非結合代数

非結合代数[ ^{1 ] (}または分配代数) は、二項乗算演算が結合的であると仮定されない体上の代数です。つまり、代数構造Aが体K上の非結合代数であるのは、それがK上のベクトル空間であり、結合的である場合もそうでない場合もあるK双線形二項乗算演算A × A → Aを備えている場合です。例としては、リー代数、ジョルダン代数、八元数、および外積演算を備えた 3 次元ユークリッド空間などがあります。乗算が結合的であると仮定されていないため、乗算の順序を示すために括弧を使用する必要があります。たとえば、式 ( ab )( cd ) 、 ( a ( bc )) dおよびa ( b ( cd )) はすべて異なる結果になる可能性があります。

この「非結合的」という用法は、結合性が仮定されていないことを意味するが、結合性が許されないことを意味するわけではない。言い換えれば、「非結合的」とは「必ずしも結合的ではない」という意味であり、非可換環における「非可換的」が「必ずしも可換的ではない」という意味であるのと同様である。

代数が単位元eを持ち、その代数内のすべてのxに対してex = x = xeが成り立つ場合、その代数は単位元を持つ、または単位的であると言います。例えば、八元数は単位元を持ちますが、リー代数は決して単位元を持ちません。

Aの非結合代数構造は、Kベクトル空間としてのAのK自己準同型の完全な代数の部分代数である他の結合代数と関連付けることによって研究することができる。そのような代数の 2 つは導出代数と(結合) 包絡代数であり、後者はある意味で「A を含む最小の結合代数」である。

より一般的には、一部の著者は可換環R上の非結合代数の概念を考察している。R加群に R 双線形二項乗算演算が備わっている。 [ 2 ^]構造が結合性以外のすべての環の公理を満たす場合（例えば、任意のR代数）、それは自然に $\mathbb {Z}$ -代数なので、一部の著者は非結合的と呼んでいます $\mathbb {Z}$ -代数として非結合環。

恒等式を満たす代数

2つの二項演算を持ち、その他の制約のない環状構造は、研究するにはあまりにも一般的すぎる広範なクラスである。そのため、最もよく知られている非結合代数は、乗算をいくらか簡略化する恒等式または性質を満たす。これらには、以下のものが含まれる。

一般的な特性

$x$ 、 $y$ 、 $zを体$ $K$ 上の代数 $A$ の任意の要素とする。正の (ゼロでない) 整数のべき乗は、著者によって $x$ $1$ $≝$ $x$ および $x$ $n$ $+1$ $≝$ $x$ $n$ $x$ ^[³^] (右べき乗) または $x$ $n$ $+1$ $≝$ $xx$ $n$ ^[⁴^]^[⁵^] (左べき乗) によって再帰的に定義される。

