意味 四元数は 次の形式の表現 です。
1 + b 私 + c j + d k 、 {\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}
ここで、 a 、b 、c 、d は実数であり、i j k 記号 です。実際には、 a 、b 、c 、dの いずれ かが0の場合、対応する項は省略されます。a 、b 、c 、d がすべて0の場合、四元数はゼロ四元数 となり、0と表記されます。b 、c 、d のいずれかが1の場合 、対応する項は単にi 、 j k と 表記されます。
四元数q = 1 + b 私 + c j + d k {\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} } は、スカラー部分 に分解できる。 1 {\displaystyle a} （ 実数部 ）とそのベクトル部分 q − 1 = b 私 + c j + d k {\displaystyle qa=b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} } 虚数部 ）実数部と等しい（つまり、ベクトル部がゼロである）四元数を、スカラー四元数 実数四元数 または単にスカラー と呼ばれることもある）であり、対応する実数と同一視される。つまり、実数は埋め込まれて 。 [ d ] ベクトル四元数 右四元 ）。
四元数は実数上の4次元ベクトル空間を形成し、 { 1 、 私 、 j 、 k } {\displaystyle \left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}} 基本 として、成分ごとの加算によって
（ 1 1 + b 1 私 + c 1 j + d 1 k ） + （ 1 2 + b 2 私 + c 2 j + d 2 k ） = （ 1 1 + 1 2 ） + （ b 1 + b 2 ） 私 + （ c 1 + c 2 ） j + （ d 1 + d 2 ） k 、 {\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} ,\end{aligned}}}
および成分ごとのスカラー乗算
λ （ 1 + b 私 + c j + d k ） = λ 1 + （ λ b ） 私 + （ λ c ） j + （ λ d ） k 。 {\displaystyle \lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\mathbf {i} +(\lambda c)\mathbf {j} +(\lambda d)\mathbf {k} .}
ハミルトン積 と呼ばれる乗法群構造は、並置によって表され、四元数上で次のように定義できる。
スカラー四元数1は 単位元 です。 スカラー四元数は他のすべての四元数と可換であり、すなわち、すべての四元数q とすべてのスカラー四元数aに対して aq = qa 中心で まず基底要素について積が与えられ、次に分配法則 とスカラー四元数の中心法則を用いてすべての四元数に拡張されます（詳細は後述）。ハミルトン積は可換ではありませんが 結合 法則を満たすため、四元数は実数上の結合代数を形成します。 さらに、ゼロでないすべての四元数は、ハミルトン積に関して逆数を持つ。（ 1 + b 私 + c j + d k ） − 1 = 1 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 （ 1 − b 私 − c j − d k ） 。 {\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(ab\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} )。} したがって、四元数は除算代数 を形成する。
基底要素の乗算 基底要素i 、j k 1の乗算は、 1 が 乗法単位元で あるという事実によって定義されます。つまり、 私 1 = 1 私 = 私 、 j 1 = 1 j = j 、 k 1 = 1 k = k 。 {\displaystyle \mathbf {i} \,1=1\,\mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \,1=1\,\mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \,1=1\,\mathbf {k} =\mathbf {k} }
ハミルトンが乗算を定義するために用いた残りの積は次のとおりです。 私 2 = j 2 = k 2 = 私 j k = − 1. {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\;j\;k} =-1.}
これらから、以下の追加ルールを導き出すことができる。 私 j = − j 私 = k 、 j k = − k j = 私 、 k 私 = − 私 k = j 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i\,j} &=-\mathbf {j\,i} =\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {j\,k} =-\mathbf {k\,j} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {k\,i} =-\mathbf {i\,k} =\mathbf {j} .\end{整列}}}
中心 非可換環 の中心は 、すべてのx に対してcx = xc c の部分環です。四元数代数の中心は、スカラー四元数の部分体です。実際、スカラー四元数が中心に属することは定義の一部です。逆に、q = a + b i + c j + d k 0 = 私 q − q 私 = 2 c 私 j + 2 d 私 k = 2 c k − 2 d j 、 {\displaystyle 0=\mathbf {i} \,qq\,\mathbf {i} =2c\,\mathbf {i} \mathbf {j} +2d\,\mathbf {i} \mathbf {k} =2c\,\mathbf {k} -2d\,\mathbf {j} ,}
また、c = d = 0 である。i j b = 0 も成り立つことがわかる。したがって、q = a
四元数は除法代数を形成します。これは、乗法の非可換性が四元数を体と区別する唯一の性質であることを意味します。この非可換性にはいくつかの予期せぬ結果があり、その一つとして、四元数上の多項式方程式は 、多項式の次数よりも多くの異なる解を持つ可能性があります。例えば、方程式z 2 + 1 = 0b 2 + c 2 + d 2 = 1 を満たす四元数z = b i + c j + d k 虚数単位は、 四元数ベクトルの三次元空間において単位球 を形成します。
ハミルトン製品 2 つの要素a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ハミルトン積 ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k 分配法則 によって決定されます。分配法則により、積を基底要素の積の和として展開することが可能になります。これにより、次の式が得られます。
1 1 1 2 + 1 1 b 2 私 + 1 1 c 2 j + 1 1 d 2 k + b 1 1 2 私 + b 1 b 2 私 2 + b 1 c 2 私 j + b 1 d 2 私 k + c 1 1 2 j + c 1 b 2 j 私 + c 1 c 2 j 2 + c 1 d 2 j k + d 1 1 2 k + d 1 b 2 k 私 + d 1 c 2 k j + d 1 d 2 k 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}}
これで、上記のルールを使用して基本要素を乗算して、次の式を得ることができます。[ 9 ]
1 1 1 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 + （ 1 1 b 2 + b 1 1 2 + c 1 d 2 − d 1 c 2 ） 私 + （ 1 1 c 2 − b 1 d 2 + c 1 1 2 + d 1 b 2 ） j + （ 1 1 d 2 + b 1 c 2 − c 1 b 2 + d 1 1 2 ） k {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}}
スカラー部分とベクトル部分 実数a に対して、a + 0 i + 0 j + 0 k スカラー四元数 （実数四元数 とも呼ばれる）と呼ばれ、 b 、c、d が実数で、b、c 、d の少なくとも 1つ がゼロ でない、 0 + b i + c j + d k ベクトル四元数 （右四元数 とも呼ばれる）と呼ばれます。任意の四元数a + b i + c j + d k a はそのスカラー部分 、b i + c j + d k ベクトル部分 と呼ばれます。すべての四元数は 4 次元ベクトル空間のベクトルと見なすことができますが、ベクトル部分を 3 次元空間のベクトルと呼ぶのが一般的です。この慣例では、ベクトルはベクトル空間の要素と同じです。R 3 。 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.} [ e ]
ハミルトンはベクトル四元数を右四元数 [ 37 ] [ 38 ] スカラー四元数 とも呼んだ。
四元数をスカラー部分とベクトル部分に分割すると、
q = （ r 、 v → ） 、 q ∈ H 、 r ∈ R 、 v → ∈ R 3 、 {\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}}),\ \mathbf {q} \in \mathbb {H} ,\ r\in \mathbb {R} ,\ {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3},}
