主理想領域

数学において、主イデアル整域（PID）とは、すべてのイデアルが主イデアルである（つまり、単一の要素の倍数で構成される）整域（すなわち、零でない零因子を持たない非零可換環）のことである。ブルバキなどの一部の著者は、 PIDを主環と呼ぶ。

主イデアル領域は、割り算に関して整数のように振る舞う数学的対象です。主イデアル領域の任意の要素は、素因数分解が一意に定まります（したがって、算術の基本定理の類似が成り立ちます）。主イデアル領域の任意の 2 つの要素は、最大公約数を持ちます（ただし、ユークリッドの互除法を使用してそれを見つけることができない場合があります）。x と y が共通約数を持たない主イデアル領域の要素である場合、主イデアル領域のすべての要素は、 ax + byなどの形式で表すことができます。

主イデアル整域は、ネーター整域であり、整閉整域であり、一意分解整域であり、デデキント整域である。すべてのユークリッド整域とすべての体は主イデアル整域である。

一部の著者は、特に体を排除するために、主イデアル領域がクルル次元1を持つこと、または同等に、ゼロでない適切なイデアルを持つことを要求しているが、^{[ 1 ]}他のほとんどの資料では、体は主イデアル領域の自明な特殊ケースとみなされている。

主理想領域は、以下のクラス包含関係の連鎖に現れる。

rngs ⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃最大公約数域⊃一意分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数閉体

例としては以下のようなものがあります。

• ${\displaystyle K}$:唯一の理想が${\displaystyle (0)}$そして${\displaystyle K}$、
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$:整数環、^{[ 2 ]}​
• ${\displaystyle K[x]}$: 1変数多項式の環で、係数は体である。(逆もまた真である。つまり、${\displaystyle A[x]}$PID の場合${\displaystyle A}$（は体である。）さらに、体上の1変数形式冪級数の環はPIDである。なぜなら、すべてのイデアルはの形をしているからである。${\displaystyle (x^{k})}$、
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$:ガウス整数環、^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$（どこ${\displaystyle \omega }$は 1 の原始立方根です):アイゼンシュタイン整数、
• 任意の離散評価環、例えばp進整数環${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$。

重要な結果は構造定理である。R が主イデアル整域であり、M が有限生成R加群である場合、${\displaystyle M}$は巡回加群の直和、すなわち生成元が1つの加群である。巡回加群は と同型である。${\displaystyle R/xR}$一部の人にとって${\displaystyle x\in R}$^{[ 5 ]} (注意して${\displaystyle x}$等しいかもしれない${\displaystyle 0}$その場合${\displaystyle R/xR}$は${\displaystyle R}$)

M が主イデアル整域R上の自由加群である場合、Mのすべての部分加群は再び自由加群となる。^{[ 6 ]}これは、例のように任意の環上の加群には当てはまらない。${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$ モジュールの${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ショー。

主イデアル領域では、任意の2つの要素a、bは最大公約数を持ち、それはイデアル( a、b )の生成元として得られる。

すべてのユークリッド整域は主イデアル整域ですが、その逆は真ではありません。ユークリッド整域ではない主イデアル整域の例としては、環があります。${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-19}}~\!{\bigr )}{\bigr ]}}$[ ^{7 ] [ 8 ]}これはテオドール・モツキンによって証明され、知られている最初のケースであった。^{[ 9 ]}この領域では、 0 ≤ | r | < 4となるqとr は^存在しないので、${\displaystyle {\bigl (}1+{\sqrt {-19~\!}}{\bigr )}=(4)q+r}$、 にもかかわらず${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$そして${\displaystyle 4}$最大公約数が2である。

すべての主イデアル整域は一意分解整域（UFD）である。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}逆は成り立たない。なぜなら、任意のUFD Kに対して、2変数多項式の環K [ X , Y ] はUFDであるが、PIDではないからである。（これを証明するには、によって生成されるイデアルを見てください。）${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle .}$（次数0の多項式を含まないため、完全な環とは言えないが、単一の要素から生成することもできない。）

1. すべての主イデアル領域はネーター的である。
2. すべての単位元環において、極大イデアルは素イデアルである。主イデアル整域においては、ほぼ逆のことが成り立つ。すなわち、零でない素イデアルはすべて極大イデアルである。
3. すべての主イデアル領域は整数的に閉じている。

前述の３つの記述はデデキント領域の定義を与えており、したがってすべての主イデアル領域はデデキント領域である。

Aを整域とすると、以下は同値である。

1. AはPIDである。
2. Aのすべての素イデアルは主イデアルである。^{[ 14 ]}
3. AはUFDであるデデキント領域である。
4. Aの有限生成イデアルはすべて主イデアルであり (つまり、Aはベズー整域である)、A は主イデアルに関する昇鎖条件を満たす。
5. A はデデキント・ハッセ規範を認めます。^{[ 15 ]}

任意のユークリッドノルムはデデキント・ハッセノルムである。したがって、（5）はユークリッド領域がPIDであることを示している。（4）は以下と比較される。

• 整域は、主イデアルの昇連鎖条件を満たす最大公約数整域（すなわち、すべての2つの要素が最大公約数を持つ整域）である場合に限り、UFDである。

整域は、その中の任意の 2 つの要素の最大公約数がその 2 つの要素の線形結合である場合に限り、ベズー整域である。したがって、ベズー整域は最大公約数整域であり、(4) は PID が UFD であることのもう一つの証明を与える。

• ベズーの正体

• ミシェル・ヘイゼヴィンケル、ナディヤ・グバレニ、VVキリチェンコ。代数、環、加群。Kluwer Academic Publishers、2004 年。ISBN 1-4020-2690-0
• ジョン・B・フレイリー、ビクター・J・カッツ。抽象代数の最初のコース。アディソン・ウェスリー出版社。第 5 版、1967 年。ISBN 0-201-53467-3
• ネイサン・ジェイコブソン著。『基礎代数学I』ドーバー出版、2009年。ISBN 978-0-486-47189-1
• パウロ・リベンボイム著『代数的数の古典理論』シュプリンガー、2001年。ISBN 0-387-95070-2

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