ジョルダン正規形

線型代数学において、ジョルダン正規形（ジョルダンきょうせいかく）^{[1] [2]} は、ジョルダン行列と呼ばれる特定の形式の上三角行列であり、ある基底に関する有限次元ベクトル空間上の線型作用素を表す。このような行列には、主対角線の真上（上対角線上）の非ゼロの非対角要素がすべて 1 であり、その左と下に同じ対角要素がある。

V を体 K上のベクトル空間とする。すると、行列が要求された形を持つ基底が存在するのは、行列のすべての固有値がK内にある場合、または同等に、演算子の特性多項式がK上の線形因子に分解される場合に限ります。この条件は、 K が代数的に閉じている場合(たとえば、複素数体の場合)は常に満たされます。正規形の対角要素は (演算子の) 固有値であり、各固有値の出現回数は、固有値の代数的重複度と呼ばれます。 ^{[3] [4] [5]}

演算子が元々正方行列 Mによって与えられている場合、そのジョルダン正規形はMのジョルダン正規形とも呼ばれる。係数の体が行列のすべての固有値を含むものに拡張されている場合、任意の正方行列はジョルダン正規形を持つ。その名前にもかかわらず、与えられた M の正規形は完全に一意というわけではなく、それはジョルダンブロックで形成されたブロック対角行列であり、その順序は固定されていない。同じ固有値のブロックをグループ化するのが慣例であるが、固有値間や与えられた固有値のブロック間に順序付けは課されない。ただし、後者は、たとえば弱く減少するサイズで順序付けすることはできる。^{[3] [4] [5]}

ジョルダン・シュヴァレー分解は、演算子がジョルダン正規形をとる基底に関して特に単純である。対角化可能な行列、例えば正規行列の対角形式は、ジョルダン正規形の特殊なケースである。^{[6] [7] [8]}

ジョルダン標準形は、1870年にジョルダン分解定理を初めて提唱したカミーユ・ジョルダンにちなんで名付けられました。 ^[9]

いくつかの教科書では、固有値は上対角線上ではなく、下対角線上、つまり主対角線のすぐ下にあります。固有値はやはり主対角線上にあります。^{[10] [11]}

n × n行列Aが対角化可能であるのは、固有空間の次元の合計がnの場合のみです。または、同等に、 A がn 個の線形独立な固有ベクトルを持つ場合のみです。すべての行列が対角化可能であるわけではありません。対角化できない行列は欠陥行列と呼ばれます。次の行列を考えます。

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&-1&2\end{array}}\right].}$

重複度を含めると、 Aの固有値はλ = 1, 2, 4, 4である。固有値4に対応する固有空間の次元は1（2ではない）であるため、 Aは対角化できない。しかし、可逆行列Pが存在し、 J = P ⁻¹ APとなる。

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

行列はほぼ対角です。これはAのジョルダン標準形です。以下の例のセクションでは計算の詳細を説明します。 ${\displaystyle J}$

一般に、正方複素行列Aはブロック対角行列に似ている。

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{p}\end{bmatrix}}}$

ここで各ブロックJ _{i は}、次の形式の正方行列である。

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{i}&\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{i}\end{bmatrix}}.}$

したがって、 P ⁻¹ AP = Jとなるような可逆行列Pが存在し、 Jの非ゼロ要素は対角線と上対角線上のみになります。JはAのジョルダン標準形と呼ばれます。各J _{i は}Aのジョルダンブロックと呼ばれます。特定のジョルダンブロックでは、上対角線上のすべての要素は 1 です。