すると、加算、乗算、および乗法逆数の公式は次のようになります。
（ r 1 、 v → 1 ） + （ r 2 、 v → 2 ） = （ r 1 + r 2 、 v → 1 + v → 2 ） 、 （ r 1 、 v → 1 ） （ r 2 、 v → 2 ） = （ r 1 r 2 − v → 1 ⋅ v → 2 、 r 1 v → 2 + r 2 v → 1 + v → 1 × v → 2 ） 、 （ r 、 v → ） − 1 = （ r r 2 + v → ⋅ v → 、 − v → r 2 + v → ⋅ v → ） {\displaystyle {\begin{aligned}(r_{1},\,{\vec {v}}_{1})+(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}+r_{2},\,{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r_{1},\,{\vec {v}}_{1})(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\,r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r,\,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},\ {\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right)\end{aligned}}}
どこ "⋅ {\displaystyle {}\cdot {}} × {\displaystyle \times } 内積 と外積 を表す。
四元数の共役は、複素数の共役やクリフォード代数の要素の転置（反転とも呼ばれる）に類似している。それを定義するには、q = 1 + b 私 + c j + d k {\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} } の 共役は q * = 1 − b 私 − c j − d k {\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} } q ∗ q t で表されます。q ～ {\displaystyle {\tilde {q}}} q [ 9 ] 対合 であり、つまり、それ自体が逆で あるため、要素を 2 回共役すると元の要素が返されます。2 つの四元数の積の共役は、共役の積を逆順にし たものです。つまり、p とq が四元数である場合、( pq ) ∗ = q ∗ p ∗ であり、p ∗ q ∗
複素数の場合とは対照的に、四元数の共役は四元数の乗算と加算によって表現できる。
q * = − 1 2 （ q + 私 q 私 + j q j + k q k ） 。 {\displaystyle q^{*}=-{\tfrac {1}{2}}(q+\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} ).}
共役は、 四元数の スカラー部分とベクトル 部分 を 抽出するために使用できます。pの 1/2 ( p + p * ) で あり、 p のベクトル部分は 1/2 ( p − p * ) 。
は ノルム と ‖q‖ と q の テンソル と呼びましたが、これは「テンソル 」の現代的な意味と矛盾します）。数式では、これは次のように表されます。
‖ q ‖ = q q * = q * q = 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 {\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}
これは常に非負の実数であり、ユークリッドノルムと同じです。H {\displaystyle \mathbb {H} } R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} α が実数の場合、
‖ α q ‖ = | α | ‖ q ‖ 。 {\displaystyle \lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert .}
これはノルムが乗法的で あるという事実の特殊なケースであり、つまり
‖ p q ‖ = ‖ p ‖ ‖ q ‖ {\displaystyle \lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert }
任意の2つの四元数p とq に対して。乗法性は、積の共役の公式から導かれる。あるいは、次の恒等式から導かれる。
検出 （ 1 + 私 b 私 d + c 私 d − c 1 − 私 b ） = 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 、 {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},}
（ここでi は 通常の虚数単位 を表す）そして正方行列の行列式 の乗法性質から。
このノルムにより、 p とq の間の距離 d ( p , q )
d （ p 、 q ） = ‖ p − q ‖ 。 {\displaystyle d(p,q)=\lVert p-q\rVert .}
これによりH {\displaystyle \mathbb {H} } 空間 。加算と乗算は、関連する距離位相 に関して連続で ある。これは、実数の場合とまったく同じ証明で得られる。R {\displaystyle \mathbb {R} } H {\displaystyle \mathbb {H} }
単位四元数 単位四元数 とは、ノルムが1の四元数のことです。ゼロでない四元数qをそのノルムで割ると、 q のバーサー U q
U q = q ‖ q ‖ 。 {\displaystyle \mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.}
すべての非ゼロ四元数は一意の極分解を持つ q = ‖ q ‖ ⋅ U q 、 {\displaystyle q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q,}
共役とノルムを用いることで、ゼロでない四元数の逆数 を定義できる。四元数とその逆数の積は 1 に等しくなければならず、上記の考察から、q {\displaystyle q} q * / ‖ q ‖ 2 {\displaystyle q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2}} q の逆数
q − 1 = q * ‖ q ‖ 2 。 {\displaystyle q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.}
乗法は非可換であるため、商の量p q −1 q −1 p p とq が 平行なベクトル部分を持つ場合を除く)。表記 p / q
四元数と三次元幾何学 四元数のベクトル部分は、座標ベクトルとして解釈できます。R 3 ; {\displaystyle \mathbb {R} ^{3};} R 3 。 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.} [ 16 ]
このセクションの残りの部分では、i j k は [ 40 ] H {\displaystyle \mathbb {H} } R 3 。 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.} i を− i に、j − j に、k を− k に置き換えることで、ベクトルはその加法逆元 に変換されます。したがって、ベクトルの加法逆元は、四元数としての共役ベクトルと同じです。このため、共役は空間逆元 と呼ばれることもあります。
2 つのベクトル四元数p = b 1 i + c 1 j + d 1 k q = b 2 i + c 2 j + d 2 k 内積 は、ベクトルの類似性により、R 3 、 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}
p ⋅ q = b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 。 {\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}.}
また、コンポーネントフリーな方法で表現することもできます。
p ⋅ q = 1 2 （ p * q + q * p ） = 1 2 （ p q * + q p * ） 。 {\displaystyle p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).}
これは、積 pq ∗ 、qp ∗ 、p ∗ q 、およびq ∗ p
順序付けられた基底i 、 j k p とq の外積は
p × q = （ c 1 d 2 − d 1 c 2 ） 私 + （ d 1 b 2 − b 1 d 2 ） j + （ b 1 c 2 − c 1 b 2 ） k 。 {\displaystyle p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .}
（符号を決定するには向きが必要であることを思い出してください。）これは、積pq − q ∗ p ∗ のベクトル部分に等しくなります。また、次の式も成り立ちます。
p × q = 1 2 （ p q − q p ） 。 {\displaystyle p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).}
2つのベクトル四元数の交換子 [ p , q ] = pq − qp 。
