内部自己同型性

抽象代数学において、内部自己同型とは、固定された要素（共役要素と呼ばれる）の共役作用によって与えられる群、環、または代数の自己同型である。これらは群内部からの演算によって実現できるため、「内部」という形容詞が用いられる。これらの内部自己同型は自己同型群の部分群を形成し、この部分群による自己同型群の商群は外部自己同型群として定義される。

意味

$G$ が群であり、 $gが$ $G$ の要素である場合（あるいは、 $G$ が環であり、 $gが$ 単位元である場合）、関数

${\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}$

$g$ による（右）共役と呼ばれます（共役類も参照）。この関数は $G$ の自己準同型です。すべてのに対してが成り立ちます。 $x_{1},x_{2}\in G,$

$\varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),$

ここで、2番目の等式は、恒等式を挿入することによって与えられます。 $x_{1}$ そして $x_{2}$ さらに、左逆と右逆があり、 $\varphi _{g^{-1}}$ 。したがって、 $\displaystyle \varphi _{g}}$ は単射かつ全射であり、したがって $G$ とそれ自身との同型写像、すなわち自己同型写像である。内部自己同型写像は、共役から生じる任意の自己同型写像である。^{[ 1 ]}

正しい活用について議論する場合、表現 $g^{-1}xg$ はしばしば指数的に表される。 $x^{g}$ この表記法が用いられるのは、共役の合成が次の恒等式を満たすためである。 $\left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}$ すべての人々のために $g_{1},g_{2}\in G$ $これは、右共役によってG$ が自身に対して右作用を行うことを示している。

一般的な例は次のとおりです。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

準同型写像について説明してください $\Phi$ 画像については、 ${\text{Im}}(\Phi )$ は、群の内部自己同型写像の正規部分群である。 $G$ あるいは、核が自然準同型であるものを記述する。 $\Phi$ は中心です $G$ （全て $g\in G$ それらによって共役すると自明な自己同型が返される）、言い換えれば、 ${\text{Ker}}(\Phi )={\text{Z}}(G)$ 常に自然な準同型が存在する $\displaystyle \Phi :G\to {\text{Aut}}(G)}$ すべての $g\in G$ （内部）自己同型 $\displaystyle \varphi _{g}}$ で ${\text{Aut}}(G)$ 言い換えれば、 $\Phi :g\mapsto \varphi _{g}$ 。

させて $\varphi _{g}(x):=gxg^{-1}$ 上記で定義したとおり。これには、(1) $\displaystyle \varphi _{g}}$ は準同型写像である。(2) $\displaystyle \varphi _{g}}$ も全単射である、（3） $\Phi$ これは準同型写像である。

$\varphi _{g}(xx')=gxx'g^{-1}=gx(g^{-1}g)x'g^{-1}=(gxg^{-1})(gx'g^{-1})=\varphi _{g}(x)\varphi _{g}(x')$
全単射性の条件は、逆元を提示することで検証できます。 $x$ から $gxg^{-1}$ この場合は、 $g^{-1}$ と表記される $\varphi _{g^{-1}}$ 。
$\Phi (gg')(x)=(gg')x(gg')^{-1}$ そして $\Phi (g)\circ \Phi (g')(x)=\Phi (g)\circ (g'xg'^{-1})=gg'xg'^{-1}g^{-1}=(gg')x(gg')^{-1}$

内部および外部自己同型群

2 つの内部自己同型写像の合成は再び内部自己同型写像となり、この操作により、 $G$ のすべての内部自己同型写像の集合は群となり、 $Gの内部自己同型群は$ $Inn(G)$ と表記される。

$Inn(G)は、$ $G$ の完全自己同型群 $Aut($ $G$ $)の$ 正規部分群である。外部自己同型群 $Out($ $G$ $)は$ 商群である。 $\operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).$

外部自己同型群は、ある意味で、 $Gの自己同型のうち内部自己同型でないものがいくつあるかを測定する。すべての非内部自己同型は$ $Out(G)$ の非自明な要素を生成するが、異なる非内部自己同型が同じ $Out(G)$ の要素を生成する可能性がある。

$xを$ $a$ で共役しても $xは$ 変化しないと言うことは、 $a$ と $xが$ 可換であると言うことと同等である。 $a^{-1}xa=x\iff xa=ax$

したがって、恒等写像ではない内部自己同型写像の存在と数は、群（または環）における可換法則の破綻の尺度となる。

群 $Gの自己同型写像は、$ $G$ を含むすべての群に拡張する場合に限り、内部自己同型写像である。^{[ 4 ]}

上記のように、要素 $a \in G を$ $Inn($ $G$ $)$ の内部自己同型 $f (x) = x a$ に関連付けることで、商群 $G$ $/ Z($ $G$ $)$ ( $Z($ $G$ $)$ は $G$ の中心) と内部自己同型群との間の同型が得られます。 $G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G)$

これは第一同型定理の結果である。なぜなら、 $Z(G)は$ 、対応する内部自己同型として恒等写像を与える $G$ の要素の集合だからである（共役変換は何も変えない）。

$有限p$ 群の非内部自己同型写像

Wolfgang Gaschütz の結果によれば、 $G$ が有限非アーベル $p$ 群である場合、 $Gは$ $p$ 乗位数の自己同型を持ち、それは内部自己同型ではない。