この結果を仮定すると、次の特性を推測できます。

• 重複度を数えると、 Jの固有値、つまりAの固有値は対角要素になります。
• 固有値λ _{i が}与えられたとき、その幾何重複度はker( A − λ _i I )の次元であり、Iは単位行列であり、 λ _iに対応するジョルダンブロックの数である。^[12]
• 固有値λiに対応するすべてのジョルダンブロックのサイズの合計はその代数的重複度_である。^[12]
• A が対角化可能であるのは、 Aのすべての固有値λに対して、その幾何重複度と代数重複度が一致する場合のみです。特に、この場合のジョルダン ブロックは 1 × 1 行列、つまりスカラーです。
• λに対応するジョルダンブロックはλI  +  N の形式をとり、ここでNはN _ij = δ _{i , j −1}（ここで δ はクロネッカーのデルタ）として定義されるべき零行列である。 Nのべき零性は、 f ( A )を計算するときに利用できる。ここでfは複素解析関数である。たとえば、原理的には、ジョルダン形式は指数関数 exp( A )の閉じた形式の表現を与えることができる。
• 少なくともjの大きさのλ _iに対応するジョルダンブロックの数は、dim ker( A  −  λ _i I ) ^j  − dim ker( A  −  λ _i I ) ^{j −1である。したがって、大きさ}jのジョルダンブロックの数は、

  ${\displaystyle 2\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j+1}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j-1}}$

• 固有値λ _iが与えられた場合、最小多項式におけるその重複度は、その最大のジョルダンブロックのサイズになります。

前のセクションの例の行列を考えてみましょう。ジョルダン正規形は相似変換によって得られます。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P^{-1}AP=J;}$つまり、${\displaystyle AP=PJ.}$

列ベクトル、があるとすると、 ${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatrix}}.}$

私たちはそれを見ています

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

については、つまり は の固有ベクトルであり、固有値 に対応します。 については、両辺に を掛けると、 ${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle p_{i}\in \ker(A-\lambda _{i}I)}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle i=4}$${\displaystyle (A-4I)}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

しかし、だから ${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

したがって、${\displaystyle p_{4}\in \ker(A-4I)^{2}.}$

のようなベクトルはAの一般化固有ベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle p_{4}}$

この例では、指定された行列のジョルダン正規形を計算する方法を示します。

マトリックスを考える

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{array}}\right]}$

記事の冒頭で触れられています。

Aの特性多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda I-A)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{aligned}}}$

これは、代数的重複度に従って、固有値が 1、2、4、4 であることを示しています。固有値 1 に対応する固有空間は、方程式Av = λv を解くことで見つけることができます。これは、列ベクトルv = (−1, 1, 0, 0) ^Tによって張られます。同様に、固有値 2 に対応する固有空間は、w = (1, −1, 0, 1) ^Tによって張られます。最後に、固有値 4 に対応する固有空間も 1 次元であり (これは二重固有値ですが)、x = (1, 0, −1, 1) ^Tによって張られます。したがって、 3 つの固有値のそれぞれの幾何学的重複度(つまり、特定の固有値の固有空間の次元) は 1 です。したがって、4に等しい2つの固有値は単一のジョルダンブロックに対応し、行列Aのジョルダン正規形は直和である。

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

ジョルダン連鎖は3つあります。そのうち2つは長さが1で、{ v }と{ w }はそれぞれ固有値1と2に対応します。固有値4に対応する長さ2の連鎖が1つあります。この連鎖を見つけるには、次のように計算します。

${\displaystyle \ker(A-4I)^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},\left[{\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}}\right]\right\}}$

ここで、I は4 × 4 単位行列です。A  − 4 Iの核に含まれない上記の範囲内のベクトルを選択します。たとえば、y = (1,0,0,0) ^Tです。ここで、 ( A  − 4 I ) y = xかつ ( A  − 4 I ) x = 0 なので、 { y , x } は固有値 4 に対応する長さ 2 のチェーンです。

P ⁻¹ AP = Jとなる遷移行列Pは、次のようにこれらのベクトルを並べることによって形成される。

${\displaystyle P=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

計算により、方程式P ⁻¹ AP = Jが実際に成立することが示されます。

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

連鎖ベクトルの出現順序を入れ替えた場合、つまり、v、w、 { x、y } の順序を一緒に入れ替えた場合、ジョルダン ブロックは入れ替わります。ただし、ジョルダン形式は同等のジョルダン形式です。