単位的: $ex$ $=$ $x$ $=$ $xe$ となる要素 $eが存在する。この場合、$ $x$ $0$ $≝$ $e$ と定義できる。
結合法則: $(xy) z = x (yz)$ 。
交換法則： $xy = yx$ 。
反交換関係: ^{[ 6 ]} $xy = - yx$ 。
ヤコビ恒等式: ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} $(xy) z + (yz) x + (zx) y = 0$ または $x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0$ は著者によって異なりますが、これらは反可換代数では同等であり、リー代数はヤコビ恒等式に従う反可換代数です。
ジョルダン恒等式：^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} $(x2y) x = x2 (yx)$ または $(xy) x2 = x (yx2)$ $は$ $著者によって異なるが、これらは可換代数で$ $は$ 同等であり、ジョルダン代数はジョルダン恒等式に従う可換代数で $ある$ $。$
代替案：^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} $(xx) y = x (xy)$ (左側の代替案) および $(yx) x = y (xx)$ (右側の代替案)。
柔軟性: ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} $(xy) x = x (yx)$ 。
n ≥ 2のn乗結合法則: 0 < k < nを満たすすべての整数kに対してx ^n−k x ^k = x ⁿ。
- 3乗の結合法則: $x 2 x = xx 2$ 。
- 4乗の結合法則: $x 3 x = x 2 x 2 = xx 3$ (下の4乗の交換法則と比較してください)。
冪結合法: ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 3 ]}任意の要素によって生成される部分代数は結合法則を満たし、すなわち、すべての $n$ $\geq 2に対して$ $n$ 乗結合法則を満たします。
n乗はn ≥ 2で可換である: 0 < k < nを満たすすべての整数kに対してx ^n−k x ^k = x ^k x ^n−k。
- 3乗の交換法則: $x 2 x = xx 2$ 。
- 4乗の交換法則: $x 3 x = xx 3$ (上記の4乗の結合法則と比較してください)。
べき乗可換性: 任意の要素によって生成される部分代数は可換である、つまり、すべての $n$ $\geq 2$ に対して $n$ 乗可換である。
指数 $n \geq 2の$ 冪零：任意の $n$ 個の要素の積は、任意の結合においてゼロになりますが、一部の $n -1$ 個の要素についてはゼロになりません。x $1 x 2 \dots x n = 0であり、特定の結合に対して$ $y$ $1$ $y$ $2$ $\dots$ $y$ $n$ $-1$ $\neq 0となる$ $n -1$ 個の要素が存在します。
インデックス $n \geq 2の$ ゼロ:べき乗結合法則が成り立ち、 $x n = 0であり、$ $y$ $n$ $-1$ $\neq 0$ となる要素 $y$ が存在する。

プロパティ間の関係

任意の特性の $K$ について：

連想的とは、代替的であることを意味する。
左代替、右代替、柔軟性という3つの特性のうち、いずれか2つが満たされれば、3つ目の特性も満たされる。
- したがって、代替案は柔軟性を意味する。
別の解釈では、ジョルダン恒等式が成り立つ。^{[ 17 ]}^{[ a ]}
可換性は柔軟性を意味する。
反交換的とは柔軟性を意味する。
代替案は、力の結合を意味する。^{[ a ]}
柔軟性とは、3乗の結合法則を意味する。
2乗の結合法則と2乗の交換法則は常に成り立つ。
3乗の結合法則と3乗の交換法則は同値である。
$n$ 乗の結合法則は $n$ 乗の交換法則を意味する。
インデックス 2 がゼロの場合は反可換であることを意味します。
インデックス 2 がゼロであれば、ジョルダン恒等式が成り立つ。
指数3の冪零性はヤコビ恒等式を意味する。
指数 $n$ $の冪零は、 2 \leq$ $N$ $\leq$ $n$ の指数 $N$ の冪零を意味する。
インデックス $n$ の単位元とゼロは互換性がありません。

$K \neq GF(2)$ または $dim(A) \leq 3 の$ 場合:

ジョルダン恒等式と可換性は、冪結合法則を意味する。^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

$char(K) \neq 2 の$ 場合:

正しい選択肢は権力結合を意味する。^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}
- 同様に、左の選択肢は権力連想を意味する。
ユニタルとジョーダンの恒等式は共に柔軟性を意味する。^{[ 25 ]}
ジョーダン同一性と柔軟性が合わさると、権力連想を意味する。^{[ 26 ]}
可換性と反可換性が同時に成り立つと、指数が 2 の冪零性となる。
反交換的とは、指数 2 のゼロを意味する。
単位的性質と反交換的性質は両立しない。

$char(K) \neq 3 の$ 場合:

ユニタル恒等式とヤコビ恒等式は両立しない。

$char(K) \notin {2,3,5$ }の場合:

交換法則と $x 4 = x 2 x 2$ ( 4 乗の結合法則を定義する 2 つの恒等式の 1 つ) が一緒に作用すると、べき乗の結合法則が成り立つ。^{[ 27 ]}

$char(K) = 0 の$ 場合:

3乗の結合法則と $x 4 = x 2 x 2$ ( 4乗の結合法則を定義する 2 つの恒等式の 1 つ) は、共にべき乗の結合法則を意味する。^{[ 28 ]}

