ポアソンリング

数学において、ポアソン環は、ヤコビ恒等式と積の法則を満たす、反可換かつ分配的な二項演算が定義されている可換環です。このような演算は、ポアソン環のポアソン括弧として知られています。 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

シンプレクティック幾何学とハミルトン力学の多くの重要な演算と結果は、ポアソン括弧で定式化できるため、ポアソン代数にも適用できます。この観察は、量子力学の古典的な極限を研究する上で重要です。ヒルベルト空間上の演算子の非可換代数は、シンプレクティック多様体上の関数のポアソン代数を特異極限として持ち、非可換代数の特性はポアソン代数の対応する特性に引き継がれます。

ポアソン括弧は、次の恒等式を満たす必要がある。

• ${\displaystyle [f,g]=-[g,f]}$（歪対称）
• ${\displaystyle [f+g,h]=[f,h]+[g,h]}$（分配性）
• ${\displaystyle [fg,h]=f[g,h]+[f,h]g}$（派生）
• ${\displaystyle [f,[g,h]]+[g,[h,f]]+[h,[f,g]]=0}$（ヤコビ恒等式）

リング上の 全員のために。${\displaystyle f,g,h}$

ポアソン代数は、体上の代数でもあるポアソン環である。この場合、追加の要件を加える。

${\displaystyle [sf,g]=s[f,g]}$

すべてのスカラーsに対して。

ポアソン環Aの各gに対して、として定義される演算は微分です。集合がAの微分集合を生成する場合、A は非退化であると言われます。 ${\displaystyle ad_{g}}$${\displaystyle ad_{g}(f)=[f,g]}$${\displaystyle \{ad_{g}|g\in A\}}$

非退化ポアソン環が多様体M上の滑らかな関数の代数に対する可換環として同型である場合、M はシンプレクティック多様体であり、シンプレクティック形式によって定義されるポアソン括弧である必要があります。 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

• 「多様体上の関数の代数がポアソン環である場合、その多様体はシンプレクティックである」。PlanetMath。

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