準同型環

数学では、アーベル群Xの自己準同型写像は環を形成する。この環はXの自己準同型環と呼ばれ、End( X )と表記される。これはXのそれ自身への準同型写像全体の集合である。自己準同型の加算は点ごとの方法で自然に生じ、乗算は自己準同型合成によって生じる。これらの演算を使用すると、アーベル群の自己準同型の集合は (単位) 環を形成し、零写像 は加法恒等写像、恒等写像は乗法恒等写像となる。^{[1] [2]} ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ ${\textstyle 1:x\mapsto x}$

関係する関数は、文脈において準同型として定義されるものに制限され、それは検討中のオブジェクトのカテゴリに依存します。自己準同型環は、結果的に、オブジェクトの内部特性をいくつかエンコードします。自己準同型環は、多くの場合、何らかの環R上の代数であるため、自己準同型環とも呼ばれます。

アーベル群は、環のカテゴリの最初のオブジェクトである整数環上の加群と同じものです。同様に、R が任意の可換環である場合、 R加群の自己準同型は同じ公理と導出によりR上の代数を形成します。特に、R が体である場合、その加群Mはベクトル空間であり、それぞれの自己準同型環は体R上の代数です。

( A , +)をアーベル群とし、 A から A への群準同型を考えます。このような2 つの準同型の加算を点ごとに定義して、別の群準同型を作成できます。明示的には、このような 2 つの準同型fとgを考えると、fとgの和は準同型f + g  : x ↦ f ( x ) + g ( x )です。この操作を行うと、 End( A ) はアーベル群になります。準同型の合成という追加の操作を行うと、 End( A ) は乗法単位元を持つ環になります。この合成は明示的にfg  : x ↦ f ( g ( x ))です。乗法単位元はA上の単位元準同型です。加法逆元は点ごとの逆元です。

集合Aがアーベル群を形成しない場合、2つの準同型の和が準同型である必要はないため、上記の構成は必ずしも明確に定義されません。^[3]しかし、上記の演算による自己準同型集合の閉包は、環ではない 近似環の標準的な例です。

• 自己準同型環は常に加法恒等写像と乗法恒等写像、つまりそれぞれ零写像と恒等写像を持ちます。
• 自己準同型環は結合的だが、通常は非可換である。
• 加群が単純であれば、その自己準同型環は除算環である（これはシューアの補題と呼ばれることもある）。^[4]
• モジュールが分解不可能なのは、その自己準同型環に非自明な冪等元が含まれない場合に限ります。^[5]モジュールが入射モジュールである場合、分解不可能なことは自己準同型環が局所環であることと同値です。^[6]
• 半単純モジュールの場合、自己準同型環はフォン・ノイマン正則環です。
• 非零右ユニシリアル加群の自己準同型環には、1 つまたは 2 つの極大右イデアルがあります。加群がアルティン、ネーター、射影、または単射である場合、自己準同型環には一意の最大イデアルがあるため、局所環になります。
• アルティン一様加群の自己準同型環は局所環である。^[7]
• 有限の合成長を持つ加群の自己準同型環は半主環である。
• 連続加群または離散加群の自己準同型環はクリーン環である。^[8]
• R加群が有限生成かつ射影的（つまり、プロジェネレータ）である場合、加群の自己準同型環とR はすべての Morita 不変特性を共有する。Morita 理論の基本的な結果は、 Rに同値なすべての環がプロジェネレータの自己準同型環として生じるということである。

• R加群のカテゴリでは、 R加群Mの自己準同型環はR加群準同型のみを使用します。これは通常、アーベル群準同型の適切な部分集合です。^[9] M が有限生成 射影加群のとき、自己準同型環は加群カテゴリの森田同値の中心となります。
• 任意のアーベル群 に対して、の任意の行列は次のような の自然準同型構造を持つため、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})}$${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))}$${\displaystyle A^{n}}$

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.}$

この同型性を利用して、多くの非可換自己準同型環を構築することができます。例えば、 です。${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong \mathrm {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

また、が体のとき、標準同型 が存在するので、となる。つまり、 -ベクトル空間の自己準同型環は、を要素とするn行n列の行列の環と同一視される。^{[10]より一般的には、}自由加群の自己準同型代数は、自然に、環 を要素とする - 行-列の行列となる。${\displaystyle R=K}$${\displaystyle \operatorname {End} (K)\cong K}$${\displaystyle \operatorname {End} (K^{n})\cong \mathrm {M} _{n}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M=R^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

• 最後の点の具体的な例として、単位元を持つ任意の環Rに対して、 End( R _R ) = R が成り立ちます。ここで、 Rの元はRに対して左乗算で作用します。
• 一般に、自己準同型環は任意の前加法カテゴリのオブジェクトに対して定義できます。