半原始リング

代数学において、半原始環またはヤコブソン半単純環あるいはJ 半単純環は、ヤコブソン根号が0 である環である。これは半単純環よりも一般的なタイプの環であるが、単純な加群によっても環に関する十分な情報が提供される。整数環などの環は半原始であり、アルティン半原始環は単なる半単純環である。半原始環は、ヤコブソンの密度定理によって記述される原始環の部分直積として理解することができる。

環のヤコブソン根号が零イデアルである場合、その環は半原始的環またはヤコブソン半単純環と呼ばれます。

環が半原始的となるのは、忠実な 半単純左加群を持つ場合のみです。半原始的性質は左右対称であるため、環が半原始的となるのは、忠実な半単純右加群を持つ場合のみです。

環が半原始的であるのは、それが左原始環の直積である場合のみです。

可換環が半原始的となるのは、それが体の直積である場合に限ります(Lam 1995、p. 137)。

左アルティニアン環が半原始的であるためには、半単純である必要がある(Lam 2001, p. 54)。このような環は半単純アルティニアンと呼ばれることもある(Kelarev 2002, p. 13)。

• 整数環は半原始的ですが、半単純ではありません。
• すべての原始リングは半原始的です。
• 2 つの体の積は半原始的ですが原始的ではありません。
• すべてのフォン・ノイマン正則環は半原始的である。

ジェイコブソン自身は、環が「半単純」であるとは、それが単純環の直積である場合に限ると定義しています(Jacobson 1989、p. 203)。しかし、これはより厳密な概念であり、可算無限次元ベクトル空間の自己準同型環は半原始的ですが、単純環の直積ではありません (Lam 1995、p. 42)。

• ジェイコブソン、ネイサン（1989）、基礎代数II（第2版）、WHフリーマン、ISBN 978-0-7167-1933-5
• ラム、ツィット・ユエン（1995）、古典環論の演習、数学の問題集、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94317-6、MR  1323431
• Lam、Tsit-Yuen (2001)、非可換環の最初のコース、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95325-0
• ケラレフ、アンドレイ V. (2002)、リング構築と応用、ワールドサイエンティフィック、ISBN 978-981-02-4745-4