[ p 、 q ] = 2 p × q 、 {\displaystyle [p,q]=2p\times q,}
q p = p q − 2 p × q 。 {\displaystyle qp=pq-2p\times q.}
一般に、p とqを 四元数とし、次のように書く。
p = p s + p v 、 q = q s + q v 、 {\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}}
ここで、p s q s は p v q v はp とq のベクトル部分である。すると、次の式が得られる。
p q = （ p q ） s + （ p q ） v = （ p s q s − p v ⋅ q v ） + （ p s q v + q s p v + p v × q v ） 。 {\displaystyle pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).}
これは、四元数の乗算の非可換性がベクトル四元数の乗算から生じることを示しています。また、2つの四元数が可換であるのは、それらのベクトル部分が共線である場合のみであることも示しています。ハミルトン[ 41 ] は、この積が、与えられた2つの頂点とその関連する弧長から球面三角形の3番目の頂点を計算することを示しました。これは、楕円幾何学 における点の代数でもあります。
単位四元数は回転と関連付けられるR 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}} そして、ハミルトンはそれらを「バーサー」 と呼んだ。[ 41 ] 「四元数と空間回転」も参照してください。
四元数の視覚化については、 Hanson (2005) [ 42 ]
行列表現 複素数が行列で表現できるのと同様に、四元数も行列で表現できます。四元数の加算と乗算が行列の加算と 乗算 に対応するように四元数を行列で表現する方法は少なくとも2つあります。1つは2×2の複素行列を使用する方法、もう1つは4×4の実数 行列を使用する方法です。いずれの場合も、与えられた表現は線形に関連する表現の族の1つです。これらは、からの単射準 同型です。 H {\displaystyle \mathbb {H} } それぞれ行列環 M(2, C ) およびM(4, R ) に相当します。
四元数a + b i + c j + d k は 、複素数2 × 2 行列 を用いて次のように表すことができます。
[ − 1 + b 私 c + d 私 − c + d 私 1 − b 私 ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\phantom {-}}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}
この表現には以下の特性があります。
b 、c 、d のうちいずれか2つをゼロに制約することで、複素数の表現が得られます。例えば、c = d = 0b = d = 0四元数のノルム（複素数と同様に、その共役との積の平方根）は、対応する行列の行列式 の平方根である。[ 43 ] 四元数のスカラー部分は、行列トレース の半分です。四元数の共役は、行列の共役転置に対応する。 この表現を制限すると、単位四元数の部分群とその像SU(2)の間に 群同型 写像が得られます。位相的には、単位四元数は 3 次元球面であるため、SU(2) の基礎となる空間も 3 次元球面です。群SU(2) は量子力学におけるスピンの 記述に重要です。パウリ行列を 参照してください。 四元数とパウリ行列 の間には強い関係がある。上記の2 × 2 複素 行列は次のように書ける。1 私 + b 私 σ 3 + c 私 σ 2 + d 私 σ 1 、 {\displaystyle a\,I+b\,i\,\sigma _{3}+c\,i\,\sigma _{2}+d\,i\,\sigma _{1},} {1, i , j , k } は 以下に対応します。{ 私 、 私 σ 3 、 私 σ 2 、 私 σ 1 } {\displaystyle \left\{I,i\,\sigma _{3},i\,\sigma _{2},i\,\sigma _{1}\right\}} { 私 、 σ 1 σ 2 、 σ 3 σ 1 、 σ 2 σ 3 } {\displaystyle \left\{I,\sigma _{1}\,\sigma _{2},\sigma _{3}\,\sigma _{1},\sigma _{2}\,\sigma _{3}\right\}} 任意の 2 つのパウリ行列を乗算すると、常に四元数単位行列が得られますが、 −1 。 −1 はi 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 によって得られます。 例えば、最後の等式は次のようになります。 私 j k = σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ 3 = − 1. {\displaystyle \mathbf {i\;j\;k} =\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}=-1.} M(2,ℂ) における表現は一意ではない。四元数とパウリ行列間の巡回順序の方向を保持する別の慣習として、1 ↦ 私 、 私 ↦ − 私 σ 1 = − σ 2 σ 3 、 j ↦ − 私 σ 2 = − σ 3 σ 1 、 k ↦ − 私 σ 3 = − σ 1 σ 2 、 {\displaystyle 1\mapsto \mathbf {I} ,\quad \mathbf {i} \mapsto -i\,\sigma _{1}=-\sigma _{2}\,\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -i\,\sigma _{2}=-\sigma _{3}\,\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -i\,\sigma _{3}=-\sigma _{1}\,\sigma _{2},}
これは別の表現を与える。
1 + b 私 + c j + d k ↦ [ 1 − d 私 − c − b 私 c − b 私 − 1 + d 私 ] 。 {\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \mapsto {\begin{bmatrix}ad\,i&-cb\,i\\cb\,i&{\phantom {-}}a+d\,i\end{bmatrix}}.}
4 × 4 実数行列を使用すると、同じ四元数は次のように書くことができます。
[ 1 − b − c − d b 1 − d c c d 1 − b d − c b 1 ] = 1 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] + b [ 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 ] + c [ 0 0 − 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ] + d [ 0 0 0 − 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}
しかし、 M(4,ℝ) における四元数の表現は一意ではありません。例えば、同じ四元数は次のように表現することもできます。
[ 1 d − b − c − d 1 c − b b − c 1 − d c b d 1 ] = 1 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] + b [ 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] + c [ 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 ] + d [ 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}
この形式の異なる行列表現は48 種類あり 、そのうちの 1 つの行列がスカラー部分を表し、他の 3 つの行列はすべて歪対称です。より正確には、 これらの対称制約を持つ行列の 4 組のセットが 48 種類あり、1、i 、j 、k 準同型写像 、つまり、四元数の和と積を行列の和と積に送る写像です。[ 45 ] 転置 に対応します。四元数のノルムの 4 乗は、対応する行列の行列式です。四元数のスカラー部分は、行列のトレースの 4 分の 1 です。上記の 2 × 2 複素 表現と同様に、係数を適切に制約することで、再び複素数を生成できます。例えば、c = d = 0 2 × 2 ブロックを持つブロック対角行列として表すことができます 。
四元数の各4 × 4 行列 表現は、単位四元数の乗算表に対応します。たとえば、上記の最後の行列表現は乗算表に対応します。
これは同型であり、{ 1 ↦ 1 、 b ↦ 私 、 c ↦ j 、 d ↦ k } 、 {\displaystyle \{a\mapsto 1,\ b\mapsto i,\ c\mapsto j,\ d\mapsto k\},}
このような乗算表を、最初の行と列に単位元を持ち、行ヘッダーの符号が列ヘッダーの符号と反対になるように制約すると、 2 列目には 3 つの選択肢 (符号を無視)、 3 列目には 2 つの選択肢 (符号を無視)、4 列目には 1 つの選択肢 (符号を無視) があり、合計 6 つの 可能性があります。次に、2 列目は正または負のいずれかに選択でき、3 列目は正または負のいずれかに選択でき、4 列目は正または負のいずれかに選択できるため、符号には 8 つの可能性があります。文字の位置とその符号の可能性を掛け合わせると 48 になります。次に、1 をa 、i b 、j c 、k をd に置き換え、行と列のヘッダーを削除すると、行列表現a + b i + c j + d k