$char(K) = 2 の$ 場合:

可換性と反可換性は同値である。

アソシエイター

A上の結合子はK多重線形写像である $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$ によって与えられた

[x, y, z] = (xy) z - x (yz)

。

これは非連想性の度合いを測定する $A$ 、また、 Aが満たす可能性のあるいくつかの恒等式を便利に表現するために使用できます。

$x$ 、 $y$ 、 $zは$ 代数の任意の要素を表すものとする。

結合法則: $[x, y, z] = 0$ 。
選択肢：[ x , x , y ] = 0 (左側の選択肢) および[ y , x , x ] = 0 (右側の選択肢)。
- これは、任意の 2 つの項を並べ替えると符号が変わることを意味します。 $[x, y, z] = - [x, z, y] = -[z, y, x ] = -[y, x, z]$ ; 逆は $char(K) \neq 2$ の場合にのみ成り立ちます。
柔軟性: [ x , y , x ] = 0。
- これは、極値項を並べ替えると符号が変わることを意味します。 $[x, y, z] = -[z, y, x]$ ; 逆は $char(K) \neq 2$ の場合にのみ成り立ちます。
ジョルダン恒等式: ^{[ 29 ]} $[x 2, y, x] = 0$ または $[x, y, x 2] = 0$ (著者によって異なる)。
3乗結合法則: $[x, x, x] = 0$ 。

核とは、他のすべての要素と結びつく要素の集合である。^{[ 30 ]}すなわち、Aの $n$ は、

[n, A, A] = [A, n, A] = [A, A, n] = {0}

。

核はAの結合部分環である。

中心

Aの中心は、 Aのすべての要素と可換かつ関連付けられる要素の集合、つまり、

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

核と共に。C (A)の要素については、2つの集合が $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ は $\{0\}$ 3番目もゼロ集合となるように。

例

ベクトル積によって乗算が与えられるユークリッド空間R³^は、反可換性を持ちながら結合法則を満たさない代数の例である。また、このベクトル積はヤコビ恒等式を満たす。
リー代数とは、反可換性とヤコビ恒等式を満たす代数のことである。
微分可能多様体（KがRまたは複素数Cの場合）または代数多様体（一般的なKの場合）上のベクトル場の代数。
ジョルダン代数は、交換法則とジョルダン恒等式を満たす代数である。^{[ 9 ]}
すべての結合代数は、交換子をリー括弧として用いることでリー代数を生み出す。実際、すべてのリー代数はこのように構成できるか、あるいはこのように構成されたリー代数の部分代数である。
標数が 2 以外の体上の結合代数はすべて、新しい乗法x*y = ( xy + yx )/2 を定義することによってジョルダン代数を生成する。リー代数の場合とは対照的に、すべてのジョルダン代数がこのように構成できるわけではない。構成できるものは特殊ジョルダン代数と呼ばれる。
代替代数とは、代替性質を満たす代数のことです。代替代数の最も重要な例は、八元数（実数上の代数）と、他の体上の八元数の一般化である八元数代数（例えば、二元数）です。すべての結合代数は代替代数です。同型を除いて、有限次元の実数における唯一の代替除法代数（下記参照）は、実数、複素数、四元数、八元数です。
冪結合代数とは、冪結合恒等式を満たす代数のことです。例としては、すべての結合代数、すべての代替代数、GF(2)以外の体上のジョルダン代数（前のセクションを参照）、およびセデニオンが挙げられます。

代数のその他の分類:

