非結合代数

非結合的代数[ ^1]（または分配代数）は、二項乗算演算が結合的であると仮定されない体上の代数である。すなわち、代数構造Aが体K上の非結合的代数であるとは、それがK上のベクトル空間であり、結合的である場合もそうでない場合もあるK -双線型二項乗算演算A × A → Aを備えている場合である。例としては、リー代数、ジョルダン代数、八元数、および外積演算を備えた 3 次元ユークリッド空間が挙げられる。乗算が結合的であるとは仮定されていないため、括弧を使用して乗算の順序を示す必要がある。たとえば、式 ( ab )( cd )、( a ( bc )) d、およびa ( b ( cd )) はすべて異なる答えを生成する可能性がある。

この「非結合的」の使用は結合性が想定されていないことを意味しますが、結合性が認められていないことを意味するわけではありません。言い換えれば、「非結合的」は「必ずしも結合的ではない」という意味であり、「非可換」は非可換環に対して「必ずしも可換ではない」という意味です。

代数が単位元e を持ち、代数内のすべてのxに対してex = x = xeが成り立つ場合、代数は単位元またはユニタリーです。たとえば、八元数は単位元ですが、リー代数は決して単位元ではありません。

Aの非結合的代数構造は、Kベクトル空間としてのAのK準同型完全代数の部分代数である他の結合的代数と関連付けることによって研究することができる。そのような 2 つは、微分代数と(結合的) 包絡代数であり、後者はある意味で「 A を含む最小の結合的代数」 である。

より一般的には、一部の著者は可換環 R上の非結合的代数の概念を考察している。これは、 R双線型二項乗算演算を備えたR加群である。 ^[2]結合性以外の環公理をすべて満たす構造（たとえば、任意のR代数）は、自然に-代数であるため、一部の著者は非結合的-代数を次のように呼んでいる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$非結合的な環。

2 つの二項演算とその他の制約のないリング状構造は、研究するには一般的すぎる広範なクラスです。このため、最もよく知られている種類の非結合代数は、乗算をいくらか単純化する恒等式、つまり特性を満たしています。これには次のものが含まれます。

x、y、z が体K上の代数Aの任意の元を表すものとします。正の（非ゼロの）整数のべき乗は、x ¹ ≝ xおよび著者に応じてx ^{n +1} ≝ x ⁿ x ^[3]（右べき乗）またはx ^{n +1} ≝ xx ^{n [4] [5]}（左べき乗）によって再帰的に定義されます。

• 単位元: ex = x = xeとなる元e が存在する。その場合、 x ⁰ ≝ eと定義できる。
• 結合法: ( xy ) z = x ( yz )。
• 可換：xy = yx。
• 反可換性：^[6] xy = − yx .
• ヤコビ恒等式: ^{[6] [7]} ( xy ) z + ( yz ) x + ( zx ) y = 0またはx ( yz ) + y ( zx ) + z ( xy ) = 0 (著者によって異なる)。
• ジョルダン恒等式：^{[8] [9]} ( x ² y ) x = x ² ( yx )または( xy ) x ² = x ( yx ² )著者によって異なる。
• 代替案: ^{[10] [11] [12]} ( xx ) y = x ( xy ) (左の代替案) および( yx ) x = y ( xx ) (右の代替案)。
• フレキシブル：^{[13] [14]} ( xy ) x = x ( yx )。
• n ≥ 2のn乗結合: 0 < k < nとなるすべての整数kについて、 x ^n−k x ^k = x ⁿ。
  • 3 乗結合法: x ² x = xx ²。
  • 4 乗結合法則: x ³ x = x ² x ² = xx ³ (以下の4 乗可換法則と比較してください)。
• べき乗結合性: ^{[4] [5] [15] [16] [3]任意の元によって生成される部分代数}は結合的である、すなわち、すべてのn≥2に対してn乗結合的である。
• n ≥ 2のn乗は交換可能である: 0 < k < nとなるすべての整数kに対して、 x ^n−k x ^k = x ^k x ^n−k。
  • 3 乗は交換可能: x ² x = xx ²。
  • 4 乗は交換可能です: x ³ x = xx ³ (上記の4 乗結合法則と比較してください)。
• べき乗可換: 任意の元によって生成される部分代数は可換である。つまり、すべてのn ≥ 2に対してn乗可換である。
• 指数n ≥ 2のべき零性:任意の関連付けにおける任意のn 個の要素の積はゼロになりますが、一部のn −1個の要素についてはゼロになりません。つまり、 x ₁ x ₂ … x _n = 0であり、特定の関連付けに対してy ₁ y ₂ … y _{n −1} ≠ 0となるn −1個の要素が存在します。
• インデックスn ≥ 2のnil :べき乗結合でx ⁿ = 0であり、 y ^{n −1} ≠ 0となる要素yが存在します。

任意の特性Kの場合:

