領域（環論）

代数学において、ドメインとは、 ab = 0ならばa = 0またはb = 0となるような零でない環のことである。^{[ 1 ]} (このような環は「零積の性質を持つ」と言われることもある。) 同様に、ドメインとは、0 が唯一の左零因子である環(または同様に、唯一の右零因子である環) のことである。可換ドメインは整域と呼ばれる。^{[ 1 ] [ 2 ]} 数学文献には、「ドメイン」の定義の複数のバリエーションが存在する。^{[ 3 ]}

• 指輪${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$これは領域ではありません。なぜなら、この環における 2 と 3 の像は、積が 0 となる非ゼロ要素だからです。より一般的には、正の整数に対して${\displaystyle n}$指輪${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ドメインであるのは、${\displaystyle n}$素数です。
• ウェダーバーンの小定理により、有限領域は自動的に有限体となる。
• 四元数は非可換領域を形成する。より一般的には、すべての非零元が可逆であるため、任意の除法環は領域である。
• すべてのリプシッツ四元数の集合、すなわち、次の形式の四元数の集合。${\displaystyle a+bi+cj+dk}$ここで、 a、b、c、dは整数であり、は四元数の非可換部分環であり、したがって非可換領域である。
• 同様に、すべてのフルヴィッツ四元数、すなわち次の形式の四元数の集合は、${\displaystyle a+bi+cj+dk}$ここで、 a、b、c、dはすべて整数またはすべて半整数であり、非可換領域である。
• n ≥ 2 の行列環M _n ( R )は決して領域にはなりません。R がゼロでない場合、そのような行列環はゼロでない零因子を持ち、 0 以外の冪零元さえも持ちます。たとえば、単位行列E ₁₂の二乗は0 です。
• ベクトル空間のテンソル代数、または同等に、体上の非可換変数の多項式の代数、${\displaystyle \mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,}$これは領域である。これは非可換単項式の順序付けを用いて証明できる。
• Rがドメインであり、SがRのOre拡張である場合、Sはドメインである。
• ワイル代数は非可換領域である。
• 体上の任意のリー代数の普遍包絡代数は領域である。証明には、普遍包絡代数に対する標準的なフィルター処理とポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理を用いる。

Gを群、 Kを体とする。群環R = K [ G ]は整域か？

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n},}$

これは、 n > 1の有限位数の要素gがRに零因子1 − gを誘導することを示しています。零因子問題は、これが唯一の障害であるかどうかを問うものです。言い換えれば、

体Kとねじれのない群Gが与えられたとき、 K [ G ] は零因子を含まないというのは正しいでしょうか？

反例は知られていないが、この問題は一般的には未解決のままである（2017年現在）。

多くの特殊な群のクラスでは、答えは肯定です。FarkasとSniderは1976年に、Gがねじれのない有限多環群でchar K = 0の場合、群環K [ G ]は整域であることを証明しました。その後（1980年）、Cliffは体の標数に関する制限を取り除きました。1988年、Kropholler、Linnell、Moodyはこれらの結果をねじれのない可解群と有限可解群の場合に一般化しました。Michel Lazardの以前の（1965年）研究は、その重要性が約20年間この分野の専門家に認識されませんでしたが、 Kがp進整数の環で、GがGL( n , Z )のp番目の合同部分群である場合を扱っていました。

零因子は、少なくとも可換環の場合には位相的な解釈を持つ。環Rが整域であるのは、それが既約であり、かつそのスペクトルSpec Rが既約位相空間である場合に限る。最初の性質はしばしば微小な情報を符号化していると考えられ、2番目の性質はより幾何学的な意味合いを持つ。

例えば、体kにおける環k [ x , y ]/( xy )は、xとyの像が零因子であるため、整域ではありません。幾何学的には、これは、直線x = 0とy = 0の和集合であるこの環のスペクトルが既約ではないという事実に対応します。実際、これら 2 つの直線は、この環の既約成分です。

• 零除数
• ゼロ積特性
• 因子（環論）
• 積分領域

• ラム、ツィットユエン（2001）。非可換環入門（第2 版）。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-95325-0. MR 1838439 . 
• チャールズ・ランスキー (2005)。抽象代数の概念。アムス書店。ISBN 0-534-42323-X。
• セザール・ポルチーノ・ミリエス、スダルシャン・K・セーガル（2002）。群環入門。シュプリンガー。ISBN 1-4020-0238-6。
• ネイサン・ジェイコブソン（2009）。基礎代数学I。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-47189-1。
• ルイス・ハレ・ローウェン（1994）。代数学：群、環、体。AKピーターズ。ISBN 1-56881-028-8。