有限整数

数学において、有限整数は環の元である（ジーハットまたはゼッドハットと発音されることもある）。

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$

ここで逆極限

${\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

はのprofinite 完備化を示し、指数はすべての素数に渡って広がり、 はp進整数の環です。この群は、ガロア理論、エタールホモトピー理論、およびアデールの環との関係で重要です。さらに、これはprofinite 群の扱いやすい基本的な例を提供します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

無限整数は、 として表される剰余の 列の集合として構築できます。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \upsilon}$$${\displaystyle \upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}} ,~\ldots)}$$${\displaystyle m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}}$

各点の加算と乗算により、可換環になります。

整数環は、正準注入によって、原有限整数環に埋め込まれます。 ここで、任意の原有限群と任意の群準同型が与えられた場合、を持つ唯一の連続群準同型が存在するという原有限群の普遍的性質 を満たすため、正準です。 $${\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$${\displaystyle n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H}$${\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H}$${\displaystyle f=g\eta }$

すべての整数は階乗法においてとして 一意に表現されます。 ここで、すべての に対してとなり、 のうちがゼロでないものは有限個だけです。 ${\displaystyle n\geq 0}$$${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }$

その階乗表現は と書くことができます。 ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$

同様に、無限整数は階乗数体系では無限文字列 として一意に表現することができ、各文字列は を満たす整数である。^[1]${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$

桁によって、profinite 整数の mod の値が決まります。より具体的には、を送る 環準同型が存在します。profinite 整数と整数の違いは、「有限個の非ゼロ桁」条件が削除され、その階乗数表現が無限個の非ゼロ桁を持つことができることです。 ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}$${\displaystyle k!}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }$$${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!}$$

原始有限整数の構成を理解する別の方法は、中国剰余定理を使用することです。 繰り返しのない素数の素因数分解を持つ整数の場合、 定理から環同型が存在することを思い出してください。さらに、 が成り立つ必要があるため、任意の全射は 、誘導全射が存在する基礎分解上の写像に過ぎません 。原始有限整数の逆極限定義の下では、 p進整数 の直積を持つ同型が存在することがはるかに明確になるはずです 。 ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$$$${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}$$${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$$

明示的には、同型はによって表され、 は のすべての素数べき因数にわたって、つまり、いくつかの異なる素数に対して の 範囲となります。 ${\displaystyle \phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$${\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}$${\displaystyle p_{1},...,p_{l}}$

無限直積の閉部分集合として見ることができるという事実から、有限整数の集合はコンパクトな ハウスドルフ空間となる誘導位相を持ちます。これは、無限直積がチコノフの定理により その積位相とコンパクトになるという事実に由来します。各有限群上の位相は離散位相として与えられることに注意してください。 $${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

上のトポロジーはメトリックによって定義される。^[1]${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ $${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}}$$

非有限整数の加算は連続なので、はコンパクトなハウスドルフアーベル群であり、したがってそのポントリャーギン双対は離散アーベル群でなければなりません。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

実際、 のポントリャーギン双対は離散位相を備えたアーベル群です（離散ではない から継承された部分集合位相ではないことに注意してください）。ポントリャーギン双対は関数^[2]によって明示的に構築されます。 ここで、は によって誘導されるアデール（以下で紹介する）の指標です。^[3]${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)}$$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$

テンソル積は有限アデールの環であり 、記号は制限積を意味する。つまり、元は有限個の場所を除いて整列している列である。^[4]同型性がある 。${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle '}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$$

位数qの有限体の代数閉包 に対して、ガロア群を明示的に計算することができます。自己同型がフロベニウス自己準同型によって与えられるという事実から、の代数閉包のガロア群は群の逆極限によって与えられるため、そのガロア群は有限体の絶対ガロア群 の計算を与えるprofinite整数の群^[5]と同型です。 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$

この構成は、さまざまな方法で再解釈できます。そのうちの 1 つは、エタール ホモトピー理論からのもので、エタール基本群を 自己同型の原始完備化 として 定義します。 ここで、 はエタール被覆です。すると、 原始整数は、原始ガロア群の以前の計算からの群と同型になります。さらに、 から を送信する可換環の 写像からの多項式写像 から被覆写像が得られるため、代数トーラスのエタール基本群内に原始整数の埋め込みが存在します。代数トーラスを体 上で考えると、エタール ホモトピー理論の基本完全列から、エタール基本群には の作用も含まれます。 ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)}$$${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)}$$${\displaystyle X_{i}\to X}$$${\displaystyle \pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\hat {\mathbb {Z} }}}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})}$$ $${\displaystyle (\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}$$ $${\displaystyle f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}$$${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {k}}/k)}$

類体論は代数的整数論の一分野であり、体のアーベル体拡大を研究する。大域体 が与えられたとき、その絶対ガロア群の アーベル化は 、関連するアデール環およびプロ有限整数群と密接に関係している。特に、アルティン写像^[6]と呼ばれる 同型写像が存在する。この商は、次のように明示的に決定できる。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ $${\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}}$$

所望の関係を与える。 のすべての有限アーベル拡大は有限体拡大から誘導されるので、局所類体理論についても同様の記述が成り立つ。 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$

• p進数
• アデルの指輪
• 超自然的な数字

• Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). 「算術サイトの幾何学」. arXiv : 1502.05580 [math.AG].
• Milne, JS (2013-03-23). 「クラス体理論」(PDF)。2013-06-19 のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2020-06-07に取得。

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+integers
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20 Theory.pdf