことは避けてください。関数解析にはフレシェ空間のまったく異なる概念があるためです。)
• X内の任意の 2 つの異なる点が近傍によって分離されている場合、 X はハウスドルフ、または T 2 または分離されています。したがって、Xがハウスドルフで_あるためには、 T ₀かつ R ₁である必要があります。ハウスドルフ空間は T ₁である必要があります。
• X内の任意の 2 つの異なる点が閉じた近傍によって分離されている場合、 X はT _2½、つまりUrysohnです。 AT _2½空間はハウスドルフでなければなりません。
• Xが正則、またはT _{3 で}ある場合、それは T ₀であり、任意の点xとX内の閉集合Fが与えられ、 x がFに属さない場合、それらは近傍によって分離されます。 (実際、正則空間では、そのような任意のxとFも閉じた近傍によって分離されます。)
• Xは、 T ₀であり、かつ f の場合、任意の点xとX内の閉集合Fが与えられ、 x がFに属さない場合、それらは連続関数によって分離される、チコノフ、つまりT 3½ _{、完全に T 3} 、または完全に正則です。
• Xがハウスドルフであり、Xの任意の 2 つの互いに素な閉部分集合が近傍によって分離される場合、 Xは正規、つまりT ₄です。(実際、空間が正規となるのは、任意の 2 つの互いに素な閉集合が連続関数によって分離できる場合のみです。これはウリゾーンの補題です。)
• X は、 T ₁であり、任意の 2 つの分離した集合が近傍によって分離されている場合、完全に正規であるか、T ₅または完全に T ₄です。完全に正規の空間も正規でなければなりません。
• _{X が T 1}であり、かつ任意の 2 つの互いに素な閉集合が連続関数によって正確に分離されている場合、 X は完全正規、またはT ₆または完全 T ₄です。完全正規ハウスドルフ空間も完全正規ハウスドルフでなければなりません。

ティーツェ拡張定理: 通常の空間では、閉じた部分空間上で定義されたすべての連続実数値関数は、空間全体で定義された連続マップに拡張できます。

可算公理とは、特定の数学的対象（通常はカテゴリ内）の特性であり、特定の特性を持つ可算集合の存在を要求します。可算公理がなければ、そのような集合は存在しない可能性があります。

位相空間における重要な可算公理:

• 連続空間:集合内の点に収束するすべての列が 最終的に集合内に存在する場合、その集合は開集合である。
• 第一可算空間: すべての点には可算な近傍基数(局所基数)がある
• 第二可算空間：位相は可算な基底を持つ
• 可分空間: 可算な稠密部分空間が存在する
• リンデレーフ空間: すべての開被覆には可算な部分被覆がある
• σ-コンパクト空間: コンパクト空間による可算被覆が存在する

関係:

• 最初の可算空間はすべて連続しています。
• すべての 2 番目に可算な空間は、1 番目に可算で、分離可能であり、リンデレーフです。
• すべての σ-コンパクト空間はリンデレーフである。
• 距離空間は第一可算です。
• 距離空間の場合、第 2 可算性、分離可能性、および Lindelöf 特性はすべて同等です。

計量空間^[7]は、が集合であり、が上の計量である順序付き対 、すなわち関数である。${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

任意の に対して、次が成り立つ。 ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$     (非負)、
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\,}$ iff     (識別不能なものの同一性)、${\displaystyle x=y\,}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$     （対称性）と
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$     （三角不等式）。

この関数は距離関数、または単に距離とも呼ばれます。多くの場合、は省略され、文脈からどのメトリックが使用されているかが明らかな場合は、単に と記述してメトリック空間を表します。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

すべての計量空間はパラコンパクトかつハウスドルフであり、したがって正規です。

距離化定理は、トポロジーが距離から生じるための必要かつ十分な条件を提供します。

ベールのカテゴリー定理は、 Xが完全な距離空間または局所コンパクトなハウスドルフ空間である場合、可算個のどこ にも稠密でない集合のすべての和集合の内部は空である、ということを述べています。^[8]

