吸収要素

数学において、吸収要素（または消滅要素）は、集合に対する二項演算に関して、集合の特殊なタイプの要素です。吸収要素と集合の任意の要素を組み合わせた結果は、吸収要素自身になります。半群理論では、吸収要素は零要素^{[ 1 ] [ 2 ]}と呼ばれます。これは、他の零の概念と混同する恐れがないためです。ただし、注目すべき例外として、加法表記では、零はごく自然にモノイドの中立要素を表すことがあります。この記事では、「零要素」と「吸収要素」は同義です。

正式には、${\displaystyle (S,*)}$セットである${\displaystyle S}$閉じた二項演算${\displaystyle *}$その上にある（マグマとして知られる）。ゼロ元素（または吸収/消滅元素）は元素である。${\displaystyle z}$すべての${\displaystyle s}$で${\displaystyle S}$、${\displaystyle z*s=s*​​z=z}$この概念は左ゼロの概念に洗練され、次のことだけを要求する。${\displaystyle z*s=z}$、そして右ゼロ、${\displaystyle s*z=z}$[ ^{2 ]​}

吸収要素は、半群、特に半環の乗法半群にとって特に興味深い。半環の場合、${\displaystyle 0}$吸収要素の定義は、吸収する必要がないほど緩和される場合もある。${\displaystyle 0}$; さもないと、${\displaystyle 0}$唯一の吸収要素となるだろう。^{[ 3 ]}

• マグマが左ゼロの両方を持っている場合${\displaystyle z}$そして右ゼロ${\displaystyle z'}$するとゼロになるので${\displaystyle z=z*z'=z'}$。
• マグマには、最大で1つのゼロ元素しか含まれない。

• 吸収要素の最もよく知られた例は、初等代数に見られるもので、任意の数にゼロを掛けるとゼロになる。したがって、ゼロは吸収要素である。
• 任意の環の零点もまた吸収要素である。${\displaystyle r}$指輪の${\displaystyle R}$、${\displaystyle r0=r(0+0)=r0+r0}$、 それで${\displaystyle 0=r0}$ゼロは唯一の要素であるため${\displaystyle a}$そのために${\displaystyle rr=a}$いかなる場合でも${\displaystyle r}$リングの中で${\displaystyle R}$この性質は乱数生成器にも当てはまります。なぜなら、乗法的な単位元は必要ないからです。
• IEEE-754規格で定義されている浮動小数点演算には、非数と呼ばれる特別な値が含まれています（${\displaystyle \mathrm {NaN} }$) これはあらゆる操作の吸収要素です。つまり、${\displaystyle x+\mathrm {NaN} =\mathrm {NaN} +x=\mathrm {NaN} }$、${\displaystyle x-\mathrm {NaN} =\mathrm {NaN} -x=\mathrm {NaN} }$など
• 集合上の二項関係の集合${\displaystyle X}$関係の合成と合わせて、ゼロ要素を持つモノイドを形成します。ここで、ゼロ要素は空の関係（空集合）です。
• 閉区間${\displaystyle H=[0,1]}$と${\displaystyle x*y=\min(x,y)}$もゼロを持つモノイドであり、ゼロ要素は${\displaystyle 0}$。
• その他の例：

• 吸収集合– どんな点にも「膨らませる」ことができる集合 
• アナイアレーター（曖昧さ回避）
• 消滅イデアル（環論）– モジュールの部分集合をゼロに写像するイデアル 
• イデアル（環論）
• 冪等性（環論）– 数学において、その2乗に等しい要素–要素  ${\displaystyle x}$リングの${\displaystyle x^{2}=x}$
• 恒等要素– 代数構造の特定要素 
• ヌル半群

• ハウイー、ジョン・M. (1995).半群理論の基礎.クラレンドン・プレス. ISBN 0-19-851194-9。
• キルプ、M.クナウアー、U. Mikhalev、AV (2000)、「モノイド、アクト、カテゴリーとリース積およびグラフへの応用」、De Gruyter Expositions in Mathematics、vol.  29、ウォルター・デ・グルイター、ISBN 3-11-015248-7
• ゴラン、ジョナサン S. (1999).半環とその応用. スプリンガー. ISBN 0-7923-5786-8。

• PlanetMathで元素を吸収する