コーエン構造定理

数学において、コーエン(1946)によって導入されたコーエン構造定理は、完全なノイザン局所環 の構造を記述します。

コーエンの構造定理の帰結として、クルルの3つの予想が挙げられる。

• 任意の完全な正則等特性ノイザン局所環は、体上の形式的冪級数の環です。(等特性とは、局所環とその留数体が同じ特性を持ち、体を含む局所環と同値であることを意味します。)
• 等特性ではないが非分岐である任意の完全な正則ノイザン局所環は、その剰余体と次元によって一意に決定されます。
• 任意の完全なネーター局所環は完全な正則ネーター局所環の像である。

コーエンの定理の最も一般的に使用されるケースは、完全なノイザン局所環が何らかの体を含む場合です。この場合、コーエンの構造定理は、環が何らかのイデアルIに対してk [[ x ₁ ,..., x _n ]]/( I )の形式であることを述べています。ここで、kはその留数類体です。

完全なノイザン局所環が体を含まない不等特性ケースでは、コーエンの構造定理は、局所環が、局所環と同じ留数体を持つコーエン環上の有限個の変数の形式的冪級数環の商であることを述べています。コーエン環は、最大イデアルが素数p (留数体の特性に等しい) によって生成される体または完全な特性ゼロ離散値環です。

どちらの場合も、コーエンの証明の最も難しい部分は、完全なノイザン局所環に係数環（または係数体）が含まれることを示すことです。係数環とは、局所環と同じ留数体を持つ完全な離散値環（または体）を意味します。

この資料はすべて、 Stacksプロジェクト「Stacks プロジェクト — タグ 0323」で慎重に開発されています。stacks.math.columbia.edu。2018年 8 月 13 日取得。。

• コーエン、アーヴィン・ソル（1946）「完全局所環の構造と理想理論について」アメリカ数学会誌、59（1）：54–106、doi：10.2307/1990313、ISSN  0002-9947、JSTOR  1990313、MR  0016094コーエンの論文が書かれた当時、「局所環」は現在「ネーター局所環」と呼ばれているものを意味していた。
• サミュエル、ピエール(1953)、Algèbre ロケール、Mémor。科学。数学、vol. 123、ゴーティエ ヴィラール、MR  0054995