• 結合は代替を意味します。
• left alternative、right alternative、およびFlexibleの 3 つのプロパティのうちの任意の 2 つは、3 番目のプロパティを意味します。
  • したがって、代替は柔軟性を意味します。
• 代替案はジョーダン恒等式を意味する。^{[17] [a]}
• 交換可能であるということは柔軟性があることを意味します。
• 反可換性は柔軟性を意味します。
• 代替はべき乗結合を意味する。^[a]
• フレキシブルとは、3 乗の結合を意味します。
• 2 乗結合法則と2 乗可換法則は常に真です。
• 3 乗結合法と3 乗可換法は同等です。
• n乗の結合法則はn乗の可換法則を意味します。
• インデックス 2 が nil の場合は、反可換であることを意味します。
• インデックス 2 が nil の場合は、Jordan 恒等式が成立します。
• 指数 3 の冪零点はヤコビ恒等式を意味します。
• インデックスnの冪零性は、 2 ≤ N ≤ nでインデックスNの nil を意味します。
• インデックスnのunitalとnil は互換性がありません。

K ≠ GF(2)またはdim( A ) ≤ 3の場合:

• ジョーダン恒等式と可換性は、冪結合性を意味する。^{[18] [19] [20] [要出典]}

char( K )≠2の場合:

• 正しい選択肢は力の結合を意味する。^{[21] [22] [23] [24]}
  • 同様に、左の選択肢はべき乗結合を意味します。
• ユニタルとジョーダンの恒等式は共に柔軟性を意味する。^[25]
• ジョーダンのアイデンティティと柔軟性は、一緒になって権力の連想を意味する。^[26]
• 可換性と反可換性を合わせると、指数 2 の冪零性が意味されます。
• 反可換性はインデックス 2 の nil を意味します。
• 単位性と反可換性は両立しない。

char( K )≠3の場合:

• ユニタルとヤコビ恒等式は互換性がありません。

char( K )∉{2,3,5 }の場合:

• 交換法則とx ⁴ = x ² x ² （ 4乗結合法を定義する2つの恒等式のうちの1つ）を合わせると、べき乗結合法が成立する。^[27]

char( K ) = 0の場合:

• 3乗結合法とx ⁴ = x ² x ² （ 4乗結合法を定義する2つの恒等式のうちの1つ）を合わせると、べき乗結合法が成立する。^[28]

char( K ) = 2の場合:

• 可換性と反可換性は同等です。

A上の結合子はK-多重線型写像であり 、 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A}$

[ x , y , z ] = ( xy ) z − x ( yz )です。

これは の非結合性の度合いを測るものであり、 Aが満たす可能性のあるいくつかの恒等式を便利に表現するために使用できます。 ${\displaystyle A}$

x、y、zが代数の任意の要素を表すもの とします。

• 連想: [ x , y , z ] = 0。
• 選択肢: [ x , x , y ] = 0 (左の選択肢) および[ y , x , x ] = 0 (右の選択肢)。
  • これは、任意の2つの項を並べ替えると符号が変わることを意味します：[ x , y , z ] = −[ x , z , y ] = −[ z , y , x ] = −[ y , x , z ]。逆はchar( K ) ≠ 2の場合にのみ成立します。
• 柔軟: [ x , y , x ] = 0。
  • これは、極値項を並べ替えると符号が変わることを意味します: [ x , y , z ] = −[ z , y , x ]。逆はchar( K ) ≠ 2の場合にのみ成立します。
• ジョーダン恒等式: ^[29] [ x ² , y , x ] = 0または[ x , y , x ² ] = 0 (著者による)。
• 3乗結合法: [ x , x , x ] = 0。

核とは、他のすべての要素と関連する要素の集合である。^[30]つまり、Aのnは、

[ n , A , A ] = [ A , n , A ] = [ A , A , n ] = {0}。

核はAの結合部分環である。

Aの中心は、 A内のすべてのものと交換可能で関連する要素の集合であり、

${\displaystyle C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}}$

核と共に。C (A)の要素については、2 つの集合が 3 つ目の集合もゼロ集合であれば十分であることがわかります 。${\displaystyle ([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])}$${\displaystyle \{0\}}$

• ベクトルのクロス積によって与えられる乗算を持つユークリッド空間R ^{3 は}、反可換で結合性のない代数の例です。クロス積はヤコビ恒等式も満たします。
• リー代数は、反可換性とヤコビ恒等式を満たす代数です。
• 微分可能多様体上のベクトル場の代数（KがRまたは複素数Cの場合）または代数多様体上のベクトル場の代数（一般のKの場合）
• ジョルダン代数は、交換法則とジョルダン恒等式を満たす代数である。^[9]
• すべての結合代数は、交換子をリー括弧として使用することでリー代数を生み出します。実際、すべてのリー代数はこのように構築できるか、またはこのように構築されたリー代数の部分代数です。
• 2 以外の特性を持つ体上のすべての結合代数は、新しい乗算x*y = ( xy + yx )/2 を定義することによって、ジョルダン代数を生じます。リー代数の場合とは対照的に、すべてのジョルダン代数がこのように構築できるわけではありません。このように構築できるものは特殊代数と呼ばれます。
• 代替代数は、代替特性を満たす代数です。代替代数の最も重要な例は、八元数(実数上の代数) と、他の体上の八元数の一般化です。すべての結合代数は代替です。同型を除いて、有限次元の実代替代数である除算代数 (以下を参照) は、実数、複素数、四元数、八元数だけです。
• べき結合代数 は、べき結合恒等式を満たす代数です。例には、すべての結合代数、すべての代替代数、GF(2)以外の体上のジョルダン代数(前のセクションを参照)、およびセデニオンが含まれます。
• R上の双曲的四元数代数。特殊相対論にミンコフスキー空間が採用される前の実験的な代数であった。