ベール空間の任意の開部分空間は、それ自体がベール空間である。

連続体（連続体、複数形はcontinua）は、空でないコンパクト 連結 距離空間、またはそれほど一般的ではないが、コンパクト 連結 ハウスドルフ空間である。連続体理論は、連続体の研究に特化した位相幾何学の一分野である。これらのオブジェクトは、位相幾何学と解析学のほぼすべての分野で頻繁に登場し、その特性は多くの「幾何学的」特徴を生み出すほど強力である。

位相力学は、空間とその部分空間が継続的に変化したときの時間の経過に伴う挙動に関係します。物理学やその他の数学の分野に応用される多くの例としては、流体力学、ビリヤード、多様体上の流れなどがあります。フラクタル幾何学におけるフラクタル、複雑な力学で生じるジュリア集合とマンデルブロ集合、微分方程式におけるアトラクターの位相特性は、これらのシステムを理解する上でしばしば重要です。^[要出典]

無点位相幾何学（ポイントフリー位相幾何学とも呼ばれる）は、点に言及しない位相幾何学のアプローチである。「無点位相幾何学」という名前は、ジョン・フォン・ノイマンに由来する。^[9] 無点位相幾何学の考え方は、基礎となる点集合を明示的に参照せずに領域（集合）を基礎として扱うメレオトポロジーと密接に関連している。

次元理論は、位相空間の次元不変量を扱う一般位相幾何学の分野です。

位相体K上の位相代数 Aは、連続乗法を伴う 位相ベクトル空間である。

${\displaystyle \cdot :A\times A\longrightarrow A}$

${\displaystyle (a,b)\longmapsto a\cdot b}$

それにより、 K上の代数になります。単位結合位相代数は位相環です。

この用語はデイヴィッド・ファン・ダンツィヒによって造られ、彼の博士論文（1931年）のタイトルにも登場します。

位相幾何学および関連する数学の分野において、距離化可能空間とは、距離空間に同相な位相空間のことである。つまり、位相空間が距離化可能であるのは、距離が存在する場合である。 ${\displaystyle (X,\tau )}$

${\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )}$

dによって誘導される位相は となる。距離 化定理は、位相空間が距離化可能であるための 十分な条件を与える定理である。${\displaystyle \tau }$

集合論的位相幾何学は、集合論と一般位相幾何学を組み合わせた科目です。ツェルメロ・フランケル集合論(ZFC) とは独立した位相的な問題に焦点を当てています。有名な問題として、一般位相幾何学における問題として熱心な研究の対象となった正規ムーア空間問題があります。正規ムーア空間問題の答えは、最終的に ZFC とは独立していることが証明されました。

• 一般位相幾何学の例の一覧
• 詳細な定義については、一般トポロジーの用語集を参照してください。
• 関連記事の一般的なトポロジートピックのリスト
• 位相空間のカテゴリ

一般的な位相幾何学に関する標準的な書籍には以下のものがあります。

• ブルバキ、 Topologie Générale (一般トポロジー)、ISBN 0-387-19374-X。 
• John L. Kelley (1955) General Topology、Internet Archiveからのリンク、元々はDavid Van Nostrand Company によって出版されました。
• スティーブン・ウィラード『 一般位相幾何学』、ISBN 0-486-43479-6。 
• ジェームズ・マンクレス、 『トポロジー』、ISBN 0-13-181629-2。 
• ジョージ・F・シモンズ、『位相幾何学と現代解析学入門』、ISBN 1-575-24238-9。 
• Paul L. Shick、 『トポロジー：点集合と幾何学』、ISBN 0-470-09605-5。 
• Ryszard Engelking、『一般トポロジー』、ISBN 3-88538-006-4。 
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446
• O.Ya. Viro、OA Ivanov、VM Kharlamov、N.Yu. Netsvetaev、「Elementary Topology: Textbook in Problems」、ISBN 978-0-8218-4506-6。 

arXiv の主題コードは math.GN です。

• ウィキメディア・コモンズの一般位相幾何学に関連するメディア