四元数は、数論 におけるラグランジュの四平方定理の証明の一つにも用いられています。この定理は、すべての非負整数は4つの整数の平方の和で表されると述べています。ラグランジュの四平方定理はそれ自体が優雅な定理であるだけでなく、組み合わせ設計 理論など、数論以外の数学分野でも有用な応用があります。四元数に基づく証明では、ユークリッドの互除法 の類似物が存在するすべての四元数の環の部分環であるフルヴィッツ四元数 を使用します。
複素数のペアとしての四元数 四元数は複素数のペアとして表現できます。この観点から見ると、四元数は複素数にケイリー・ディクソン構成法 を適用した結果と言えます。これは、複素数を実数のペアとして構成する方法を一般化したものです。
させてC 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 1 とj C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 1 とj
（ 1 + b 私 ） 1 + （ c + d 私 ） j 。 {\displaystyle (a+b\,i)1+(c+d\,i)\mathbf {j} .}
j 2 = −1i j = − j i i jの省略表記として k を a + bi + c j + d k C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}
（ 1 + b 私 、 c + d 私 ） ↔ （ 1 、 b 、 c 、 d ） 。 {\displaystyle (a+bi,\,c+di)\leftrightarrow (a,\,b,\,c,\,d).}
平方根
複素数では、C 、 {\displaystyle \mathbb {C} ,} 2乗すると-1になる数は、 i と-iの 2つだけ存在する。H {\displaystyle \mathbb {H} } 球面 です。R 3 。 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}.} q = a + b i + c j + d k を b 、c 、d に関して、これは次のことを意味します。
1 2 − b 2 − c 2 − d 2 = − 1 、 x | 2 1 b = 0 、 2 1 c = 0 、 2 1 d = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{\vphantom {x^{|}}}\\[3mu]2ab&=0,\\[3mu]2ac&=0,\\[3mu]2ad&=0.\end{aligned}}}
最後の 3 つの式を満たすには、a = 0b 、c 、d がすべて0 である必要があります。a が a 2 = −1a = 0b 2 + c 2 + d 2 = 1 です−1に二乗されるのは、それが ノルム1 のベクトル四元数である場合のみです。 定義により、そのようなすべてのベクトルの集合は単位球を形成します。
負の実数四元数のみが無限に多くの平方根を持ちます。その他はすべて2つ（0の場合は1つ）しか持ちません。[ g ]
可換部分環 複素サブプレーン内の四元数同士の関係H {\displaystyle \mathbb {H} } また、可換部分環の 観点から識別および表現することもできます。具体的には、2つの四元数p とq が可換（つまり、pq = qp H 、 {\displaystyle \mathbb {H} ,} H {\displaystyle \mathbb {H} } 四元数環 のすべての可換部分環を見つけようとすると、複素平面の和集合が生じる。
任意の四元数の平方根 任意の四元数q = （ r 、 v → ） {\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}})} q = （ x 、 y → ） {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}=(x,\,{\vec {y}})} （ q ） 2 = （ x 、 y → ） 2 = q 。 {\displaystyle ({\sqrt {\mathbf {q} }})^{2}=(x,\,{\vec {y}})^{2}=\mathbf {q} .}
q = （ r 、 v → ） = ± （ 1 2 （ ‖ q ‖ + r ） 、 v → ‖ v → ‖ 1 2 （ ‖ q ‖ − r ） ） 、 {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}={\sqrt {(r,\,{\vec {v}})}}=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|\mathbf {q} \|+r{\bigr )}}},\ {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|\mathbf {q} \|-r{\bigr )}}}\right),}
どこ‖ v → ‖ = v → ⋅ v → {\textstyle \|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}} v → {\displaystyle {\vec {v}}} ‖ q ‖ = q * q = r 2 + ‖ v → ‖ 2 {\textstyle \|\mathbf {q} \|={\sqrt {\mathbf {q} ^{*}\mathbf {q} }}={\sqrt {r^{2}+\|{\vec {v}}\|^{2}}}} q 。 {\displaystyle \mathbf {q} .} q \displaystyle \mathbf {q} } v → / ‖ v → ‖ {\textstyle {\vec {v}}/\|{\vec {v}}\|}
したがって、ゼロでない非スカラー四元数、または正のスカラー四元数はちょうど2つの根を持ち、0はちょうど1つの根（0）を持ち、負のスカラー四元数は無限に多くの根を持ち、それらはベクトル四元数で、{ 0 } × S 2 （ − r ） {\displaystyle \{0\}\times S^{2}{\bigl (}{\sqrt {-r}}{\bigr )}} 2次元球面上に位置する。 − r 。 {\displaystyle {\sqrt {-r}}.}
四元数変数の関数 ジュリア集合とマンデルブロ集合は四元数に拡張できますが、3次元空間で視覚的に表現するには断面を用いる必要があります。このジュリア集合はxy 平面で断面化されています。 複素変数 の関数と同様に、四元数変数の関数も有用な物理モデルを示唆します。例えば、マクスウェルが記述した元の電場と磁場は四元数変数の関数でした。その他の関数の例としては、マンデルブロ集合 とジュリア集合を 4次元空間に拡張したものなどがあります。[ 49 ]
四元数の関数は、実数係数を持つべき級数から定義できます。たとえば、四元数が与えられた場合、
q = 1 + b 私 + c j + d k = 1 + v 、 {\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} =a+\mathbf {v} ,}
指数関数は次のように計算されます[ 50 ]
exp （ q ） = ∑ n = 0 ∞ q n n ! = e 1 （ コス ‖ v ‖ + v ‖ v ‖ 罪 ‖ v ‖ ） 、 {\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}{\biggl (}{\cos \|\mathbf {v} \|}+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|{\biggr )},}
そして対数は[ 50 ]
ln （ q ） = ln ‖ q ‖ + v ‖ v ‖ アルコス 1 ‖ q ‖ 。 {\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}.}
したがって、四元数の極分解は次のように書ける。
q = ‖ q ‖ e φ n ^ = ‖ q ‖ （ コス （ φ ） + n ^ 罪 （ φ ） ） 、 {\displaystyle q=\|q\|e^{\varphi {\hat {n}}}=\|q\|{\bigl (}{\cos(\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(\varphi )}{\bigr )},}
角度が φ {\displaystyle \varphi } [ h ]
1 = ‖ q ‖ コス （ φ ） {\displaystyle a=\|q\|\,\cos(\varphi )}
そして単位ベクトルn ^ {\displaystyle {\hat {n}}}
v = n ^ ‖ v ‖ = n ^ ‖ q ‖ 罪 （ φ ） 。 {\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\,\sin(\varphi ).}
任意の単位四元数は、極形式で次のように表すことができます。
q = exp （ n ^ φ ） 。 {\displaystyle q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}.}
任意の（実数）指数x で累乗した四元数のべき乗は、 次のように表されます。
q x = ‖ q ‖ x e n ^ x φ = ‖ q ‖ x （ コス （ x φ ） + n ^ 罪 （ x φ ） ） 。 {\displaystyle q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}{\bigl (}\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\sin(x\varphi ){\bigr )}.}
