素晴らしい指輪

可換代数において、準優秀環は、完備化の操作に関して適切に動作するネーター 可換環であり、普遍カテナリーでもある場合は優秀環と呼ばれる。優秀環は、数論と代数幾何学に現れるほとんどの環を含む「適切に動作する」環の自然なクラスを見つけるという問題に対する1つの答えである。かつては、ネーター環のクラスがこの問題の答えになるかと思われたが、永田正義らは、一般にネーター環は適切に動作する必要はないことを示す奇妙な反例をいくつか発見した。たとえば、正規ネーター局所環は解析的に正規である必要はない。

優れた環のクラスは、アレクサンダー・グロタンディーク(1965) によって、そのような行儀の良い環のクラスの候補として定義されました。準優れた環は、特異点の解決の問題を解決できる基本環であると予想されています。弘中 (1964) はこれを特性0 で示しましたが、正の特性の場合は (2024 年現在) まだ大きな未解決問題です。代数幾何学や数論で自然に発生するネーター環は基本的にすべて優れた環です。実際、優れたネーター環ではない例を構築するのは非常に困難です。

優れた環の定義は非常に複雑なので、それが満たす技術的条件の定義を思い出します。長い条件リストのように見えますが、体、多項式環、完全なネーター環、標数 0 上のデデキント域( など)、およびこれらの環の商環と局所環など、実際にはほとんどの環が優れています。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• 体を含む環は、環の任意の有限拡大に対してが正則 であるとき、 に対して幾何学的に正則であるという。${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R\otimes _{k}K}$
• からの環の準同型は、それが平坦であり、任意のに対してファイバーがの留数体上で幾何学的に正則である場合に正則と呼ばれます。${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$${\displaystyle S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• 環がネーター環であり、その形式繊維が幾何学的に正則である場合、その環はG環^[1]（またはグロタンディーク環）と呼ばれます。これは、任意のに対して、局所環からその完備化への写像が上記の意味で正則であることを意味します。${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\to {\hat {R_{\mathfrak {p}}}}}$

最後に、任意の有限型-代数がJ-1であるとき、環はJ-2 ^[2]であり、これは正規部分スキームが開いていることを意味する。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Reg}}({\text{Spec}}(S))\subset {\text{Spec}}(S)}$

環がG 環かつ J-2 環である場合、その環は準優秀環と呼ばれます。準優秀環かつ普遍カテナリー環である場合、優秀環と呼ばれます^{[3] pg 214。}実際には、ほとんどすべてのネーター環は普遍カテナリー環であるため、優秀な環と準優秀な環の間にはほとんど違いはありません。 ${\displaystyle R}$

スキームが同じ特性を持つ開アフィン部分スキームによる被覆を持つ場合、 そのスキームは優秀または準優秀と呼ばれます。これは、すべての開アフィン部分スキームがこの特性を持つことを意味します。

優れた環はG 環であるため^{[1] 、定義により}ネーター環である。普遍カテナリーであるため、すべての素イデアルの最大鎖は同じ長さを持つ。これは、そのような環の次元を固定された最大鎖で制限できるため、そのような環の次元理論を研究するのに役立ちます。実際には、これは、無限次元環を与える素イデアルの最大鎖の帰納的定義を持つ無限次元ネーター環^[4]は構成できないことを意味します。 ${\displaystyle R}$

優れたスキームと局所有限型射が与えられれば、優れた^{[3] pg 217}。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle X'}$

準優秀なリングはすべて永田リングです。

任意の準優れた被約局所環は解析的に約されます。

任意の準優れた正規局所環は解析的に正規である。

数論や代数幾何学で自然に現れる可換環のほとんどは優れています。特に:

• すべての完全なネーター局所環、たとえばすべての体とp進整数の環Z _pは優秀です。
• 特性0のすべてのデデキント領域は優秀です。特に、整数の環Zは優秀です。特性が0より大きい体上のデデキント領域は優秀である必要はありません。
• RまたはC上の有限個の変数における収束するべき 級数の環は優れています。
• 優れたリングのローカリゼーションはどれも優れています。
• 優れた環上の有限生成代数はどれも優れています。これには、優れた多項式代数がすべて含まれます。つまり、代数幾何学で考慮されるほとんどの環は優れているということです。${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})}$${\displaystyle R}$

以下は、次元1で特性p > 0の離散付値環 Aの例です。これはJ-2ですがG環ではないため、準エクセレントではありません。kが[ k  : k ^p ] = ∞となる特性pの任意の体であり、Aが[ k ^p ( a ₀ , a ₁ , ...) : k ^p ]が有限となるような冪級数Σ a _i x ⁱの環である場合、 Aの形式ファイバーはすべて幾何学的に正則ではないため、AはG環ではありません。最大で次元1のすべてのノイザン局所環は J -2環であるため、これはJ-2環です。また、これはデデキント領域であるため、普遍カテナリーでもあります。ここでk ^{p は}、フロベニウス写像a → a ^pによるkの像を表します。

これは、G 環ではあるが J-2 環ではなく準優秀ではない環の例です。Rがすべての生成元の平方と立方によって生成される無限個の生成元における多項式環k [ x ₁ , x ₂ ,...]の部分環であり、S がRから、あるx _nによって生成されるどのイデアルにも含まれないすべての元に逆を付加することによって得られる場合、SはJ-1環ではない 1 次元ノイザン領域です。これは、 S はすべての閉点でカスプ特異点を持つため、G 環ではありますが、特異点の集合は閉じていないためです。この環は普遍カテナリー環でもあり、すべての素イデアルでの局所化は正則環の商になります。

2 次元のネーター局所環で懸垂線状だが普遍懸垂線状ではないものの例として永田が挙げたG 環は、G 環であり、また任意の局所 G 環が J-2 環であるため J-2 環でもある (Matsumura 1980、p.88、260)。したがって、これは準優れた懸垂線状局所環であるが、優れた環ではない。

準優秀環は特異点の解決の問題と密接に関連しており、これがグロタンディークが準優秀環を定義した動機であったと思われる^{[3] 218 ページ}。グロタンディーク (1965) は、すべての完全積分局所ノイザン環の特異点を解決できる場合、すべての被縮準優秀環の特異点を解決できると観察した。弘中 (1964) は、特性 0 の体上のすべての完全積分ノイザン局所環についてこれを証明した。これは、特性 0 の体上の優秀スキームのすべての特異点が解決できるという弘中の定理を意味している。逆に、ノイザン環R上のすべての積分有限代数のスペクトルのすべての特異点を解決できる場合、環R は準優秀である。

• 特異点の解決

• Alexandre Grothendieck、Jean Dieudonné、Eléments de géométrie algébrique IV 出版物 Mathématiques de l'IHÉS 24 (1965)、セクション 7
• VI Danilov (2001) [1994]、「優れた環」、数学百科事典、EMS Press
• 広中平輔(1964). 「特性ゼロの体上の代数多様体の特異点の解決: I」. Annals of Mathematics . 79 (1): 109–203. doi :10.2307/1970486. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970486.
• 広中平助 (1964). 「特性ゼロの体上の代数多様体の特異点の解決: II」Annals of Mathematics . 79 (2): 205–326. doi :10.2307/1970547. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970547.
• 松村秀之 (1980) 「第 13 章」可換代数 マサチューセッツ州レディング: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-7026-9。