フリー代数

数学、特に環論として知られる抽象代数の分野では、自由代数は多項式環の非可換版である。なぜなら、その要素は非可換変数を持つ「多項式」として記述できるからである。同様に、多項式環は自由可換代数とみなすことができる。

可換環Rに対して、 n個の不定元{ X 1 _, ..., X _n }上の自由（結合的、単位的）代数は、アルファベット { X ₁ ,..., X _n } 上のすべての単語（自由代数の単位である空語を含む）からなる基底を持つ自由R加群です。このR加群は、次のように乗法を定義することによってR代数になります。2 つの基底要素の積は、対応する単語の連結です。

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}$

したがって、任意の 2 つのR加群要素の積は一意に決定されます ( R代数における乗法はR双線形でなければならないため)。このR代数はR ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩と表記されます。この構成は、任意の不定元集合Xに容易に一般化できます。

つまり、任意の集合に対して${\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}$X上の自由(結合的、単位的) R代数は

${\displaystyle R\langle X\rangle$ :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}

R双線形乗算は単語の連結であり、ここでX * はX上の自由モノイド(つまり文字X _i上の単語) を表します。${\displaystyle \oplus }$は外部直和を表し、Rw は1 つの要素、単語w上の自由R加群を表します。

例えば、R ⟨ X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ⟩ において、スカラーα, β, γ, δ ∈ Rに対して、2 つの要素の積の具体的な例は次のようになります。

${\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}$。

非可換多項式環は、X _iのすべての有限語の自由モノイドのR上のモノイド環と同一視できる。

アルファベット { X ₁ , ..., X _n } 上の単語がR ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩の基底を形成するため、 R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩ の任意の要素は一意に次の形式で記述できることは明らかです。

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

どこ${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$これらはRの要素であり、これらの要素のうち有限個を除いてすべてゼロです。これが、Rの要素⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ が「変数」（または「不定元」） X ₁ ,..., X _nに関する「非可換多項式」と表記されることが多い理由です。${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$これらはこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、R代数R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ は「 n個の不定元を持つR上の非可換多項式代数」と呼ばれます。実際の多項式環とは異なり、変数は可換ではないことに注意してください。たとえば、X ₁ X _2はX ₂ X ₁と等しくありません。

より一般的には、任意の生成元集合E上に自由代数R ⟨ E ⟩を構成できる。環はZ代数とみなせるので、E上の自由環は自由代数Z ⟨ E ⟩として定義できる。

体上では、 n個の不定元上の自由代数は、n次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般的な係数環の場合、 n 個の生成元上の自由加群を取ることで、同じ構成が成り立つ。

E上の自由代数の構成は関数的な性質を持ち、適切な普遍性を満たす。自由代数関数は、R代数の圏から集合の圏への忘却関数に左随伴する。

除法環上の自由代数は自由イデアル環である。

• 共自由共代数
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• 有理数列
• 項代数

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011).非可換有理数列とその応用. 数学とその応用百科事典. 第 137巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007 . 
• AA Bovdi (2001) [1994]、「自由結合代数」、数学百科事典、EMS Press、2025年11月15日にオリジナルからアーカイブ済み