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数学において、体Kのブラウアー群とは、 K上の中心単純代数の森田同値類を要素とするアーベル群であり、加法は代数のテンソル積によって定義される。これは代数学者リチャード・ブラウアーによって定義された。
ブラウアー群は、体上の除法環を分類しようとする試みから生まれた。ガロアコホモロジーを用いて定義することもできる。より一般的には、スキームのブラウアー群は、アズマヤ環、あるいは同等に射影束を用いて定義される。
体K上の中心単純代数(CSA) とは、有限次元の結合的K代数Aであって、 Aが単純環であり、Aの中心がKに等しいものを指す。一般に、CSA は除算代数ではないが、除算代数を分類するために使用できることに注意されたい。
例えば、複素数C はそれ自身に対して CSA を形成しますが、Rに対しては CSA を形成しません(中心がC自身であるため、 Rに対する CSA としては大きすぎます)。フロベニウスの定理により、中心がRである有限次元の除算代数(つまり、 R上の次元が有限である) は実数と四元数ですが、実数または四元数上の任意の行列環( M( n , R )またはM( n , H ))は実数上の CSA ですが、除算代数ではありません ( n > 1 の場合)。
アーティン・ウェダーバーン定理（実際にはウェダーバーンの部分）により、 K上の CSA の同値関係が得られ、任意の CSA を何らかの除法代数DのM( n , D )として表現できます。D だけを見ると、つまり、すべての正の整数mとnに対してM( m , D )とM( n , D )を同一視する同値関係を課すと、 K上の CSA のブラウアー同値関係が得られます。ブラウアー群の要素は、K上の CSA のブラウアー同値類です。
中心単純代数AとBが与えられたとき、それらのテンソル積A ⊗ BをK代数と見なすことができます。これは常に中心単純であることがわかっています。これを簡潔に示す方法として、次のような特徴付けを用いることができます。K上の中心単純代数Aは、スカラーの体をKの代数的閉包に拡張すると行列環になるK代数です。この結果はまた、 Kベクトル空間としての中心単純代数Aの次元が常に平方であることを示しています。Aの次数は、その次元の平方根として定義されます。
その結果、K上の CSA の同型類は、テンソル積の下でモノイドを形成し、ブラウアー同値と互換性があり、ブラウアー類はすべて可逆です。つまり、代数Aの逆は、その反対の代数A opによって与えられます( K → Aの像はAの中心にあるため、 Kによる同じ作用を持つ反対の環)。具体的には、CSA Aに対して、 A ⊗ A op = M( n 2 , K )となります。ここで、nはK上のAの次数です。
任意の体のブラウアー群はねじれ群である。より詳細には、K上の中心単純代数Aの周期を、ブラウアー群の要素としてのその位数と定義する。Aの指数を、 Aとブラウアー同値な除法代数の次数と定義する。すると、 Aの周期はAの指数を割り切る（したがって有限である）。[ 1 ]
体Kの Brauer 群のもう 1 つの重要な解釈は、 Kの代数閉包上の射影空間と同型になるK上の射影多様体を分類するというものである。このような多様体はSeveri–Brauer 多様体と呼ばれ、K上のn − 1次元の Severi–Brauer 多様体の同型類とK上のn次中心単純代数との間には1 対 1 の対応関係がある。[ 6 ]
例えば、次元 1 のセヴェリ–ブラウアー多様体は、K上の射影平面における滑らかな円錐曲線に正確に対応します。標数が2 でない体Kの場合、K上のすべての円錐曲線は、 Kのいくつかの非零元aおよびbに対してax 2 + by 2 = z 2の形の 1 つと同型です。対応する中心単純代数は四元数代数です[ 7 ]
円錐曲線がK上の射影直線P 1と同型であるのは、対応する四元数代数が行列代数 M(2, K ) と同型である場合に限る。
正の整数nに対して、K をnが可逆であり、K が原始n乗根ζを含む体とする。Kの非零元aおよびbに対して、関連する巡回代数は、 K上の次数nの中心単純代数であり、次のように定義される。