固有値λが与えられると、対応するすべてのジョルダンブロックから、線形独立なベクトルp _i , i = 1 , ..., bのジョルダン連鎖が生じる。ここでb はジョルダンブロックのサイズである。連鎖の生成元、つまりリードベクトルp _bは、 ( A − λ I ) ^b p _b = 0となる一般化固有ベクトルである。ベクトルp ₁ = ( A − λ I ) ^{b −1} p _bは、 λに対応する通常の固有ベクトルである。一般に、p _{i は}、 A − λ Iの下でp _{i −1}の逆像である。したがって、リードベクトルは、 A − λ Iによる乗算によって連鎖を生成する。^{[13] [2]}したがって、すべての正方行列A をジョルダン標準形に置けるという主張は、基礎となるベクトル空間がジョルダン連鎖で構成された基底を持つという主張と同等である。

任意の複素数値正方行列Aはジョルダン標準形に置けることを帰納的に証明する。基礎となるベクトル空間は固有値に関連付けられた不変部分空間の直和であることが示されるため^{[14] 、} Aはただ 1 つの固有値λ を持つと仮定できる。1 × 1 の場合は自明である。A をn × n行列とする。Ran( A − λ I ) で表されるA − λ Iの値域はAの不変部分空間である。また、λ はAの固有値であるため、 Ran( A − λ I )の次元rはnより小さく、したがって帰納的仮説により、 Ran( A − λ I ) はジョルダン連鎖で構成される基底{ p ₁ , ..., p _r } を持つ。

次にカーネル、つまり部分空間ker( A − λI )を考える。

${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)=\{0\},}$

望ましい結果は、階数-零定理から直ちに導かれます。(これは、たとえば、 Aがエルミートである場合に当てはまります。)

そうでなければ、

${\displaystyle Q=\operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)\neq \{0\},}$

Qの次元をs  ≤  rとする。Qの各ベクトルは固有ベクトルなので、Ran( A  −  λ I )にはs個の線形独立な固有ベクトルに対応するs 個のジョルダン連鎖が含まれている必要がある。したがって、基底 { p ₁ , ..., p _r }には、これらのジョルダン連鎖の先導ベクトルであるs 個のベクトル、たとえば { p ₁ , ..., p _s } が含まれている必要がある。これらの先導ベクトルの逆像を取ることで「連鎖を拡張」できる。(これが重要なステップである。) q _{i を}次のようにする。

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ for }}i=1,\ldots ,s.}$

最後に、任意の基準を選択できます

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)/Q}$

そして、ker( A − λI )のベクトル{ z1 ,..., zt _}に持ち上げます。各zi_は長さ1のジョルダン連鎖を形成します。{ _p1 ,..., pr _}、{ z1 ,..., zt }、および{ q1 ,..., _{qs }}の和集合がベクトル空間の基底を形成_{することを示す必要}が_あります。

階数零定理により、 dim(ker( A − λ I ))= nrなので、t=nrsとなり、ポテンシャル基底のベクトルの数は n に等しくなります。線型独立性を示すために、ベクトルの何らかの線型結合が 0 であると仮定します。A − λ I を適用すると、p _iの何らかの線型結合が得られ、q _iはp iの中で先頭ベクトルになります_。p _iの線型独立性から、ベクトルq _iの係数は 0 でなければならないことがわかります。さらに、 z _i の非自明な線型結合はp _iの線型結合に等しくなることはできません。なぜなら、そうすると Ran( A − λ I )に属し、したがってQ に属することになるためであり、z _iの構成上、これは不可能だからです。したがって、 z _iの係数も 0 になります。これにより、線型独立であると想定されるp _i項だけが残るため、これらの係数も 0 でなければなりません。ジョルダン連鎖で構成された基底が見つかりました。これは、A をジョルダン標準形にすることができることを示しています。

与えられた行列Aのジョルダン正規形は、ジョルダンブロックの順序まで一意であることが示されます。

固有値の代数的重複度と幾何的重複度を知るだけでは、 Aのジョルダン正規形を決定するのに十分ではありません。固有値λの代数的重複度m ( λ ) がわかっていると仮定すると、 ( A − λI ) ^{m ( λ )}の位数を解析することで、ジョルダン形式の構造を確かめることができます。これを確認するには、 n × n行列A に_{1つの固有値}λしかないと仮定します。したがって、m ( λ ) = nです 。