次数付き代数。これには、テンソル代数、対称代数、与えられたベクトル空間上の外積代数など、多重線形代数で関心のある代数のほとんどが含まれます。次数付き代数は、フィルター付き代数に一般化できます。
乗法逆元が存在する除算代数。実数体上の有限次元の代替除算代数は分類されている。それらは、実数（次元1）、複素数（次元2）、四元数（次元4）、八元数（次元8）である。四元数と八元数は可換ではない。これらの代数のうち、八元数を除いてすべて結合法則を満たす。
二次代数とは、基礎体におけるいくつかの要素rとsに対してxx = re + sxが成り立ち、e が代数の単位元となる代数である代数です。例としては、すべての有限次元の代替代数や、実数 2 × 2 行列の代数などが挙げられます。同型を除いて、ゼロの約数を持たない唯一の代替二次実代数は、実数、複素数、四元数、八元数です。
ケイリー・ディクソン代数（KはR）は、以下から始まる。
- 複素数C （可換かつ結合的な代数）
- 四元数H（結合代数）
- 八元数O (代替代数)。
- セデニオンS ;
- トリギンタドゥオニオンTとケイリー・ディクソン代数 (冪結合代数)の無限列。
超複素代数はすべて有限次元の単位元を持つR代数であり、ケイリー・ディクソン代数やその他多くの代数を含む。
ポアソン代数は幾何学的量子化において考察される。これらは2つの乗算を持ち、異なる方法で可換代数とリー代数に変化する。
遺伝代数は、数理遺伝学で用いられる非結合代数である。
トリプルシステム

不動産

環論や結合代数でおなじみの性質の中には、非結合代数では必ずしも当てはまらないものがいくつかあります。結合代数とは異なり、（両側）乗法逆元を持つ要素は零因子である場合もあります。例えば、セデニオンの非零要素はすべて両側逆元を持ちますが、その中には零因子でもあるものがあります。

自由非結合代数

体K上の集合X上の自由非結合代数は、括弧を保持したXの要素の有限形式積であるすべての非結合単項式からなる基底を持つ代数として定義される。単項式u、vの積は( u )( v ) である。空積を単項式とみなせば、この代数は単位的である。 ^[³¹^]

クロシュは、自由非結合代数のすべての部分代数が自由であることを証明した。 ^{[ 32 ]}

引用文献

↑シェーファー 1995、第 1 章。
↑シェーファー 1995、p. 1。
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注記

1 2これはアルティンの定理から導かれる。

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[FOOTNOTESchafer1995Chapter_1-1] シェーファー 1995、第 1 章。

[FOOTNOTESchafer19951-2] シェーファー 1995、p. 1。

[FOOTNOTEAlbert1948a553-3] 1 2アルバート 1948a、p. 553。

[FOOTNOTESchafer199530-4] 1 2シェーファー 1995、p. 30。

[FOOTNOTESchafer1995128-5] 1 2シェーファー 1995、p. 128。

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[FOOTNOTEOkubo200512-7] 大久保 2005、p. 12.

[FOOTNOTESchafer199591-8] シェーファー 1995、p. 91。

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[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318-26] ブレムナー、村上、シェスタコフ、2013 年、p. 18.

[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318–19fact_6-27] ブレムナー、村上、シェスタコフ、2013 年、18 ～ 19 ページ、事実 6。

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_4-28] アルバート、1948a、p. 554、補題 4。

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_3-29] アルバート、1948a、p. 554、補題 3。

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[FOOTNOTEMcCrimmon200456-31] McCrimmon 2004、p. 56。

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[FOOTNOTESchafer19954-34] シェーファー 1995、p. 4。

[FOOTNOTEOkubo200524-35] 大久保 2005、p. 24.

[FOOTNOTEAlbert2003113-36] アルバート 2003、p. 113。

[FOOTNOTEMcCrimmon200457-37] McCrimmon 2004、p. 57。

[FOOTNOTEKoecher199957-38] Koecher 1999、p. 57。

[Artin-18] 1 2これはアルティンの定理から導かれる。

1 ] (

]構造が

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[ 6 ]

[ 7 ]

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[ 9 ]

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[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ a ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

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[ 29 ]

[ 30 ]

[

[ 32 ]

[

[

[

[ 36 ]

[

非結合代数

恒等式を満たす代数

一般的な特性

プロパティ間の関係

アソシエイター

中心

例

不動産

自由非結合代数

関連代数

導出代数

包絡代数

関連項目

引用文献

注記

参考文献

関連するトピック

つまり

、

構造

が