GCDドメイン

数学において、GCDドメイン（単にドメインと呼ばれることもある）は、任意の2つの要素が最大公約数（GCD）を持つという性質を持つ整域 Rである。つまり、与えられた2つの要素によって生成されるイデアルを含む唯一の最小主イデアルが存在する。同様に、Rの任意の2つの要素は最小公倍数（LCM）を持つ。 ^[1]

GCD 領域は、一意因数分解領域(UFD) を次の意味で非ノイザン設定に一般化します。積分領域が UFD となるのは、主イデアルの昇順連鎖条件を満たすGCD 領域である場合(特にノイザンである場合) のみです。

GCD ドメインは、次のクラス包含チェーンに現れます。

乱数⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃ GCD 域⊃一意因数分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数的に閉体

GCD 領域のすべての既約元は素数です。GCD 領域は整閉であり、すべての非ゼロ元は素数です。言い換えると、すべての GCD 領域はシュライア領域です。

GCD 領域Rの要素x、y のあらゆるペアに対して、 xとyのGCD dとxとyのLCM mをdm = xyとなるように選択できます。つまり、 xとy が非ゼロ要素でdがxとy の任意のGCD dである場合、xy / d はxとyの LCM であり、その逆も同様です。したがって、 GCD と LCM の演算により、商 R /~ が分配格子になります。ここで、 "~" は、関連要素であるという同値関係を表します。 GCD の存在と LCM の存在の同値性は、商R /~ が GCD 領域Rの完全格子である必要がないため、完全格子に関する同様の結果の帰結ではありません。^[要出典]

RがGCD領域であれば、多項式環R [ X ₁ ,..., X _n ]もGCD領域となる。^[2]

R が GCD 領域となるのは、その主イデアルの有限交差が主イデアルとなる場合のみです。特に、であり、 はおよびの最小公倍数です。 ${\displaystyle (a)\cap (b)=(c)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

GCD 領域上のXの多項式について、その内容をそのすべての係数の GCD として定義できます。すると、多項式の積の内容は、 GCD 領域で有効なガウスの補題で表されるように、それらの内容の積になります。

• 一意の因数分解領域は GCD 領域です。GCD 領域の中で、一意の因数分解領域は、まさに原子領域でもある領域です(つまり、任意の非ゼロ非単位に対して、少なくとも 1 つの既約元への因数分解が存在する)。
• ベズー領域（すなわち、すべての有限生成イデアルが主である整域）は GCD 領域です。主イデアル領域（すべてのイデアルが主）とは異なり、ベズー領域は一意の因数分解領域である必要はありません。たとえば、整関数の環は非原子ベズー領域であり、他にも多くの例があります。整域がPrüfer GCD 領域であるためには、それがベズー領域である必要があります。^[3]
• R が非原子 GCD 領域である場合、 R [ X ] は、一意の因数分解領域 (非原子であるため) でもなく、ベズー領域 ( XとRの非可逆かつ非ゼロの元aは1 を含まないイデアルを生成するが、1 はそれでもXとaの GCD であるため) でもない GCD 領域の例です。より一般的には、任意の環R [ X ₁ ,..., X _n ] はこれらの特性を持ちます。
• 可換モノイド環がGCD領域である場合と、GCD領域が 捩れのない相殺的GCD半群である場合は、その限りである。GCD半群とは、半群内の任意のおよびに対して、となるような が存在するという追加の特性を持つ半群である。特に、がアーベル群である場合、がGCD領域である場合と、GCD領域が捩れのないものである場合は、その限りである。^[4] ${\displaystyle R[X;S]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a+S)\cap (b+S)=c+S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R[X;G]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$
• 環はすべての平方自由整数に対するGCD領域ではない。^[5]${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-d}}]}$ ${\displaystyle d\geq 3}$

GCD領域の特性の多くは一般化GCD領域にも引き継がれ、^[6]主イデアルが可逆イデアルに一般化され、2つの可逆イデアルの交差が可逆であるため、可逆イデアルの群は格子を形成します。GCD環では、イデアルは主イデアルである場合にのみ可逆であり、GCDおよびLCM演算も可逆イデアル上の演算として扱うことができます。

G-GCD 領域の例には、GCD 領域、GCD 領域上の多項式環、プリューファー領域、およびベズー領域の GCD プロパティと一意の因数分解領域を一般化する π 領域 (すべての主イデアルが素イデアルの積である領域) が含まれます。