最大限の理想

数学、特に環論において、極大イデアルとは、すべての真のイデアルの中で（集合の包含に関して）極大である両側イデアルのことである。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}言い換えれば、IとRの間に他の両側イデアルが存在しないならば、 I は環Rの極大イデアルである。

極大イデアルは、環を極大イデアルで割った商環が単純環であり、可換環の特殊な場合には体にもなるため重要です。可換環Rの極大イデアルの集合は、 Rの極大スペクトルとして知られており、 m-Spec R、Specm R、MaxSpec R、Max R、または Spm Rなどと表記されます。ザリスキ位相を備えた場合、これは、ザリスキ位相を備えた素イデアル の集合である 素スペクトルSpec Rの閉点の部分空間となります。

非可換環の理論では、極大右イデアルは、真の右イデアルの半順序集合における極大元として同様に定義され、同様に、極大左イデアルは、真の左イデアルの半順序集合における極大元として定義されます。片側極大イデアルAは必ずしも両側極大イデアルではないため、商R / Aは必ずしも環ではなく、 R上の単純加群です。Rが唯一の極大右イデアルを持つ場合、Rは局所環として知られ、極大右イデアルは環の唯一の極大左イデアルおよび唯一の極大両側イデアルでもあり、実際にはJacobson 根基J( R ) です。

環には一意の極大両側イデアルが存在しても、一意の極大片側イデアルが存在しない場合がある。例えば、体上の2×2正方行列の環では、零イデアルは極大両側イデアルであるが、極大右イデアルは多数存在する。

極大片側イデアルと極大両側イデアルの定義を表現する他の同値な方法もある。環RとRの真イデアルI (つまりI ≠ R ) が与えられたとき、I がRの極大イデアルであるのは、以下の同値な条件のいずれかが成り立つ場合である。

• Rには、 I ⊊ Jとなるような他の適切なイデアルJは存在しない。
• I ⊆ Jを満たす任意のイデアルJに対して、J = IまたはJ = Rのいずれかが成り立つ。
• 商環R / Iは単純環である。

片側イデアルについても同様のリストがあり、ここでは右側のバージョンのみを示します。環Rの右イデアルAについて、次の条件はA がRの極大右イデアルであることと同値です。

• A ⊊ BとなるようなRの他の真の右イデアルBは存在しない。
• A ⊆ Bとなる任意の右イデアルBに対して、B = AまたはB = Rのいずれかが成り立つ。
• 商加群R / Aは単純右R加群である。

最大右/左/両側イデアルは、最小イデアルの双対概念である。

• Fが体である場合、唯一の極大イデアルは{0}である。
• 整数環Zにおいて、極大イデアルとは素数によって生成される主イデアルのことである。
• より一般的に言えば、すべての非ゼロ素イデアルは主イデアル領域において極大である。
• 理想${\displaystyle (2,x)}$は環における極大イデアルである${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$一般的に、最大イデアルは${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$形式は${\displaystyle (p,f(x))}$どこ${\displaystyle p}$は素数であり、${\displaystyle f(x)}$は多項式である${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$これは法を法として既約である${\displaystyle p}$。
• すべての素イデアルは、ブール環（冪等元のみからなる環）において極大イデアルである。実際、すべての素イデアルは可換環において極大である。${\displaystyle R}$整数が存在するとき${\displaystyle n>1}$そのため${\displaystyle x^{n}=x}$いかなる場合でも${\displaystyle x\in R}$。
• 多項式環の最大イデアル${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$は、${\displaystyle xc}$一部の人にとって${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$。
• より一般的には、多項式環の最大イデアル${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$代数的に閉じた体K上のイデアルは次の形式である。${\displaystyle (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})}$この結果は弱いヌルステレンザッツとして知られています。
• さらに一般的に、K を代数的に閉じた体とすると、${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$アフィン代数集合であり、${\displaystyle \mathrm {I} (V)}$多項式のイデアルである${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$V上で消滅する。すると座標環の極大イデアルは${\displaystyle K[V]=K[x_{1},...,x_{n}]/\mathrm {I} (V)}$形式は${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=({\overline {x_{1}}}-a_{1},...,{\overline {x_{n}}}-a_{n})}$、 どこ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V}$、 そして${\displaystyle {\overline {x_{i}}}}$は、${\displaystyle x_{i}}$自然投影図の下で${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]\to K[V]}$したがって、1対1の対応関係が存在する。${\displaystyle a\leftrightarrow {\mathfrak {m}}_{a}}$点と点の間${\displaystyle a\in V}$そして最大限の理想${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}\in \mathrm {Spm} (K[V])}$。