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

は、 Aのジョルダン形式における最大のジョルダンブロックの大きさである。（この数k _1はλの指数とも呼ばれる。次のセクションの議論を参照。）のランクは、

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

はサイズk ₁のジョルダンブロックの数である。同様に、

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

は、サイズk ₁のジョーダンブロックの数の 2 倍に、サイズk ₁ − 1のジョーダンブロックの数を加えたものです 。一般的なケースも同様です。

これを使用して、ジョルダン形式の一意性を示すことができます。J ₁とJ _{2 を}Aの 2 つのジョルダン正規形とします。すると、J ₁とJ _{2 は}相似であり、固有値の代数的重複を含め、同じスペクトルを持ちます。前の段落で概説した手順を使用して、これらの行列の構造を決定できます。行列のランクは相似変換によって保存されるため、J ₁とJ ₂のジョルダン ブロック間には一対一の関係があります。これは、ステートメントの一意性の部分を証明します。

Aが実行列である場合、そのジョルダン形式は非実数である可能性がある。上で議論したように、それを複素固有値と上対角線上の固有値で表現する代わりに、実可逆行列Pが存在し、P ⁻¹ AP = Jは実ブロック対角行列であり、各ブロックは実ジョルダンブロックである。^[15]実ジョルダンブロックは、複素ジョルダンブロック（対応する固有値が実数の場合）と同一であるか、またはブロック行列自体であり、2×2 ブロック（与えられた代数的重複を持つ非実固有値の場合）で構成される。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}=a_{i}+ib_{i}}$

${\displaystyle C_{i}=\left[{\begin{array}{rr}a_{i}&-b_{i}\\b_{i}&a_{i}\\\end{array}}\right]}$

と複素平面での乗算を記述する。超対角ブロックは2×2単位行列であり、したがってこの表現では行列の次元は複素ジョルダン形式よりも大きい。完全な実数ジョルダンブロックは次のように与えられる。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}C_{i}&I&&\\&C_{i}&\ddots &\\&&\ddots &I\\&&&C_{i}\end{bmatrix}}.}$

この実ジョルダン形式は、複素ジョルダン形式の結果です。実行列の場合、非実固有ベクトルと一般化固有ベクトルは常に複素共役ペアを形成するように選択できます。実部と虚部 (ベクトルとその共役の線形結合) を取ると、行列は新しい基底に関してこの形式になります。

ジョルダン還元は、要素が体Kにある任意の正方行列Mに拡張できます。その結果、任意のM は、 Dが半単純、Nが冪零、DN = NDである和D + Nとして表すことができます。これは、ジョルダン・シュヴァレー分解と呼ばれます。K がMの固有値を含むときはいつでも、特にK が代数的に閉じている場合は、正規形をジョルダンブロックの直和として明示的に表現できます。

Kが複素数の場合と同様に、 1 ≤ k ≤ mに対する ( M − λI ) ^kの核の次元 ( m は固有値λの代数的重複度)がわかれば、 Mのジョルダン形式を決定できます。 x のVへの作用を M の適用と見なし、 K 線型性によって拡張することにより、基になるベクトル空間VをK [ x ]加群と見なすことができます。この場合、多項式 ( x  −  λ ) ^{k は}Mの基本因子であり、ジョルダン正規形は基本因子に関連付けられたブロックで M を表すことに関係しています。

ジョルダン標準形の証明は、通常、主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理の環 K [ x ]への応用として行われ、ジョルダン標準形はその定理の系である。

ジョルダン正規形は本質的に正方行列の分類結果であり、そのため線形代数のいくつかの重要な結果はその結果として見ることができることがわかります。

ジョルダン正規形を使用すると、直接計算により多項式関数計算のスペクトル写像定理が得られます。A を固有値λ ₁、...、λ _{n を}持つn × n行列とすると、任意の多項式pに対して、p ( A ) は固有値p ( λ ₁ )、...、p ( λ _n ) を持ちます。

Aの特性多項式は です。類似の行列は同じ特性多項式を持ちます。したがって、となります。ここで はのi乗根であり、 はその重複度です。これは明らかにAのジョルダン形式の特性多項式だからです。 ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\textstyle p_{J}}$${\displaystyle m_{i}}$

