オーダーリング

抽象代数学において、順序付き環とは、全順序≤を満たす（通常は可換な）環 Rであり、 R内のすべてのa、b、cに対して次が成り立つ。^[1]

• a ≤ bならばa + c ≤ b + c。​
• 0 ≤ aかつ0 ≤ bならば 0 ≤ ab。

順序付き環は算術ではおなじみです。例としては、整数、有理数、実数などがあります。^[2] （有理数と実数は、実際には順序付き体を形成します。）対照的に、複素数は、要素 1 とi の間に固有の順序関係がないため、順序付き環または体を形成しません。

実数と同様に、順序付き環Rの元c は、 0 < cの場合に正、c < 0の場合に負と呼ばれます。 0 は正でも負でもないとみなされます。

順序付き環Rの正の元の集合は、多くの場合R ₊と表記されます。一部の分野で好まれる別の表記法は、非負の元の集合にはR _{+ を}使用し、正の元の集合には R _{++ を使用することです。}

が順序付き環Rの元である場合、の絶対値( と表記) は次のように定義されます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|}$

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}}$

ここで は の加法逆元であり、0 は加法単位元です。 ${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$

離散順序環または離散順序環は、0 と 1 の間に要素が存在しない順序環です。整数は離散順序環ですが、有理数は離散順序環ではありません。

R内のすべてのa、b、cについて:

• a ≤ bかつ 0 ≤ cならば、ac ≤ bc。^[3]この性質は、上記の定義の2番目の性質の代わりに、順序付き環を定義するために使用されることがあります。
• | ab | = | a | | b |. ^[4]
• 自明でない順序付き環は無限である。^[5]
• 次のうち正確に1つが真である：aは正、−aは正、またはa = 0。^[6]この性質は、順序付き環が加法に関してアーベル的、線形順序付き群であるという事実から導かれる。
• 順序付き環では、負の元はどれも正方ではない。^[7]まず、0は正方である。ここで、a ≠ 0 かつa = b ^{2ならば、} b ≠ 0かつa = (− b ) ^{2 で}ある。bまたは − bのいずれかが正であるため、a は非負でなければならない。

• 順序体 – 順序付けられた構造を持つ代数的オブジェクト
• 順序付きグループ – 互換性のある半順序を持つグループリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 順序付き位相ベクトル空間
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間
• 半順序リング – 互換性のある半順序を持つリング
• 半順序空間 – 半順序位相空間
• リース空間 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間。ベクトル格子とも呼ばれる。
• 整列した半環

以下のリストには、IsarMathLib プロジェクトによって正式に検証された定理への参照が含まれています。