測地線ノルム 単位四元数p とq の間の測地距離 d g ( p , q )[ 52 ]
d g （ p 、 q ） = ‖ ln （ p − 1 q ） ‖ 。 {\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .}
そして、これはS3 球面の大弧 に沿って点p と点qが なす角度の半分の絶対値に相当します。この角度は、 内積 からも計算できます。
d g （ p 、 q ） = アルコス （ 2 （ p ⋅ q ） 2 − 1 ） 。 {\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)={\arccos }{\bigl (}2(p\cdot q)^{2}-1{\bigr )}.}
3次元および4次元回転群 上記の意味に加えて、 「共役 」という言葉は、要素a を r a r −1 r はゼロでない四元数です。与えられた要素に共役なすべての要素 (この意味での共役) は、実部が同じで、ベクトル部のノルムも同じです。 (したがって、別の意味での共役は、この意味での共役の 1 つです。) [ 53 ]
したがって、非ゼロ四元数の乗法群は、共役によってコピーに作用する。R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 実部がゼロの四元数から構成される。実部がcos( φ ) である単位四元数 (絶対値が 1 の四元数) による共役は、2φの 角度による回転であり、回転軸はベクトル部分の方向である。四元数の利点は次のとおりである。[ 54 ]
すべての単位四元数（バーソル ）の集合は、3 S3 リー群 ）を形成し、その群を二重に覆います。 それで （ 3 、 R ） {\displaystyle {\text{SO}}(3,\mathbb {R} )} 行列式 が1 の実直交 3×3行列 の。これは、上記の対応関係の下では、 2 つの単位四元数がすべての回転に対応するためである。 プレート トリック を参照。
変数群の部分群の像は点群 であり、逆に、点群の逆像は変数群の部分群である。有限点群の逆像は、同じ名前に「二元」 という接頭辞を付けて呼ばれる。例えば、正二十面体群の逆像は 二元正二十面体群 である。
変数群は、行列式 が1 の複素ユニタリ 2 × 2 行列 の群であるSU(2) と同型である。
A を 、a + b i + c j + d k 、a、b、c、 dは すべて整数 か、すべて半整数 である。集合A は環 (実際には領域 ) であり、格子で もある。これをフルヴィッツ四元数の環と呼ぶ。この環には 24 個の単位四元数があり、これらはシュレーフリ記号 {3,4,3} 正 24 セルの頂点である 。これらは正 四面体 の回転対称群の二重被覆に対応する。同様に、シュレーフリ記号{3,3,5}を持つ 正 600 セル の頂点は、正二十面体 の回転対称群の二重被覆に対応する単位二十面体と みなすことができる。正八面体 の回転対称群の二重被覆は、二面体288胞 の頂点を表す四元数に対応する。[ 55 ]
四元数代数 四元数は、四元数代数 と呼ばれるさらに別の代数に一般化することができます。Fを 2 とは異なる特性を持つ任意の体とし、a とbを F の要素とします。基底1、 i 、 j 、 ij F 上の 4 次元ユニタリ結合代数は、i 2 = a j 2 = b ij = − ji (ij) 2 = − ab
四元数代数は、 a とb の選択に応じて、F 上の2×2行列の代数と同型であるか、 F 上の除算代数を形成する。
Cl 3,0 (ℝ) の偶数部分としての四元数四元数を偶数部分として定義することで、幾何学的計算における四元数の有用性を他の次元にも一般化することができる。クリー 3 、 0 + （ R ） {\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )} クリー 3 、 0 （ R ） 。 {\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).} これは、基本基底要素σ 1 、σ 2 、σ 3
σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = 1 、 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,} σ m σ n = − σ n σ m （ m ≠ n ） 。 {\displaystyle \sigma _{m}\sigma _{n}=-\sigma _{n}\sigma _{m}\qquad (m\neq n).}
これらの基本要素を3次元空間におけるベクトルを表すものとみなすと、単位ベクトルw に垂直な平面におけるベクトルrの 反射は 次のように表せることがわかる。
r ′ = − w r w 。 {\displaystyle r^{\prime }=-w\,r\,w.}
2回の反射は、2つの反射面間の角度の2倍の角度だけ回転するので、
r ′ ′ = σ 2 σ 1 r σ 1 σ 2 {\displaystyle r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}}
これは、 σ 1 とσ 2 を含む平面内での 180° の回転に対応します。これは、対応する四元数の公式と非常によく似ています。
r ′ ′ = − k r k 。 {\displaystyle r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .}
実際、2つの構造物クリー 3 、 0 + （ R ） {\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )} H {\displaystyle \mathbb {H} } 同型 である。自然な同一視の一つは
1 ↦ 1 、 私 ↦ − σ 2 σ 3 、 j ↦ − σ 3 σ 1 、 k ↦ − σ 1 σ 2 、 {\displaystyle 1\mapsto 1,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2},}
そして、これがハミルトン関係を維持することは容易に確認できる。
私 2 = j 2 = k 2 = 私 j k = − 1. {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1.}
この図では、いわゆる「ベクトル四元数」（つまり、純粋な虚数四元数）は、ベクトルではなく、双ベクトルに対応します。双ベクトルとは、1 次元の 方向 ではなく、特定の 2 次元平面 に関連付けられた大きさ と方向を持つ 量です。複素数との関係もより明確になります。2 次元では、2 つのベクトル方向σ 1 σ 2があり、双ベクトル基底要素は σ 1 σ 2 σ 2 σ 3 σ 3 σ 1 σ 1 σ 2
この推論はさらに続く。クリフォード代数ではクリー 4 、 0 （ R ） 、 {\displaystyle \operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),} ローターと呼ばれるこれらの四元数の一般化を使用したこのような空間での回転は、 同次座標 を含むアプリケーションで非常に役立ちます。しかし、基底二重ベクトルの数が基底ベクトルの数と等しくなり、各二重ベクトルが擬似ベクトル として識別できるのは3Dの場合のみです。
四元数をこのより広い設定に置くことにはいくつかの利点があります。[ 56 ]
ローターは幾何代数の自然な構成要素であり、二重反射の符号化として容易に理解できる。 幾何代数では、回転子とそれが作用する対象は同じ空間に存在します。これにより、線形代数に四元数を拡張する際に従来必要とされていた表現の変更や、新しいデータ構造やメソッドの符号化が不要になります。 ローターは、ベクトルやその他の四元数だけでなく、直線、平面、円、球、光線など、代数のあらゆる要素に普遍的に適用できます。 ユークリッド幾何学の共形モデル では、ローターを用いることで、回転、並進、拡大縮小を単一の代数要素に符号化することができ、どの要素にも普遍的に作用します。具体的には、ローターは任意の軸周りの回転を表現できるのに対し、四元数は原点を通る軸に限定されます。ローターエンコード変換を用いると、補間処理が特に容易になる。 ローターは、例えば特殊相対性理論 のミンコフスキー空間の ような擬ユークリッド空間 にも自然に適用できます。このような空間では、ローターを使用してローレンツブーストを 効率的に表現したり、ガンマ行列 を含む式を解釈したりすることができます。 クリフォード代数の幾何学的利用に関する詳細については、「幾何代数」を 参照してください。
ブラウアーグループ 四元数は、実数上の唯一の（非自明な）中心単純代数 （CSA）である。これは、実数上のすべてのCSAが、実数または四元数のいずれかとブラウアー同値であるという意味で言える。具体的には、実数の ブラウアー群は 、実数と四元数で表される2つのクラスから構成される。ここで、ブラウアー群は、あるCSAが別のCSA上の行列環 であるという同値関係を除いて、すべてのCSAの集合である。アルティン・ウェダーバーン定理 （特にウェダーバーンの部分）によれば、CSAはすべて除算代数上の行列代数であり、したがって四元数は実数上の唯一の非自明な除算代数である。
CSA（有限次元の体上の環）は、単純代数 （体と同様に非自明な両側イデアルを持たない）であり、その中心は体そのものである。これは拡張体 の非可換アナログであり、一般的な環の拡張よりも制約が厳しい。四元数が実数上の唯一の非自明なCSA（同値を除いて）であるという事実は、複素数が実数の唯一の非自明な有限体拡張であるという事実と比較することができる。
