バーンサイドリング

数学において、有限群のバーンサイド環は、群が有限集合に作用するさまざまな方法をコード化する代数的構成です。このアイデアは、19 世紀末にウィリアム バーンサイドによって導入されました。代数環構造は、ソロモン (1967) による最近の開発です。

有限群 Gが与えられたとき、そのバーンサイド環 Ω( G )の生成元は有限G集合の同型類の形式的な和である。環構造に対して、加算はG集合の非交わる和とそれらの直積による乗算で与えられる。

バーンサイド環は自由Z加群であり、その生成元はGの軌道型(の同型類) です。

G が有限集合Xに作用する場合、(互いに素な和)と書くことができます。ここで、各X _{i は}単一のG軌道です。X iの任意の元x _{i を選択}すると、同型G / G _i → X _iが作成されます。ここで、 G _{i は}x _iにおけるGの安定化 (等方性) 部分群です。X _iの代表的なy _{i を}別の方法で選択すると、安定化としてG _iの共役部分群が得られます。これは、Z加群としての Ω( G )の生成元は、 H がGの部分群の共役類にわたるときの軌道G / Hであることを示しています。 ${\textstyle X=\bigcup _{i}X_{i}}$

言い換えれば、Ω( G )の典型的な元は、 Zのa _iとG ₁、G ₂、...、G _{N が}Gの部分群の共役類の代表である ときです。 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}[G/G_{i}],}$$

キャラクター理論がグループ表現の取り扱いを簡素化するのと同様に、マークは順列表現とバーンサイド環 の取り扱いを簡素化します。

G がXに作用し、H ≤ G ( HはGの部分群)である場合、X上のHのマークは、 Hのすべての元によって固定されるXの元の数です。ここで ${\displaystyle m_{X}(H)=\left|X^{H}\right|}$

${\displaystyle X^{H}=\{x\in X\mid h\cdot x=x,\forall h\in H\}.}$

HとKが共役部分群であれば、_任意の有限G集合Xに対して^mX ( H ) = mX ( K ₎となる。実際、K = gHg ⁻¹であればXK = g · XH^となる。

また、各H ≤ Gに対して、写像Ω ( G ) → Z  : X ↦ m _X ( H ) が準同型であることも簡単にわかります。これは、 Gのマークを知るには、 Ω ( G ) の生成元、つまり軌道G / Hでそれらを評価するだけで十分であることを意味します。

部分群H、K≤Gの各ペアについて定義する

${\displaystyle m(K,H)=\left|[G/K]^{H}\right|=\#\left\{gK\in G/K\mid HgK=gK\right\}.}$

これは、 X = G / Kのときのm _X ( H )です。条件HgK = gK はg ⁻¹ Hg ≤ Kと同等であるため、H がKのサブグループと共役でない場合は、 m ( K , H ) = 0 となります。

すべての可能なマークを記録するには、次の表、バーンサイドのマーク表を作成します。 G ₁ (= 自明なサブグループ)、G ₂、...、G _N = Gを、 G _iがG _jのサブグループと共役である場合は常にi ≤ jとなるように順序付けられた、GのサブグループのN共役類の代表とします。次に、 ( i、j ) 番目のエントリがm ( G _i、G _j ) であるN × Nテーブル (正方行列)を定義します。この行列は下三角で、対角要素がゼロでないため逆行列が存在します。

したがって、X がG集合で、u がそのマークの行ベクトルである場合、つまりu _i = m _X ( G _i ) である場合、X はG _i型の軌道の_{i 個}のコピーの互いに素な和集合として分解され、ベクトルa は次式を満たす。

a M = u、

ここで、M はマーク表の行列です。この定理は (Burnside 1897) によるものです。

位数 6 の巡回群のマーク表:

対称群S ₃のマーク表:

2 つの表の点はすべてゼロであり、表が下三角形であるという事実を強調しているだけです。

(一部の著者は表の転置を使用していますが、これはバーンサイドが最初に定義した方法です。)

最後の行がすべて 1 であるのは、[ G / G ] が単一の点であるためです。対角項はm ( H , H ) = | N _G ( H )/ H | です。最初の列の数字は表現の次数を示します。

Ω ( G )の環構造は、これらの表から演繹できる。環 ( Zモジュールとして) の生成元は表の行であり、2 つの生成元の積はマークの積 (つまり行ベクトルの成分ごとの乗算) で与えられるマークを持ち、これはすべての行の線形結合として分解できる。たとえば、S ₃の場合、

${\displaystyle [G/\mathbf {Z} _{2}]\cdot [G/\mathbf {Z} _{3}]=[G/1],}$

(3, 1, 0, 0).(2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0) となります。

任意の有限集合Xにはベクトル空間 V = V _Xが関連付けられており、これはXの元を基底とするベクトル空間です(任意の指定された体を使用)。有限群GのXへの作用は、Vへの線型作用を誘導します。これを置換表現と呼びます。 Gのすべての有限次元表現の集合は環の構造を持ち、表現環はR(G)と表記されます。

与えられたG集合Xに対して、関連付けられた表現の 指標は

${\displaystyle \chi (g)=m_{X}(\langle g\rangle )}$

ここで はによって生成される巡回群です。 ${\displaystyle \langle g\rangle }$${\displaystyle g}$

結果の地図

${\displaystyle \beta :\Omega (G)\longrightarrow R(G)}$

G集合を対応する表現に 取ることは、一般には単射でも射影でもありません。

βが一般に単射でないことを示す最も単純な例はG = S ₃の場合（上の表を参照）であり、次のように表される。

${\displaystyle \beta (2[S_{3}/\mathbf {Z} _{2}]+[S_{3}/\mathbf {Z} _{3}])=\beta ([S_{3} ]+2[S_{3}/S_{3}])。}$

コンパクト群のバーンサイド環については(tom Dieck 1987) で説明されています。

シーガル予想はバーンサイド環とホモトピーを関連付けます。

• バーンサイド部門

• バーンサイド、ウィリアム（1897）、有限順序群の理論、ケンブリッジ大学出版局。
• Tom Dieck、Tammo (1987)、変換グループ、de Gruyter Studies in Mathematics、vol. 8、ウォルター・デ・グルイター、ISBN 978-3-11-009745-0、MR  0889050、OCLC  217014538
• ドレス、アンドレアス（1969）、「可解群の特徴付け」、Math. Z.、110（3）：213–217、doi：10.1007/BF01110213
• ケルバー、アダルベルト（1999）、応用有限群作用、アルゴリズムと組合せ論、第19巻（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-65941-9、MR  1716962、OCLC  247593131
• ソロモン、ルイス（1967）「有限群のバーンサイド代数」、J. Comb. Theory、1：603-615、doi：10.1016 / S0021-9800（67）80064-4