代数のその他のクラス:

• 次数代数。これには、テンソル代数、対称代数、および与えられたベクトル空間上の外積代数など、多重線型代数に関係するほとんどの代数が含まれます。次数代数は、フィルター代数に一般化できます。
• 除法代数。これには乗法逆元が存在する。実数体上の有限次元の代替除法代数は分類されている。それらは、実数(次元 1)、複素数(次元 2)、四元数(次元 4)、八元数(次元 8) である。四元数と八元数は可換ではない。これらの代数のうち、八元数を除いてすべて結合的である。
• 二次代数では、基底体のいくつかの要素rとsに対してxx = re + sxが成立し、 e が代数の単位となることが必要である。例としては、すべての有限次元代替代数と、実 2 行 2 列の行列の代数が挙げられる。同型性を除き、零の約数を持たない唯一の代替二次実代数は、実数、複素数、四元数、八元数である。
• ケイリー・ディクソン代数（KはR）は次のように始まります。
  • 複素数C （可換かつ結合的な代数）
  • 四元数 H (結合代数)
  • 八元数 O (代替代数)。
  • セデニオンS ;​
  • 三角多様体 Tとケーリー・ディクソン代数（べき結合代数）の無限列。
• 超複素代数はすべて有限次元の単位R代数であり、したがってケイリー・ディクソン代数などが含まれます。
• ポアソン代数は幾何量子化で考慮されます。ポアソン代数は 2 つの乗算を持ち、異なる方法で可換代数とリー代数に変換されます。
• 遺伝的代数は、数理遺伝学で使用される非結合代数です。
• トリプルシステム

環論や結合的代数からおなじみの特性がいくつかあり、それらは非結合的代数では必ずしも当てはまりません。結合的ケースとは異なり、（両側の）乗法逆元を持つ元は零因子になることもあります。たとえば、セデニオンの零でない元はすべて両側の逆元を持ちますが、そのうちのいくつかは零因子でもあります。

体K上の集合X上の自由非結合的代数は、すべての非結合的単項式、括弧を保持したXの元の有限形式積からなる基底を持つ代数として定義されます。単項式u、vの積は( u )( v )です。空積を単項式としてとると、代数は単位的になります。^[31]

クロシュは自由非結合代数のすべての部分代数は自由であることを証明した。 ^[32]

体K上の代数Aは特にKベクトル空間なので、AのK線型ベクトル空間自己準同型の結合代数 End _K ( A )を考えることができます。 A 上の代数構造に、 End _K ( A )の 2 つの部分代数、微分代数と(結合) 包絡代数を関連付けることができます。

A上の導出は、次の性質を持つ 写像Dである。

${\displaystyle D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .}$

A上の微分はEnd _K ( A )内の部分空間Der _K ( A )を形成する。2つの微分間の交換子もまた微分であり、そのためリー括弧はDer _K ( A )にリー代数の構造を与える。^[33]

代数Aの各元aには線型写像LとRが付随する: ^[34]

${\displaystyle L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .}$

Aの結合包絡代数または乗法代数は、左線型写像と右線型写像によって生成される結合代数である。^{[29] [35]} Aの重心は、自己準同型代数 End _K ( A )における包絡代数の中心化子である。代数が中心であるとは、その重心が単位元のKスカラー倍数から構成される場合である。^[16]

非結合代数によって満たされる可能性のある恒等式のいくつかは、線型写像によって便利に表現できる。^[36]

• 可換性: 各L ( a ) は対応するR ( a )に等しい。
• 結合法則: 任意のL は任意のRと可換である。
• 柔軟性: すべてのL ( a ) は対応するR ( a ) と可換である。
• ジョーダン：すべてのL ( a )^はR ( a2 )と可換である。
• 代替案: すべてのL ( a ) ² = L ( a ² ) であり、右側についても同様です。

二次表現 Qは^[37]で定義される。

${\displaystyle Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\ }$、

または同等に、

${\displaystyle Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .}$

普遍包絡代数に関する記事では、包絡代数の標準的な構成と、それに対する PBW 型定理について説明します。リー代数の場合、そのような包絡代数は普遍的な性質を持ちますが、これは一般に非結合代数には当てはまりません。最もよく知られている例は、おそらくアルバート代数であり、これは例外的なジョルダン代数であり、ジョルダン代数の包絡代数の標準的な構成によって包絡されません。

• 代数の一覧
• 可換非結合マグマ、非結合代数を生じる

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