参考文献 ↑ ハミルトン卿 (1853).四元数に関する講義 . ダブリン、アイルランド: ホッジス＆スミス. p. 60.四元数商線三次元時空 {{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)↑ Hardy, AS (1881). "四元数の要素" . Science . 2 (75). Ginn, Heath, & Co.: 32. doi : 10.1126/science.os-2.75.564 . ISBN 9781429701860 PMID 17819877 1 2 3 ハミルトンは1843年10月17日付のジョン・グレイブス 宛の手紙で四元数について説明した。それはハミルトン（1844） に掲載された。 ↑ Rozenfelʹd, Boris Abramovich (1988). 非ユークリッド幾何学の歴史：幾何学的空間の概念の進化 . Springer. p. 385. ISBN 9780387964584 。↑ Curtis、Morton L. (1984)、 Matrix Groups (第 2 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag 、p. 10、 ISBN 978-0-387-96074-6 1 2 Mamone, Salvatore; Pileio, Giuseppe; Levitt, Malcolm H. (2010). "Orientational Sampling Schemes Based on Four Dimensional Polytopes" . Symmetry . 2 (3): 1423– 1449. Bibcode : 2010Symm....2.1423M . doi : 10.3390/sym2031423 . ↑ Kunze, Karsten; Schaeben, Helmut (2004 年 11 月). "テクスチャ解析における四元数のビンガム分布とその球面ラドン変換". Mathematical Geology . 36 (8): 917– 943. Bibcode : 2004MatGe..36..917K . doi : 10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59 . S2CID 55009081 . ↑ スミス、フランク（トニー）。 「なぜセデニオンではないのか？」 。 2024年1月14日に オリジナル からアーカイブ済み 。 2018年 6月8日 に取得。 1 2 3 Hazewinkel、Gubareni 、 Kirichenko、2004 年 、p. 4 を参照。 12 ↑ コンウェイ＆ スミス 2003、9ページ 1 2ブラッドリー 、 ロバート・E.、サンディファー、チャールズ・エドワード（2007）。 レオンハルト・オイラー：生涯、業績、そして遺産 。エルゼビア。p. 193。ISBN 978-0-444-52728-8 。↑ Pujol, J. (2012). "Hamilton, Rodrigues, Gauss, quaternions, and rotations: A historical reassessment" . Communications in Mathematical Analysis . 13 (2): 1– 14 – via projecteuclid.org. ↑ ガウス、CF (1819 年頃)。 「Mutationen des Raumes」 [ 空間の変容 ] 。マルティン・ブレンデル編著。 Carl Friedrich Gauss Werke [ カール・フリードリヒ・ガウスの作品 ] 。 Vol. 8. ドイツ、キールのStäckel教授（記事編集）。デラウェア州ゲッティンゲン: Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften [王立科学協会] (1900 年発行)。ページ 357–361 – Google 経由 。 ↑ ハミルトン、WR、サー （1866）。 ハミルトン、WE （編）。 四元数の基礎 。ロンドン：ロングマンズ、グリーン、& Co. {{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)↑ マックチューター数学史アーカイブ の 四元数協会 1 2 Shoemake, Ken (1985). "四元数曲線による回転のアニメーション" (PDF) . Computer Graphics . 19 (3): 245– 254. doi : 10.1145/325165.325242 . SIGGRAPH '85で発表。↑ Bobick, Nick (1998年7月) 「四元数を使用したオブジェクトの回転」 Game Developer 。 ↑ McCarthy, JM (1990). An Introduction to Theoretical Kinematics . MIT Press. ISBN 978-0-262-13252-7 。↑ ハーウィッツ、A. (1919)。 Vorlesungen uber die Zahlentheorie der Quaternionen 。デラウェア州ベルリン: J. Springer。 JFM 47.0106.01 。 フルヴィッツ四元数について ↑ ルドヴィク・シルベルシュタイン (1914)『相対性理論』 インターネットアーカイブ より↑ コーネリアス・ランチョス (1949)『力学の変分原理』 、トロント大学出版局 ISBN 0-8020-1743-6 ↑ Huerta, John (2010年9月27日). 「四元数の紹介」 (PDF) . 2014年10月21日のオリジナルから アーカイブ (PDF) 。 2018年 6月8日 に UC Riverside (math.ucr.edu)経由で 取得 。 ↑ Wood, Charlie (2018年9月6日). 「現代代数学を生み出した奇妙な数」 . Abstractions (ブログ). Quanta Magazine. ↑ Lambek, J. (1995). "もしハミルトンが勝利していたら：物理学における四元数". The Mathematical Intelligencer . Vol. 17, no. 4. pp. 7–15 . doi : 10.1007/BF03024783 . ↑ Clifford, WK (1878). "Applications of Grassmann's Extensive Algebra". American Journal of Mathematics . 1 (4). The Johns Hopkins University Press: 350–358 . doi : 10.2307/2369379 . JSTOR 2369379 . ↑ Peirce, B. (1881). "線形結合代数". American Journal of Mathematics . 4 (1). Johns Hopkins University: 221–226 . doi : 10.2307/2369153 . JSTOR 2369153 . ↑ R. リプシッツ (1880)。 「代数計算の原理は、四元数の計算と量的計算の部分的要素を含みます。」 CRアカデミー。科学。パリ （フランス語）。 91 : 619–621、660–664 . ↑ Moore, CLE (1922). "ハイパー四元数". Journal of Mathematics and Physics . 1 (2): 63– 77. doi : 10.1002/sapm19221263 . ↑ Girard, PR; Clarysse, P.; Pujol, R.; Goutte, R.; Delachartre, P. (2018). "ハイパークォータニオン: 物理学のための新しいツール" . Advances in Applied Clifford Algebras . 28 (3) 68. Springer: 1– 14. doi : 10.1007/s00006-018-0881-8 . ↑ Girard, PR (2007). Quaternions, Clifford algebras and relativistic physics . Springer Science & Business Media. doi : 10.1007/978-3-7643-7791-5 . ISBN 978-3-7643-7790-8 。↑ Gürlebeck , K.; Sprössig , W. (1997). Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers . New York: John Wiley & Sons. ↑ Girard, PR; Clarysse, P.; Pujol, R.; Delachartre, P. (2025). "ハイパー四元数ユニタリシンプレクティック群: 物理学のための統一ツール" . Advances in Applied Clifford Algebras . 35 (40) 40. Springer. doi : 10.1007/s00006-025-01402-w . ↑ Gürlebeck , K.; Habetha, K.; Sprössig , W. (2016). Application of holomorphic functions in two and higher dimensions . Springer. doi : 10.1007 /978-3-0348-0964-1 . ISBN 978-3-0348-0962-7 。↑ Sprössig , W. (2020). "ハイパーコンプレックス解析におけるいくつかの新しい側面".Breaz, Daniel; Rassias, Michael Th. (編). Advancements in Complex Analysis: From Theory to Practice . Springer. pp. 497–518 . arXiv : 2006.16386 . doi : 10.1007/978-3-030-40120-7 . ISBN 978-3-030-40119-1 。↑ イブス（1976年 、391ページ ）↑ アルトマン、サイモン L. (1986). 