カップ製品

数学、特に代数位相幾何学において、カップ積は、次数pとqの 2 つのコサイクルを接続させて次数p + qの合成コサイクルを形成する方法である。これは、コホモロジーにおける結合的 (かつ分配的) 次数付き可換積演算を定義し、空間Xのコホモロジーを次数付き環H ∗ ⁽ X )に変換する。この環はコホモロジー環と呼ばれる。カップ積は、1935 年から 1938 年にかけてJW Alexander、Eduard Čech、Hassler Whitneyの研究で導入され、一般にはSamuel Eilenbergによって1944 年に導入された。

特異コホモロジーにおいて、カップ積は位相空間Xの次数付き コホモロジー環 H ^∗ ( X )上の積を与える構成である。

構築はコチェーンの積から始まります。がpコチェーン でがqコチェーンの場合、 ${\displaystyle \alpha^{p}}$${\displaystyle \beta^{q}}$

${\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\ cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

ここで、σ は特異な( p + q ) -単体であり、S によって張られる単体の、頂点が によってインデックス付けされる -単体への 標準埋め込みです。 ${\displaystyle \iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}}$${\displaystyle (p+q)}$${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$

非公式には、はσ のp番目の前面、は σ のq番目の背面 です。 ${\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}$${\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}$

共鎖と共鎖のカップ積の共境界は次のように与えられる。 ${\displaystyle \alpha ^{p}}$${\displaystyle \beta ^{q}}$

${\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}$

2つのコサイクルのカップ積もまたコサイクルであり、コ境界とコサイクルの積（どちらの順序でも）もコ境界である。カップ積演算はコホモロジー上の双線型演算を誘導する。

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}$

コホモロジーにおけるカップ積演算は恒等式を満たす。

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

対応する乗算は次数可換となる。

カップ積は、次の意味で関数的である。

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

は連続関数であり、

${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}$

はコホモロジーにおける誘導準同型であり、

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}$

H ^* ( Y )のすべてのクラス α、β に対して。言い換えると、f ^{* は}(次数付き)環準同型です。

カップ製品は、次の構成から誘導されると 考えられます。${\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$

${\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}$

およびの鎖複体に関して、最初の写像はキュネス写像であり、2 番目は対角線によって誘導される写像である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$

この合成は商に渡され、コホモロジーの観点から明確に定義された写像を与えます。これがカップ積です。このアプローチは、コホモロジーのカップ積の存在を説明しますが、ホモロジーのカップ積の存在は説明しません。写像を誘導しますが、写像も誘導し、積を定義するには逆の方向になります。ただし、これはキャップ積を定義する際に役立ちます。 ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$${\displaystyle \Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)}$${\displaystyle \Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)}$

カップ積のこの表現から双線型性が導かれる。すなわち、${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v}$${\displaystyle u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.}$

カップ積は、多様体と、同一のコホモロジー群を持つ空間のくさびを区別するために使用できます。この空間はトーラスTと同じコホモロジー群を持ちますが、カップ積は異なります。Xの場合、のコピーに関連付けられたコチェーンの乗算は退化していますが、Tでは最初のコホモロジー群の乗算を使用してトーラスを 2 セル図として分解できるため、積はZ (より一般的にはこれが基本モジュールである場合は M ) に等しくなります。${\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$

ド・ラーム・コホモロジーでは、微分形式のカップ積はウェッジ積によって誘導されます。言い換えると、2 つの閉微分形式のウェッジ積は、2 つの元のド・ラーム類のカップ積のド・ラーム類に属します。

有向多様体の場合、「カップ積は交差の双対である」という幾何学的ヒューリスティックがある。^{[1] [2]}

実際、を次元の有向滑らかな多様体と します。 余次元 と の2 つの部分多様体が方向に交差する場合、それらの交差は再び余次元 の部分多様体になります。 これらの多様体の基本ホモロジー類の像を包含下で取ることにより、ホモロジー上の双線型積を得ることができます。 この積は、 ポアンカレ対を取ると次の等式が成り立つという意味で、カップ積のポアンカレ双対です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle i+j}$${\displaystyle [A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}}$

${\displaystyle [A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )}$^[1 ]

同様に、リンク数は、交差、次元を 1 ずつシフトすること、またはリンクの補集合上の消失しないカップ積の観点から定義できます。

カップ積は2項演算です。カップ積を一般化するマッシー積と呼ばれる3項以上の高次の演算を定義することができます。これは高次のコホモロジー演算であり、部分的にしか定義されていません（一部のトリプルに対してのみ定義されています）。

• 特異ホモロジー
• ホモロジー理論
• キャップ製品
• マッセイ製品
• トレリグループ

• ジェームズ・R・マンクレス、「代数的位相幾何学の要素」、Perseus Publishing、マサチューセッツ州ケンブリッジ (1984) ISBN 0-201-04586-9 (ハードカバー) ISBN 0-201-62728-0 (ペーパーバック)  
• Glen E. Bredon、「トポロジーと幾何学」、Springer-Verlag、ニューヨーク (1993) ISBN 0-387-97926-3 
• アレン・ハッチャー、「代数的位相幾何学」、ケンブリッジ出版 (2002) ISBN 0-521-79540-0