ケーリー・ハミルトン定理は、すべての行列A がその特性方程式を満たすことを主張しています。つまり、 p がAの特性多項式である場合、 となります。これは、ジョルダン形式で直接計算することで示せます。なぜなら、 が重複度 の固有値である場合、そのジョルダンブロックは明らかに を満たすからです。対角ブロックは互いに影響を及ぼさないため、のi番目の対角ブロックはです。したがって です。 ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$

ジョルダン形式は、行列の基底体を拡張する体、たとえばpの分解体上に存在すると仮定できます。この体の拡張によって 行列p ( A )が変わることはありません。

正方行列Aの最小多項式P は、 P ( A ) = 0となる最小次数mの唯一のモニック多項式です。あるいは、与えられたAを消滅させる多項式の集合は、複素係数を持つ多項式の主イデアル領域であるC [ x ]のイデアルI を形成します。Iを生成するモニック元はまさにPです。

λ ₁ , ..., λ _{q を}Aの異なる固有値とし、s i_をλ _iに対応する最大のジョルダンブロックのサイズとする。ジョルダン標準形から、 Aの最小多項式の次数がΣ s _iであることは明らかである。

ジョルダン正規形は最小多項式を決定しますが、その逆は真ではありません。これは、基本因子の概念につながります。正方行列Aの基本因子は、そのジョルダン ブロックの特性多項式です。最小多項式mの因数は、異なる固有値に対応する最大次数の基本因子です。

基本因子の次数は対応するジョルダン ブロックのサイズ、つまり対応する不変部分空間の次元です。すべての基本因子が線形である場合、A は対角化可能です。

n × n行列Aのジョルダン形式はブロック対角であり、したがってn次元ユークリッド空間をAの不変部分空間に分解する。すべてのジョルダンブロックJ _{i は}不変部分空間X _iに対応する。記号的に、

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

ここで、各X _{i は}対応するジョルダン連鎖の範囲であり、k はジョルダン連鎖の数です。

ジョルダン形式を介して、少し異なる分解を得ることもできます。固有値λ _{i が}与えられたとき、それに対応する最大のジョルダンブロックs _iのサイズはλ _iのインデックスと呼ばれ、 v ( λ _i )で表されます。(したがって、最小多項式の次数はすべてのインデックスの合計です。) 部分空間Y _{i を}次のように 定義します。

${\displaystyle Y_{i}=\ker(\lambda _{i}I-A)^{v(\lambda _{i})}.}$

これにより分解は次のようになる

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

ここで、l はAの異なる固有値の数です。直感的には、同じ固有値に対応するジョルダン ブロック不変部分空間をまとめます。Aが単位行列の倍数である極端なケースでは、 k = nおよびl = 1 となります。

Y _i上および他のすべてのY _j ( j ≠ i ) に沿った射影は、 v _iにおけるAのスペクトル射影と呼ばれ、通常P ( λ _i  ; A )と表記されます。スペクトル射影は、 i ≠ jの場合P ( λ _i  ; A ) P (v _j  ; A ) = 0 となる意味で相互に直交します。また、それらはAと可換であり、それらの合計は単位行列です。ジョルダン行列Jのすべての v _{i を}1 で置き換え、他のすべての要素を 0 にするとP (v _i  ; J ) が得られ、さらに、UJU ^−1がA = UJU ⁻¹となるような相似変換である場合、P ( λ _i  ; A ) = UP ( λ _i  ; J ) U ⁻¹となります。それらは有限次元に限定されません。コンパクト演算子への応用については以下 を参照

2 つの分解を比較すると、一般にl ≤ k であることがわかります。A が正規の場合、最初の分解におけるサブスペースX _iは 1 次元で、互いに直交します。これは正規演算子のスペクトル定理です。2 番目の分解は、バナッハ空間上の一般的なコンパクト演算子に対してより簡単に一般化されます。

ここで、指数ν ( λ )のいくつかの性質について触れておくと興味深いかもしれません。より一般的には、複素数λに対して、その指数は、次の式で表される最小の非負整数ν ( λ )として定義できます。