回転、四元数、および二重群 . クラレンドン・プレス. 第 12章. ISBN 0-19-855372-2 。LCCN 85013615。 ↑ ハミルトン、WR、サー （1866）。「第285条」。 四元数の基礎 。ロングマンズ、グリーン、アンド・カンパニー。310 ページ 。 {{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)↑ Hardy, AS (1881). "四元数の要素". Science . 2 (75). Ginn, Heath, & Co.: 65 または 81 (?). doi : 10.1126/science.os-2.75.564 . ISBN 9781429701860 PMID 17819877 {{cite journal}}: CS1メンテナンス: ISBNエラーを無視しました (リンク)↑ 「 四元 数群」 。Wolframalpha.com 。 ↑ Gibbs, J. Willard; Wilson, Edwin Bidwell (1901). Vector Analysis . Yale University Press. p. 428. 右 テンソルダイアディック 1 2 ハミルトン、WR (1844–1850)。 「四元数または代数学における虚数系の新しい体系について」 。デイビッド・R・ウィルキンス・コレクション。 フィロソフィカル・マガジン 。 トリニティ・カレッジ・ダブリン 。 ↑ 「四元数の可視化」 。Morgan-Kaufmann/Elsevier。2005年。 2007年12月27日の オリジナルからアーカイブ。 2007年1月1日 に取得 。 ↑ " [ タイトルなし ] " 。 Wolframalpha.com 。 — オンライン数式処理 ソフトウェアによる行列式の評価。↑ フェアブラザー、リチャード・ウィリアム。グロース、ユルゲン。トロシュケ、スヴェン・オリバー (2003)。 「四元数の行列表現」 。 線形代数とその応用 。 362 : 251–255 . 土井 : 10.1016/s0024-3795(02)00535-9 。 ↑ハミルトン、WR （ 2009）[初版1899年]。 四元数の基礎 （第2 版）。ケンブリッジ大学出版局。p. 244。ISBN 978-1-108-00171-7 。↑ Perlis, Sam (1971). "カプセル77：四元数" . 代数学の歴史的トピック . 数学教室のための歴史的トピック。第31巻。 バージニア 州レストン： 全米数学教師協議会 。p. 39。ISBN 9780873530583 . OCLC 195566 . ↑ Porteous, Ian R. (1995). "第8章：四元数". Clifford Algebras and the Classical Groups (PDF) . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 50. Cambridge: Cambridge University Press . p. 60. doi : 10.1017/CBO9780511470912.009 . ISBN 9780521551779 . MR 1369094 . OCLC 32348823 . ↑ " [ タイトルなし ] " (PDF) . bridgesmathart.org . archive . 2018年 8月19日 取得 . 1 2 Särkkä, Simo (2007年6月28日). 「四元数に関するノート」 (PDF) . Lce.hut.fi . 2017年7月5日に オリジナル (PDF) からアーカイブ済み。 ↑ Corke, Peter (2017). Robotics, Vision, and Control – Fundamental Algorithms in MATLAB . Springer . ISBN 978-3-319-54413-7 。↑ Park, FC; Ravani, Bahram (1997). "回転の滑らかな不変補間" . ACM Transactions on Graphics . 16 (3): 277– 295. doi : 10.1145/256157.256160 . S2CID 6192031 . ↑ Hanson, Jason (2011). "3次元、4次元、5次元における回転". arXiv : 1103.5263 [ math.MG ]. ↑ Günaşti, Gökmen (2016). 四元数代数、回転および四元数を超えた応用 (学士論文). リンネ大学. ↑ 「三次元点群」 。www.classe.cornell.edu 。 2022年12月9 日 取得 。 ↑ 「四元数と幾何代数」 . geometricalgebra.net . 2008年9月8日の オリジナルからアーカイブ済み。 2008年9月12日 取得 。 ドースト、レオ も参照。フォンテイン、ダニエル。マン、スティーブン (2007)。 コンピュータサイエンスのための幾何代数 。 モーガン・カウフマン 。 ISBN 978-0-12-369465-2 2008年9月8日にオリジナルからアーカイブされました。 2008年9月12 日に取得 。
さらに読む
書籍および出版物 アドラー、スティーブン・L. (1995).四元数量子力学と量子場 . 物理学モノグラフ国際シリーズ. 第 88巻. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-506643-X 。LCCN 94006306。 Altmann, Simon L. (1989). "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine . 62 (5): 291–308 . doi : 10.1080/0025570X.1989.11977459 . ビンツ、エルンスト； ポッズ、ソンヤ（2008）。「1. 四元数の斜体」。ハイゼンベルク群の幾何学 。アメリカ数学会 。ISBN 978-0-8218-4495-3 。チザム、ヒュー 編（1911）。「代数学」 。ブリタニカ百科事典 版）。ケンブリッジ大学出版局。四元数に関する項を参照のこと。 ）クラーク・マクスウェル、ジェームズ （1873）。電気と磁気に関する論文 コンウェイ、ジョン・ホートン ；スミス、デレク・A.（2003）。『四元数と八元数について：その幾何学、算術、対称性 』AKピーターズ。ISBN 1-56881-134-9 。Crowe, Michael J. (1967).ベクトル解析の歴史 ：ベクトルシステムの概念の進化 ドーラン、クリス JL ; ラセンビー、アンソニー N. (2003).物理学者のための幾何代数 . ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-48022-2 。Du Val, Patrick (1964).ホモグラフィー、四元数、および回転 . オックスフォード数学モノグラフ. クラレンドンプレス. LCCN 64056979 . Evans, DJ (1977). "方向空間の表現について". Mol. Phys . 34 (2): 317–325 . Bibcode : 1977MolPh..34..317E . doi : 10.1080/00268977700101751 . 分子動力学の コンピュータシミュレーションでは四元数を用いる。イヴス、ハワード（1976）。数学史入門 （第4 版）。ニューヨーク：ホルト・ラインハート・アンド・ウィンストン。ISBN 0-03-089539-1 。 Finkelstein, David; Jauch, Josef M.; Schiminovich, Samuel; Speiser, David (1962). "Foundations of quaternion quantum mechanics" . J. Math. Phys . 3 (2): 207–220 . Bibcode : 1962JMP.....3..207F . doi : 10.1063/1.1703794 . S2CID 121453456 . Zhang, Fuzhen (1997). "四元数と四元数の行列" .線形代数とその応用 . 251 : 21– 57. doi : 10.1016/0024-3795(95)00543-9 . ゴールドマン、ロン（2010）。『四元数の再考：理論と計算 』モーガン＆クレイプール。ISBN 978-1-60845-420-4 。 ギュルレベック、クラウス；シュプロッシヒ、ヴォルフガング（1997）。物理学者とエンジニアのための四元数とクリフォード計算 。実践における数学的手法。第 1巻。ワイリー。ISBN 0-471-96200-7 。LCCN 98169958。 ハミルトン、ウィリアム・ローワン （1844）。「四元数について、または代数学における虚数の新しい体系について」。フィロソフィカル・ 補遺 （ 169 ）：489–495。doi ：10.1080/14786444408645047。ハミルトン、ウィリアム・ローワン （1853）、「四元数に関する講義 」。王立アイルランドアカデミー。ハミルトン （1866）『四元数の基礎』 ダブリン大学 出版局。故著者の息子、ウィリアム・エドウィン・ハミルトン編集。ハミルトン (1899)四元数の基礎 第 I 巻、(1901) 第 II 巻。チャールズ・ジャスパー・ジョリー編集、 ロングマンズ・グリーン社 刊。ハンソン、アンドリュー・J. (2006).四元数の可視化 . エルゼビア. ISBN 0-12-088400-3 2007年12月27日にオリジナルからアーカイブされました。 2007年1月1 日に取得 。 Hazewinkel, マイケル ;グバレニ、ナディヤ。キリチェンコ、ウラジミール V. (2004)。代数、環、加群 。 Vol. 1.スプリンガー。ISBN 1-4020-2690-0 。Jack, PM (2003). 「物理空間を四元数構造として捉える、I：マクスウェル方程式。