普遍係数定理

代数的位相幾何学では、普遍係数定理によって、異なる係数を持つホモロジー群（またはコホモロジー群） 間の関係が確立されます。たとえば、すべての位相空間 Xに対して、その整ホモロジー群は次のようになります。

H _i ( X ; Z )

任意のアーベル群Aに対して、Aの係数を持つホモロジー群を 完全に決定します。

H _i ( X ; A )

ここで、H _{i は}単体ホモロジー、またはより一般的には特異ホモロジーである可能性があります。この結果の通常の証明は、自由アーベル群の連鎖複体に関する純粋なホモロジー代数です。結果の形式は、 Tor 関数を使用するコストで、他の係数Aを使用できるというものです。

たとえば、係数が 2 を法として、AをZ /2 Zとするのが一般的です。これは、ホモロジーに 2捩れがない場合には簡単になります。一般に、結果は、Xのベッティ数 b _iと、体Fの係数を持つベッティ数b _i、Fの間に保持される関係を示します。これらは異なる可能性がありますが、 Fの特性が素数pであり、ホモロジーに p捩れがある場合のみです。

モジュール H _i ( X ; Z ) ⊗ Aのテンソル積を考える。定理は、Tor関手を含む短い完全列が存在することを述べている。

${\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}$

さらに、このシーケンスは、自然ではないものの、を分割します。ここで、 μ は、双線型マップH _i ( X ; Z ) × A → H _i ( X ; A )によって誘導されるマップです。

係数環AがZ / p Zの場合、これはBockstein スペクトル列の特殊なケースです。

G を主イデアル領域R (たとえば、Zまたは体) 上のモジュールとします。

また、 Ext関手を含むコホモロジーに対する普遍係数定理もあり、これは自然な短完全列が存在することを主張している。

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}$

相同性の場合と同様に、配列は自然ではありませんが分割されます。

実際、

${\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}$

そして定義します:

${\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}$

上記のhは標準マップです。

${\displaystyle h([f])([x])=f(x).}$

別の観点は、コホモロジーをアイレンバーグ・マクレーン空間を介して表すことに基づくことができ、ここで写像h は、ホモロジーで誘導される対応する準同型へのXからK ( G , i )への写像のホモトピー類を取る。したがって、アイレンバーグ・マクレーン空間はホモロジー関数の弱い右随伴である。^[1]

X = P ⁿ ( R )、実射影空間とします。積分ホモロジー、つまりR = Zを使用して、 G = Z /2 Zの係数を持つXの特異コホモロジーを計算します。

整数ホモロジーは次のように与えられることが分かっています。

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ または }}i=n{\text{ 奇数,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{奇数,}}\\0&{\text{その他.}}\end{cases}}}$

Ext ( G , G ) = G、 Ext( R , G ) = 0なので、上記の正確なシーケンスは

${\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;G)=G.}$

実際、コホモロジー環構造全体は

${\displaystyle H^{*}(X;G)=G[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}$

この定理の特殊なケースは積分コホモロジーを計算することです。有限の CW 複体Xに対して、H _i ( X ; Z )は有限生成なので、次の分解が得られます。

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}$

ここでβ _i ( X )はXのベッチ数であり、はのねじれ部分である。 ${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle H_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}$

そして

${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}$

これにより、積分コホモロジーについて次のステートメントが得られます。

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}$

Xが向き付け可能で閉じた連結なn次元多様体である場合 、この系はポアンカレ双対性と組み合わされてβ _i ( X ) = β _{n − i} ( X )となる。

ねじれ係数を持つ(コ)ホモロジーに対する普遍係数定理の一般化があります。

コホモロジーについては

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)}$

ここでは単位 を持つ環、は 上の自由加群の鎖複体、は単位 を持つ何らかの環に対する任意の -双加群、はExt 群です。微分は次数 です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{*}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (R,S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Ext}$${\displaystyle d^{r}}$${\displaystyle (1-r,r)}$

同様にホモロジーについても

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=Tor_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)}$

Tor の場合、Tor 群と次数の微分。 ${\displaystyle d_{r}}$${\displaystyle (r-1,-r)}$

• Allen Hatcher著『Algebraic Topology』、Cambridge University Press、Cambridge、2002 年。ISBN 0-521-79540-0 。現代的で幾何学的な味わいのある代数的位相幾何学の入門書。この本 は、著者のホームページで PDF 形式および PostScript 形式で無料で入手できます。
• カイネン、PC (1971)。 「弱い随伴関数」。数学的ツァイシュリフト。122 : 1-9.土井：10.1007/bf01113560。S2CID  122894881。
• ジェローム・レヴァイン「結び目モジュール I」アメリカ数学会誌 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

• 環係数を持つ普遍係数定理