単体可換環

代数学において、単体可換環は単体アーベル群のカテゴリにおける可換モノイド、または同等に、可換環のカテゴリにおける単体オブジェクトです。Aが単体可換環である場合、 は環であり、 はその環上の加群であることが示されます(実際、は上の次数付き環です)。 ${\displaystyle \pi_{0}A}$${\displaystyle \pi_{i}A}$${\displaystyle \pi_{*}A}$${\displaystyle \pi_{0}A}$

この概念の位相的対応物は可換環スペクトルである。

• 単体上の多項式微分形式の環。

A を単体可換環とします。すると、Aの環構造は次式のような次数可換次数環の構造を 与えます。${\displaystyle \pi _{*}A=\oplus _{i\geq 0}\pi _{i}A}$

ドルド・カン対応により、 はAに対応する鎖複体のホモロジーであり、特に次数付きアーベル群である。次に、2つの元を乗算するために、単体円について書き、2つの写像 とする。すると、合成 ${\displaystyle \pi_{*}A}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle x:(S^{1})^{\wedge i}\to A,\,\,y:(S^{1})^{\wedge j}\to A}$

${\displaystyle (S^{1})^{\wedge i}\times (S^{1})^{\wedge j}\to A\times A\to A}$、

2 番目の写像はAの乗算であり、 を誘導します。これにより、 の元が生成されます。このようにして、次数付き乗算 を定義しました。これは、スマッシュ積が結合的であるため結合的です。反転によってマイナス符号が導入される ため、次数付き可換(つまり) です。${\displaystyle (S^{1})^{\wedge i}\wedge (S^{1})^{\wedge j}\to A}$${\displaystyle \pi_{i+j}A}$${\displaystyle \pi _{i}A\times \pi _{j}A\to \pi _{i+j}A}$${\displaystyle xy=(-1)^{|x||y|}yx}$${\displaystyle S^{1}\wedge S^{1}\to S^{1}\wedge S^{1}}$

M がA上の単体加群である場合（つまり、M がAの作用を持つ単体アーベル群である場合）、同様の議論により、 は上の次数付き加群の構造を持つことが示されます（加群スペクトルを参照）。 ${\displaystyle \pi_{*}M}$${\displaystyle \pi_{*}A}$

定義により、アフィン導来スキームのカテゴリは、単体可換環のカテゴリの反対のカテゴリです。Aに対応するオブジェクトはで表されます。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$

• E_nリング

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• 参照リクエスト - char. 0 の CDGA と sAlg の比較
• A. Mathew、単体可換環、I.
• B. トゥーン、単体前層と導来代数幾何学
• P. Goerss と K. Schemmerhorn、「モデルカテゴリと単体法」