簡単な注釈」arXiv : math-ph/0307038 . ジョリー、チャールズ・ジャスパー（1905）。四元数の手引書。 マクミラン 。LCCN 05036137。 Kantor, IL; Solodnikov, AS (1989).ハイパー複素数、代数学への初等的入門 . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96980-2 。 クラフチェンコ、ヴラディスラフ（2003）。応用四元数解析 。ヘルデルマン出版。ISBN 3-88538-228-8 。 クイパーズ、 ジャック（2002）。『四元数と回転シーケンス：軌道、航空宇宙、仮想現実への応用を含む入門書 』プリンストン大学出版局 。ISBN 0-691-10298-8 。Macfarlane, Alexander (1906).ベクトル解析と四元数 (第 4 版). Wiley. LCCN 16000048 . Pujol, Jose (2014). 「回転と四元数の 関係および回転の合成に関するハミルトンのほとんど忘れ去られた初期の研究について」。アメリカ 数学月報。121 ( 6): 515–522。doi : 10.4169 /amer.math.monthly.121.06.515。S2CID 1543951 。 テイト、ピーター・ガスリー （1873）。四元数に関する初等的論文 （第2 版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ヴィンス、ジョン A. (2008).コンピュータグラフィックスのための幾何代数 . スプリンガー. ISBN 978-1-84628-996-5 。 ヴォイト、ジョン（2021）。四元数代数 。大学院数学テキスト。第 288巻。シュプリンガー。doi ： 10.1007 / 978-3-030-56694-4。ISBN 978-3-030-57467-3 。 Ward, JP (1997).四元数とケイリー数：代数と応用 . Kluwer Academic. ISBN 0-7923-4513-4 。
リンクとモノグラフ 「クォータニオン通知」 「四元数」、数学百科事典 EMS Press 、2001年 [1994年] 「行列と四元数」。よくある質問。1.21。 スウィートサー、ダグ。「四元数で物理学を行う」。 ホフマン、ゲルノット。「コンピュータグラフィックスと力学のための四元数」(PDF) 。fho-emden.de 。 2005年4月8日にオリジナル(PDF) からアーカイブされました。 Gsponer, Andre; Hurni, Jean-Pierre (2002). "The Physical Heritage of Sir WR Hamilton". arXiv : math-ph/0201058 . ウィルキンス博士「ハミルトンの四元数に関する研究」 Grossman, David J. 「四元数ジュリアフラクタル」。 ジュリアフラクタル 「四元数の計算と変換」 マシューズ、ジョン・H. 「四元数に関する参考文献」。 2006年9月2日にオリジナルからアーカイブ済み。 「クォータニオンの力」 . GameDev.net . ハンソン、アンドリュー。「四元数の可視化」（出版社ページ）。 2006年11月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。 Karney, Charles FF (2007 年 1 月). "分子モデリングにおける四元数". J. Mol. Graph. Mod . 25 (5): 595–604 . arXiv : physics/0506177 . Bibcode : 2007JMGM...25..595K . doi : 10.1016/ j.jmgm.2006.04.002 . PMID 16777449. S2CID 6690718 . Mebius, Johan E. (2005). "4次元回転に対する四元数表現定理の行列に基づく証明". arXiv : math/0501249 . Mebius, Johan E. (2007). "4次元回転の一般式から3次元回転のオイラー・ロドリゲスの公式を導出する". arXiv : math/0701759 . 「ハミルトン・ウォーク」 。メイヌース国立 大学数学科。 「回転を表すために四元数を使用する」 . OpenGL:チュートリアル . 2007年12月15日にオリジナルからアーカイブされました。 デビッド・エリクソン、カナダ国防研究開発機構 （DRDC）、「DRDC TR 2005-228論文における、ユニタリ四元数表現からの回転行列の完全な導出」。 マルティネス、アルベルト。「負の数学：数学のルールをいかにして肯定的に曲げるか」。テキサス大学歴史学部。 2011年9月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 Stahlke, D. 「古典力学における四元数」(PDF) 。 Morier-Genoud, Sophie; Ovsienko, Valentin (2008). "Well, Papa, can you multiply triples?". arXiv : 0810.5562 [ math.AC ]. 四元数をZ /2 × Z /2 × Z /2ジョイス、ヘレン（2004年11月）。「奇妙な四元数」 。ジョン・バエズ 主催。 Ibanez, Luis. 「パート I」（PDF） 。四元数に関するチュートリアル。itk.org （ コースソフトウェア）。2012年2月4日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み。 2011年12月5日 に取得 。 Ibanez, Luis. 「パート II」（PDF） 。四元数に関するチュートリアル。itk.org （ コースソフトウェア）。 2012年10月5日にオリジナル（PDF） からアーカイブされました。 Ghiloni, R.; Moretti, V.; Perotti, A. (2013). "四元数ヒルベルト空間における連続スライス関数計算". Rev. Math. Phys . 25 (4): 1350006–126 . arXiv : 1207.0666 . Bibcode : 2013RvMaP..2550006G . doi : 10.1142/S0129055X13500062 . S2CID 119651315 . Ghiloni, R.; Moretti, V.; Perotti, A. (2017). "Intertwining Quaternionic Projection Valued Measuresによる正規演算子のスペクトル表現". Rev. Math. Phys . 29 : 1750034. arXiv : 1602.02661 . doi : 10.1142/S0129055X17500349 . S2CID 124709652 . Moritz, Will. "Quaternions" . play.google.com/store/apps ( Android ソフトウェア)。 「クォータニオンを使用したオブジェクトの回転」 . gamedeveloper.com/programming .
外部リンク ウィキメディア・コモンズにある 四元数に関連するメディア ポールソン、ローレンス C. 四元数（Isabelle/HOL における形式的証明の開発、形式的証明アーカイブ）四元数 – 可視化
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0eaf2c87bb1c97099a2140d0bb051a5d4a5604)
(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\,r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\time {\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r,\,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},\ {\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da67f2add51237cc8bde1bc38ba73f4ee4016f7a)
![{\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e3ca1ed22f8ae5680236bb417a05d2e38886ae)
![{\displaystyle [p,q]=2p\times q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbce40febd19f64feb14afbf82fda584729143c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab7ef853cfa04d68fc3cd8add199f463e3eb1c8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f963faf6a3e52166e4f4421c4cbb7f5b111699)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdb3a03c5a1b9df69d9244469a9344df49978ad)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{\vphantom {x^{|}}}\\[3mu]2ab&=0,\\[3mu]2ac&=0,\\[3mu]2ad&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fff161699a746d453fc9110f35c86a9fbcb4164)
ウィキメディア・コモンズにある四元数に関連するメディア