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)^{\nu (\lambda )}=\ker(A-\lambda I)^{m},\;\forall m\geq \nu (\lambda ).}$

したがって、λ がAの固有値である場合に限り、ν (v) > 0 となります。有限次元の場合、ν (v) ≤ v の代数的重複度となります。

ジョルダン形式は、正規行列が周囲行列空間で低い固定次数の代数多様体を構成するような、共役までの行列の正規形式を見つけるために使用されます。

一般に、ジョルダン標準形または有理標準形の行列共役類の代表集合は、周囲行列空間内の線形またはアフィン部分空間を構成しません。

ウラジミール・アーノルドは^[16]次のような問題を提起した。行列共役類の代表の集合がアフィン線形部分空間（平坦部）の和集合となるような体上の行列の標準形を見つける。言い換えれば、行列共役類の集合を元の行列集合に入射的に写像し、この埋め込みの像（すべての正規行列の集合）の次数が可能な限り低く、シフトされた線形部分空間の和集合となるようにする。

これは代数的に閉じた体に対してピータース・ダウグリスによって解かれました。^[17]行列の 一意に定義された平面正規形 の構築は、そのジョルダン正規形を考慮することから始まります。

ジョルダン連鎖の反復により、より抽象的な設定へのさまざまな拡張が可能になります。有限行列の場合、行列関数が得られます。これは、以下でさらに説明するように、コンパクト演算子と正則関数計算に拡張できます。

ジョルダン正規形は、行列関数の計算に最も便利です（ただし、コンピュータ計算には最適ではない可能性があります）。f ( z ) を複素引数の解析関数とします。この関数を、固有値λを持つn × nジョルダン ブロックJに適用すると、上三角行列が生成されます。

${\displaystyle f(J)={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f'(\lambda )&{\tfrac {f''(\lambda )}{2}}&\cdots &{\tfrac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f'(\lambda )&\cdots &{\tfrac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&f(\lambda )&f'(\lambda )\\0&0&0&0&f(\lambda )\end{bmatrix}},}$

結果の行列のk番目の上対角要素は となる。一般ジョルダン正規形の行列の場合、上記の式は各ジョルダンブロックに適用されます。 ${\displaystyle {\tfrac {f^{(k)}(\lambda )}{k!}}}$

次の例は、べき乗関数f ( z ) =  z ⁿへの応用を示しています。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&{\tbinom {n}{2}}\lambda _{1}^{n-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{2}^{n-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{n}\end{bmatrix}},}$

ここで、二項係数は と定義されます。正の整数nの場合、係数の標準定義に簡約されます。負のnの場合、恒等式が役立つ場合があります。 ${\textstyle {\binom {n}{k}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}}}$${\textstyle {\binom {-n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}}$

ジョルダン標準形に類似した結果は、バナッハ空間上のコンパクト演算子に対しても成り立ちます。コンパクト演算子Tのスペクトル内のすべての点x は固有値であるため、コンパクト演算子に制限されます。唯一の例外は、x がスペクトルの極限点である場合です。これは一般に有界演算子には当てはまりません。この一般化の考え方を示すために、まずジョルダン分解を関数解析の言語で再定式化します。

X をバナッハ空間とし、L ( X )をX上の有界作用素とし、σ ( T ) をT ∈ L ( X )のスペクトルとする。正則関数計算は次のように定義される。

有界作用素Tを固定する。σ ( T )を含む開集合G上で正則な複素関数の族 Hol( T ) を考える。Γ = { γ _i } を、 σ ( T ) が Γ の内部にあるようなジョルダン曲線の有限集合とすると、 f ( T ) を次のように 定義する。

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(z-T)^{-1}\,dz.}$

開集合G はfとともに変化し、連結である必要はない。積分は、スカラーの場合と同様に、リーマン和の極限として定義される。積分は連続fに対して意味があるが、古典関数論の仕組み（例えば、コーシー積分公式）を適用するために、正則関数に限定する。σ ( T ) が Γ の内部にあるという仮定は、 f ( T ) が適切に定義されることを保証する。これは、 Γ の選択に依存しない。関数計算は、次式で与えられる Hol( T ) からL ( X ) への写像 Φ である。