• 環の重要なイデアルであるヤコブソン根基は、極大右イデアル（または極大左イデアル）を用いて定義することができる。
• Rがイデアルmを持つ単位元を持つ可換環である場合、k = R / m が体となるのは、 mが極大イデアルである場合に限る。この場合、R / mは剰余体と呼ばれる。この事実は、単位元を持たない環では成り立たないことがある。例えば、${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$は、${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$、 しかし${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$フィールドではありません。
• Lが極大左イデアルである場合、 R / Lは単純左R加群である。逆に、単位元を持つ環では、任意の単純左R加群はこのようにして生じる。ちなみに、これは単純左R加群の代表元群が実際には集合であることを示している。なぜなら、それはRの極大左イデアルの集合の一部に対応させることができるからである。
• クルルの定理(1929): 零でない単位元を持つ環はすべて極大イデアルを持つ。この結果は、「イデアル」を「右イデアル」または「左イデアル」に置き換えても成り立つ。より一般的には、零でない有限生成加群はすべて極大部分加群を持つ。IがRではないイデアルである(それぞれ、 A がRではない右イデアルであると)。すると、 R / Iは単位元を持つ環 (それぞれ、 R / Aは有限生成加群) となり、上記の定理を商環に適用することで、 I (それぞれ、 A )を含むRの極大イデアル (それぞれ、極大右イデアル) が存在すると結論付けることができる。
• クルルの定理は、単位元を持たない環には適用できない場合があります。根基環、すなわちヤコブソン根基が環全体である環は、単純加群を持たないため、極大右イデアルも極大左イデアルも持ちません。この問題を回避する方法については、正則イデアルの項を参照してください。
• 単位元を持つ可換環では、すべての極大イデアルは素イデアルである。逆は必ずしも真ではない。例えば、非体整域では、零イデアルは極大イデアルではない素イデアルである。素イデアルが極大である可換環は零次元環と呼ばれ、ここで用いられる次元はクルル次元である。
• kが体である場合、有限生成k代数の極大イデアルのk代数準同型による逆像は極大イデアルである。しかし、単位元を持つ可換環の極大イデアルの環準同型による逆像は必ずしも極大とは限らない。例えば、${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$インクルージョンマップとなり、${\displaystyle {\mathfrak {n}}=(0)}$で${\displaystyle \mathbb {Q} }$。 それから${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$最大となるのは${\displaystyle \mathbb {Q} }$しかし${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {n}})=(0)}$最大ではない${\displaystyle \mathbb {Z} }$。
• 非可換環の極大イデアルは、可換的な意味で素イデアルではないかもしれない。例えば、${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$すべての指輪となる${\displaystyle n\times n}$行列${\displaystyle \mathbb {Z} }$この環は最大の理想値を持つ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$どのプライムでも${\displaystyle p}$しかし、これは素イデアルではない。なぜなら（${\displaystyle n=2}$）${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$そして${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$は${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$、 しかし${\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ただし、非可換環の極大イデアルは、以下の一般化された意味で素イデアルである。

R加群Aに対して、Aの極大部分加群Mとは、他の任意の部分加群 N に対して、M ⊆ N ⊆ A ならば N = M または N = A となる性質を満たす部分加群M ≠ Aである。言い換えれば、Mが極大部分加群であるのは、商加群A / Mが単純加群である場合に限る。環Rの極大右イデアルは、加群R _Rの極大部分加群と完全に一致する。

単位元を持つ環とは異なり、非零加群は必ずしも極大部分加群を持つとは限りません。しかし、前述のように、有限生成非零加群は極大部分加群を持ち、射影加群も極大部分加群を持ちます。

環の場合と同様に、最大部分加群を用いて加群の根基を定義することができる。さらに、最大イデアルは、双加群Bの最大部分双加群Mを、 Mの他のどの真部分双加群にも含まれない M の真部分双加群として定義することにより一般化できる。R の最大イデアルは、双加群_R R _Rの最大部分双加群と完全に一致する。

• アンダーソン、フランク W.、フラー、ケント R. (1992)、「環と加群の圏」、大学院数学テキスト、第 13 巻 (第 2 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp.  x+376、doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9、ISBN 0-387-97845-3MR 1245487​ 
• Lam, TY (2001), 『非可換環入門』、Graduate Texts in Mathematics、第 131巻（第2 版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp.  xx+385、doi：10.1007/978-1-4419-8616-0、ISBN 0-387-95183-0MR 1838439​