位相環

数学において、位相環とは、加算と乗算の両方が写像として連続するような位相空間でもある環である: ^[1] ここで、 は積位相を持ちます。つまり、は加法位相群であり、乗法位相半群であることを意味します。 ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle R\times R\to R}$$${\displaystyle R\times R}$${\displaystyle R}$

位相環は位相体と根本的に関連しており、位相体の完成は体ではない位相環になるなど、位相体を研究する中で自然に生じる。[ ^2]

位相環の単位群は、 を の積に埋め込むことによって得られる位相が備わっているとき、位相群です。しかし、の部分空間として単位群に部分空間位相が備わっている場合、その単位群は位相群ではない可能性があります。これは、 上の反転が部分空間位相に関して連続している必要がないためです。この状況の例は、大域体のアデール環です。その単位群はアデール群と呼ばれ、部分空間位相では位相群ではありません。 上の反転が の部分空間位相で連続している場合、 上のこれら 2 つの位相は同じです。 ${\displaystyle R^{\times}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\times}}$${\displaystyle R\times R}$${\displaystyle \left(x,x^{-1}\right).}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle R^{\times}}$${\displaystyle R^{\times}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\times}}$

環が単位を持つことを要求しない場合は、加法逆の連続性の要件を追加する必要があります。または、同等に、位相環を、乗法も連続する 位相群( の場合)である環として定義する必要があります。${\displaystyle +}$

位相環は数学的解析において、例えばある位相空間上の連続実数値関数の環（位相は点ごとの収束によって与えられる）や、あるノルムベクトル空間上の連続線型作用素の環として現れる。すべてのバナッハ代数は位相環である。有理数、実数、複素数、進数も、標準的な位相を持つ位相環である（位相体も、下記参照）。平面では、分割複素数と双対数が別の位相環を形成する。他の低次元の例については 超複素数を参照。${\displaystyle p}$

可換代数では、次の構成が一般的です。可換環のイデアル が与えられた場合、 上のI進位相は次のように定義されます。の部分集合が開集合であるためには、任意の に対してとなる自然数が存在する必要があります。これは位相環になります。進位相がハウスドルフであるためには、のすべてのべき乗の共通部分が零イデアルである場合に限ります。${\displaystyle I}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x+I^{n}\subseteq U.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (0).}$

整数上の - 進位相は、-進位相 ( )の例です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=p\mathbb {Z} }$

すべての位相環は位相群（加法に関して）であり、したがって自然に一様空間になります。したがって、与えられた位相環が完全であるかどうかを問うことができます。そうでない場合、 は完全になることができます。つまり、 を稠密な部分環として含む本質的に一意の完全な位相環を見つけることができ、 上の与えられた位相はから生じる部分空間位相に等しいことになります。 開始環が距離的である場合、環はにおけるコーシー列の同値類の集合として構築できます。この同値関係により、環はハウスドルフになり、定数列 (コーシーである) を使用して、(一様) 連続射 (後述の CM) が実現され、 がハウスドルフかつ完全であるすべての CM に対して、と なる一意の CM が存在します。 が距離的でない場合(たとえば、すべての実変数有理数値関数の環、つまり、点ごとの収束の位相を備えたすべての関数など)、標準的な構築では最小のコーシー フィルターが使用され、上記と同じ普遍的性質が満たされます ( Bourbaki の「一般位相学」III.6.5 を参照)。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle c:R\to S}$${\displaystyle f:R\to T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle g:S\to T}$${\displaystyle f=g\circ c.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Q} }$

形式的な冪級数の環と- 進整数は、 - 進位相を持つ特定の位相環の完備化として最も自然に定義されます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$

最も重要な例のいくつかは、位相体です。位相体とは、位相環であり、体でもあり、非ゼロ元の反転が連続関数であるようなものです。最も一般的な例は、複素数とそのすべての部分体、および-進体を含む値体です。 ${\displaystyle p}$

• コンパクト群 – コンパクトな位相を持つ位相群
• 完全体 - 計量に対して完全な代数構造フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 局所コンパクト体
• 局所コンパクト量子群 – 量子群に対する比較的新しい C* 代数的アプローチフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 局所コンパクト群 - 基礎となる位相が局所コンパクトかつハウスドルフである位相群。そのためハール測度を定義できる。フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 順序付き位相ベクトル空間
• 強連続半群 – 指数関数の一般化リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 位相アーベル群 - 群がアーベルである位相群フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 位相体 – 加算、乗算、除算を伴う代数構造リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 位相群 – 連続的な群作用を持つ位相空間である群
• トポロジカルモジュール
• 位相半群 – 連続演算を伴う半群フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間