${\displaystyle \;\Phi (f)=f(T).}$

この機能計算には以下の特性が必要です。

1. Φ は多項式関数計算を拡張します。
2. スペクトルマッピング定理は、σ ( f ( T ))= f ( σ ( T ))となります。
3. Φ は代数準同型性です。

有限次元の場合、σ ( T ) = { λ _i } は複素平面上の有限離散集合である。e i は λ i の開近傍で 1 でそれ以外では 0 となる関数とする。_関数計算_の性質3 により、演算子

${\displaystyle e_{i}(T)}$

は射影である。さらにν _{i を}λ _iのインデックスとし、

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

スペクトル写像定理によれば

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

スペクトルは{0}です。特性1により、f ( T )はジョルダン形式で直接計算でき、検査により演算子f ( T ) ei ( T ₎がゼロ行列であることがわかります。

性質3により、f ( T ) e _i ( T ) = e _i ( T ) f ( T )となる。したがって、e _i ( T )はまさに部分空間への射影である。

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

関係

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

暗示する

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

ここで、添え字iはTの異なる固有値を通る。これは不変部分空間分解である。

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

前のセクションで与えられました。各e _i ( T ) は、 λ _iに対応するジョルダン連鎖が張る部分空間への射影であり、 j ≠ iに対してv _jに対応するジョルダン連鎖が張る部分空間に沿った射影です。言い換えると、e _i ( T ) = P ( λ _i ; T ) です。演算子e _i ( T ) のこの明示的な識別により、行列の正則関数計算の明示的な形式が得られます。

すべてのf∈Hol ( T )に対して、

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

_{v iの各近傍において、 v i を}中心とするfのテイラー級数展開を選択したため、 f ( T )の式は有限和になることに注意してください。

T を有界演算子λとし、 σ ( T )の孤立点とする。(前述のように、Tがコンパクトな場合、そのスペクトル内のすべての点は孤立点となるが、極限点 0 は例外となる。)

点λは、次式で定義される 分解関数R _Tのとき、次数νの作用素Tの極と呼ばれる。

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

はλに次数νの極を持ちます。

有限次元の場合、固有値の順序はそのインデックスと一致することを示します。この結果はコンパクト演算子にも当てはまります。

固有値λを中心とし、半径εが十分小さい環状領域Aを考えます。この場合、開円板B _ε ( λ ) とσ ( T ) の交点は { λ } となります。レゾルベント関数R _{T は}A上で正則です。古典関数理論の結果を拡張すると、R _{T は}A上でローラン級数表現を持ちます。

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

どこ

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(z-T)^{-1}dz}$Cはλを中心とする小さな円です 。

関数計算に関するこれまでの議論により、

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$では1 、それ以外では 0 です。${\displaystyle e_{\lambda }}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(\lambda )}$

しかし、我々は最小の正の整数mが

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$そして${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

はまさにλのインデックスν ( λ ) です。言い換えると、関数R T_はλにν ( λ )の次数の極を持ちます。

行列Aが複数の固有値を持つか、複数の固有値を持つ行列に近い場合、そのジョルダン正規形は摂動に対して非常に敏感です。たとえば、次の行列を考えてみましょう。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\\varepsilon &1\end{bmatrix}}.}$

ε = 0の場合、ジョルダン正規形は単純に

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

しかし、ε ≠0の場合、ジョルダン正規形は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\sqrt {\varepsilon }}&0\\0&1-{\sqrt {\varepsilon }}\end{bmatrix}}.}$

この悪条件により、ジョルダン正規形に対する堅牢な数値アルゴリズムの開発が非常に困難になります。これは、結果が2つの固有値が等しいとみなされるかどうかに大きく依存するためです。このため、ジョルダン正規形は通常、数値解析では避けられ、安定したシューア分解^[18]または擬似スペクトル^[19]の方が優れた代替手段です。

• 標準的根拠
• 標準形
• フロベニウス正規形
• ジョーダンマトリックス
• ジョルダン・シュヴァレー分解
• 行列分解
• モーダルマトリックス
• ウェイア標準形