すべての非可換 $p$ 群 $Gが位数$ $p$ の自己同型を持つかどうかは未解決問題である。後者の問題は、 $Gが$ 以下のいずれかの条件を満たす場合に肯定的な答えが得られる。

$G$ はクラス2の冪零関数である
$Gは$ 正則 $p$ 群である
$G / Z(G)は$ 強力な $p$ 群である
$G$ の中心 $Zの$ 中心化群C $G$ $は$ 、 $G$ のフラッティーニ部分群 $Φ$ の中心 $化$ 群 $C$ $G$ $\circ$ $Z$ $\circ Φ($ $G$ $)$ $と$ 等しくない $。$

グループの種類

群 $Gの内部自己同型群$ $Inn(G)$ は、 $Gが$ アーベル群である場合に限り自明である (すなわち、単位元のみから成る) 。

群 $Inn(G)$ は、自明な場合にのみ巡回群となる。

スペクトルの反対側では、内部自己同型が自己同型群全体を尽くしてしまう場合があります。自己同型がすべて内部自己同型であり、中心が自明な群は完全群と呼ばれます。これは、 $n が$ 2 または 6 でない場合の $n$ 要素上のすべての対称群に当てはまります。n $=$ $6$ の場合、対称群は非内部自己同型の非自明なクラスを一意に持ち、 $n$ $= 2$ の場合、対称群は非内部自己同型を持たないにもかかわらずアーベル群となり、非自明な中心を持つため、完全群とはみなされません。

完全群 $G$ の内部自己同型群が単純である場合、 $Gは$ 準単純群と呼ばれる。

リー代数の場合

リー代数 $𝔊$ の自己同型写像は、 $Ad g$ の形である場合、内部自己同型写像と呼ばれます。ここで、 $Adは$ 随伴写像であり、 $gはリー代数が$ $𝔊$ であるリー群の要素です。リー代数の内部自己同型写像の概念は、リー群の内部自己同型写像が対応するリー代数の一意の内部自己同型写像を誘導するという意味で、群の内部自己同型写像の概念と互換性があります。

拡大

$Gが$ 環 $A$ の単位群である場合、 $G$ 上の内部自己同型写像は、行列環M $2$ $($ $A$ $)$ の単位群によって、 $A$ 上の射影直線への写像に拡張することができる。特に、古典的な群の内部自己同型写像は $この$ ように拡張できる。

参考文献

↑ダミット、デイビッド S.、フット、リチャード M. (2004).抽象代数学（第 3 版）. ホーボーケン、ニュージャージー州: ワイリー. p. 45. ISBN 978-0-4714-5234-8. OCLC 248917264 .
↑ピエール・グリエ (2010)。抽象代数(第 2版)。ニューヨーク：スプリンガー。 p. 56.ISBN 978-1-4419-2450-6。
↑ラング、セルジュ (2002)。代数(第 3版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。 p. 26.ISBN 978-0-387-95385-4。
↑ Schupp, Paul E. (1987), "内部自己同型写像の特徴付け" (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 101 (2), American Mathematical Society: 226– 228, doi : 10.2307/2045986 , JSTOR 2045986 , MR 0902532

さらに読む

Abdollahi, A. (2010), "強力なp群は位数pの非内部自己同型といくつかのコホモロジーを持つ", J. Algebra , 323 (3): 779–789 , arXiv : 0901.3182 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.10.013 , MR 2574864
Abdollahi, A. (2007), "クラス2の有限p群は位数pの非内部自己同型を持つ", J. Algebra , 312 (2): 876–879 , arXiv : math/0608581 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.08.036 , MR 2333188
Deaconescu, M.; Silberberg, G. (2002), "有限p群の位数pの非内部自己同型", J. Algebra , 250 : 283–287 , doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR 1898386
Gaschütz, W. (1966)、「Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen」、J. Algebra、4 : 1–2、doi : 10.1016/0021-8693(66)90045-7、MR 0193144
Liebeck, H. (1965), "クラス2の冪零p群における外部自己同型写像", J. London Math. Soc. , 40 : 268– 275, doi : 10.1112/jlms/s1-40.1.268 , MR 0173708
レメスレンニコフ、VN (2001) [1994]、「内部自己同型性」、数学百科事典、EMS Press
ワイスタイン、エリック W. 「内部自己同型性」。マスワールド。

[1] ダミット、デイビッド S.、フット、リチャード M. (2004).抽象代数学（第 3 版）. ホーボーケン、ニュージャージー州: ワイリー. p. 45. ISBN 978-0-4714-5234-8. OCLC 248917264 .

[2] ピエール・グリエ (2010)。抽象代数(第 2版)。ニューヨーク：スプリンガー。 p. 56.ISBN 978-1-4419-2450-6。

[3] ラング、セルジュ (2002)。代数(第 3版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。 p. 26.ISBN 978-0-387-95385-4。

[4] Schupp, Paul E. (1987), "内部自己同型写像の特徴付け" (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 101 (2), American Mathematical Society: 226– 228, doi : 10.2307/2045986 , JSTOR 2045986 , MR 0902532

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[ 4 ]

意味

内部および外部自己同型群

有限p群の非内部自己同型写像

グループの種類

リー代数の場合

拡大

参考文献

さらに読む

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抽象代数学

共役作用

群

環

$有限p$ 群の非内部自己同型写像