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抽象代数学において、rng（発音は「rung」/ rʌŋ /）または非単位環、擬似環とは、環と同じ性質を満たす代数構造であるが、乗法単位元の存在を仮定しない。rngという用語は、iのない環、つまり単位元を必要としない環であることを示唆している。 [ 1 ]
乗法単位元の存在が環の公理の一つであるべきかどうかについては、学界で合意が得られていない（「環（数学）§ 歴史」参照）。乗法単位元の公理を含まない環を明示的に指す場合に、この曖昧さを解消するために「rng」という用語が作られた。
解析学で考慮される関数の代数の多くは単位元を持たない。例えば、無限遠でゼロに減少する関数の代数、特に何らかの（非コンパクトな）空間上にコンパクトな台を持つ関数の代数は単位元を持たない。
Rng は、以下のクラス包含の連鎖に現れます。
正式には、乱数生成器は、加算と乗算と呼ばれる2 つの二項演算(+、·)を持つ集合Rであり、
乱数準同型とは、ある乱数から別の乱数への関数f : R → Sであり、
すべてのxとy ∈ Rに対して。
RとSが環である場合、環準同型写像R → Sは、1から1への写像となるrng準同型写像R → Sと同じである。
すべての環は乱数群（rng）です。環ではない乱数群の簡単な例としては、通常の整数の加算と乗算を行う偶数があります。また、最下行がゼロであるすべての3×3実数行列の集合も例として挙げられます。これらの例はいずれも、すべての（片側または両側の）イデアルが乱数群であるという一般的な事実の事例です。
任意のアーベル群は、すべてのxとyに対してxy = 0となるように乗法を定義することで乱数群にすることができる。（§平方ゼロの乱数群を参照）
無限次元ベクトル空間上の線形演算子を考える場合、関数解析において乱数群（rng）が自然に現れることがよくあります。例えば、任意の無限次元ベクトル空間Vを考え、有限ランク(すなわちdim f ( V ) < ∞ ) を持つすべての線形演算子f : V → Vの集合を考えます。演算子の加算と合成を合わせると、これは乱数群ですが、環ではありません。別の例として、成分ごとの演算を持つ、0に収束するすべての実数列の乱数群が挙げられます。
また、分布論で現れる多くのテスト関数空間は、例えばシュワルツ空間のように、無限遠でゼロに収束する関数から構成されています。したがって、点ごとの乗算で唯一可能な単位元となる、あらゆる点で1に等しい関数は、このような空間には存在できません。そのため、このような空間はrng（点ごとの加算と乗算のための）となります。特に、ある位相空間上で定義されたコンパクトな台を持つ実数値連続関数は、点ごとの加算と乗算とともにrngを形成します。これは、基となる空間がコンパクトでない限り、環ではありません。
偶数からなる集合 2 Zは、加算と乗算に関して閉じており、加法単位元 0 を持つため乱数生成器ですが、乗法単位元を持たないため環ではありません。
直接合計座標ごとの加算と乗算機能を備えた乱数発生器は、以下の特性を持ちます。
任意の環R は、単位元を付加することによって環R ^に拡張できる。一般的な方法としては、単位元 1 を形式的に追加し、 R ^ を 1 とRの要素の整数線形結合から構成し、その非零整数倍が R と重なったり、Rに含まれたりしないという前提を置く。つまり、R ^ の要素は次の形式である。
ここで、nは整数、r ∈ Rである。乗算は線形性によって定義される。
より厳密に言えば、集合として、R ^ はデカルト積Z × Rであり、その加算と乗算は次のように表される。
R ^の乗法単位元は(1, 0)です。自然な rng 準同型j : R → R ^がj ( r ) = (0, r )で定義されます。この写像は次の普遍性を持っています。
写像gはg ( n , r ) = n · 1 S + f ( r )で定義できます。
( n , r )をnに写す自然な全射環準同型R ^ → Zが存在する。この準同型の核はR ^におけるRの像である。jは単射であるため、 R はR ^に(両側)イデアルとして埋め込まれ、商環R ^/ R はZと同型であることがわかる。したがって、
jは決して全射ではないことに注意してください。したがって、 R がすでに単位元を持っている場合でも、環R ^ は異なる単位元を持つより大きな環になります。環R ^ は、最初にそれを構成したアメリカの数学者ジョー・リー・ドロにちなんで、 Rのドロ拡張と呼ばれることがよくあります。[ 3 ]
rng に恒等元を付加するプロセスは、圏論の言葉で定式化できます。すべての環と環準同型の圏をRing、すべての rng と rng 準同型の圏をRngとすると、RingはRngの（非完全）部分圏です。上記のR ^の構成により、包含 関手I : Ring → Rng の左随伴が得られます。包含関手が完全ではないため、Ring はRngの反射的部分圏ではないことに注意してください。
文献では、同一要素を持つことよりも弱いが、それほど一般的ではない特性がいくつか検討されている。例えば、次の通りである。
これらの性質のそれぞれが、同一性要素を持つことよりも弱く、またその前の性質よりも弱いことを確認するのは難しくない。
平方ゼロの rng は、すべてのxとy ∈ Rに対してxy = 0となるようなrng Rです。[ 4 ] 任意のアーベル群は、すべてのxとyに対してxy = 0となるように乗法を定義することで、平方ゼロの rng にすることができます。[ 5 ]したがって、すべてのアーベル群は、何らかの rng の加法群です。乗法単位元を持つ唯一の平方ゼロの rng は、零環{0} です。[ 5 ]
平方ゼロの乱数の任意の加法部分群はイデアルである。したがって、平方ゼロの乱数が単純であるのは、その加法群が単純アーベル群、すなわち素数位数の巡回群である場合に限る。[ 6 ]
2 つの単位代数AとBが与えられたとき、代数準同型
Aの単位元をBの単位元に写像する場合、それは単位的である。
体K上の結合代数Aが単位元を持たない場合、次のように単位元を追加できます。A × Kを基礎となるKベクトル空間とし、乗法 ∗ を次のように定義します。
x、yはAの要素、r、sはK の要素である。このとき、∗ は単位元(0, 1)を持つ結合法則を満たす演算である。古い代数Aは新しい代数に含まれており、実際、A × Kは普遍構成の意味でAを含む「最も一般的な」単位元を持つ代数である。
