アーベル群のカテゴリ

数学において、カテゴリ Abはアーベル群をオブジェクトとして持ち、群準同型を射として持ちます。これがアーベルカテゴリのプロトタイプです。^[1]実際、すべての小さな アーベルカテゴリはAbに埋め込むことができます。^[2]

Abの零対象は、その中立元のみからなる自明群{0}です。

Abの単射は入射群準同型、エピモーフィズムは射影群準同型、同型は全射群準同型です。

Ab は、すべての群のカテゴリであるGrpの完全なサブカテゴリです。 AbとGrpの主な違いは、アーベル群間の 2 つの準同型fとgの和が、再び群準同型になることです。

( f + g )( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y )

       = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g )( x ) + ( f + g )( y )

3 番目の等式は、群がアーベル群であることを要求します。この射の加算により、Ab は前加法カテゴリになり、有限個のアーベル群の直和は副積 を生成するため、実際に加法カテゴリが得られます。

Abでは、圏論の意味での核の概念は代数的な意味での核と一致します。つまり、射f  : A → Bの圏的核は、 K = { x ∈ A  : f ( x ) = 0}で定義されるAの部分群Kと、包含準同型i  : K → Aです。同じことが余核にも当てはまります。つまり、 fの余核は、商群C = B / f ( A ) と、自然な射影p  : B → Cです。( AbとGrpのもう 1 つの重要な違いに注意してください。Grpでは、f ( A ) がBの正規部分群でない可能性があり、そのため商群B / f ( A ) を形成できないことがあります。) 核と余核のこれらの具体的な記述により、 Abが確かにアーベル圏であることは非常に簡単に確認できます。

Abの積は、基になる集合の直積を取り、グループ演算を成分ごとに実行することによって形成されるグループの積によって与えられます。 Abには核があるため、 Abが完全なカテゴリであることを示すことができます。Abの余積は直和によって与えられます。Abには余核があるため、 Abは余完全でもあることがわかります。

各アーベル群に基礎集合を割り当て、各群準同型に基礎関数 を割り当てる忘却関手 Ab → Setがあります。この関手は忠実であるため、Abは具体的なカテゴリです。忘却関手には左随伴関数 (与えられた集合に、その集合を基底とする自由アーベル群を関連付ける関数) がありますが、右随伴関数はありません。

Abで直接極限を取ることは正確な​​関数です。整数のグループZ は生成子として機能するため、カテゴリAbはGrothendieck カテゴリになります。実際、これは Grothendieck カテゴリの典型的な例です。

Ab内のオブジェクトは、それが可分群である場合に限り、単射である。それが自由アーベル群である場合に限り、射影である。カテゴリには、射影生成子 ( Z )と単射余生成子( Q / Z ) がある。

2つのアーベル群AとB が与えられたとき、それらのテンソル積 A ⊗ Bが定義されます。これもアーベル群です。この積の概念により、Ab は閉じた 対称モノイドカテゴリになります。

Ab は、例えばゼロオブジェクトを持っているので トポスではありません。

• モジュールのカテゴリ
• アーベル層— アーベル群のカテゴリに関する多くの事実は、アーベル群の層のカテゴリにも当てはまります。

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556
• Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。Springer。ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001  。​
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 編 (2004)。カテゴリカル基礎。順序、位相、代数、層理論に関する特別なトピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7.ZBL1034.18001  。​