巡回代数は、最もよく理解されている中心単純代数である。（nがKにおいて可逆でない場合、またはKが原始的なn乗根を持たない場合、同様の構成により、 Kの巡回Z / n拡張χとKの非零元aに関連付けられた巡回代数（χ、a）が得られる。[ 8 ]）
代数的 K 理論におけるMerkurjev –Suslin の定理は、 Brauer 群に関して重要な帰結を持つ。すなわち、正の整数nに対して、Kが原始n乗根を含むようなnが可逆な体とする。このとき、 Kの Brauer 群のnによるキルされた部分群は、 次数nの巡回代数によって生成される。[ 9 ]同様に、 nを割り切る周期の任意の可除代数は、次数 nの巡回代数のテンソル積と Brauer 同値である。素数pの場合でも、周期pの可除代数が次数pの巡回代数のテンソル積と実際に同型であるとは限らないことを示す例がある。[ 10 ]
体上の素数次数を持つすべての可除環が巡回環であるかどうかは、アルバートによって提起された大きな未解決問題である。次数が 2 または 3 の場合はこれが真であるが、素数が 5 以上の場合はこの問題は未解決のままである。既知の結果は、体の特殊なクラスについてのみである。たとえば、 Kが大域体または局所体である場合、アルバート、ブラウアー、ハッセ、ネーターにより、 K上の任意の次数の可除環は巡回環である。[ 11 ]同じ方向の「高次元」の結果はソルトマンによって証明された。Kが局所体Q p上の超越次数1の体である場合、 K上の素数次数l ≠ pのすべての可除環は巡回環である。[ 12 ]
体K上の任意の中心単純代数Aに対して、 Aの周期はAの指数を割り切り、2 つの数は同じ素因数を持つ。[ 13 ]周期指数問題とは、関心のある体Kに対して、周期を用いて指数を制限することである。例えば、A が局所体または大域体上の中心単純代数である場合、Albert–Brauer–Hasse–Noether は、 Aの指数がAの周期に等しいことを示した。[ 11 ]
代数的に閉じた体上の超越次数nを持つ体K上の中心単純代数Aに対して、 ind( A ) は per( A ) n −1を割り切ると予想されている。これはn ≤ 2の場合に真であり、 n = 2の場合はde Jongによる重要な進歩であり、正標数では de Jong–Starr と Lieblichによってより明確化された。 [ 14 ]
ブラウアー群は、クラス体論の現代的な定式化において重要な役割を果たしている。K vが非アルキメデス的局所体である場合、局所クラス体論は、ハッセ不変量である標準的な同型写像inv v : Br K v → Q / Zを与える。[ 2 ]
グローバル体K (数体など) の場合については、グローバル類体論で扱われます。DがK上の中心単純代数で、vがKのプレースである場合、D ⊗ K vはK v上の中心単純代数であり、 vにおけるKの完備化です。これにより、Kの Brauer 群からK vの Brauer 群への準同型が定義されます。 与えられた中心単純代数Dは、有限個のvを除いてすべて分裂するため、ほとんどすべてのそのような準同型によるDの像は0 になります。 Brauer 群 Br K は、 Hasse によって構成された正確な列に収まります。 [ 15 ] [ 16 ]
ここで、SはKのすべての場所の集合であり、右向きの矢印は局所不変量の和です。実数のブラウアー群はZ / 2Zと同一視されます。左向きの矢印の単射性は、アルベルト・ブラウアー・ハッセ・ネーターの定理の内容です。
K上の中心単純代数のすべての局所不変量の合計がゼロであるという事実は、典型的な相互法則です。たとえば、これをQ上の四元数代数( a , b )に適用すると、二次相互法則が得られます。
任意の体Kに対して、ブラウアー群はガロアコホモロジーを用いて次のように表現できる。[ 17 ]
ここで、G m は乗法群を表し、K上の代数群とみなされます。より具体的には、示されているコホモロジー群はH 2 (Gal( K s / K ), K s * )を意味し、ここでK s はKの分離閉包を表します。
ブラウアー群とガロアコホモロジー群の同型性は次のように記述できる。n × n行列の代数の自己同型群は射影線形群PGL( n )である。K上のすべての中心単純代数はKの可分閉包上の行列代数と同型になるため、K上の次数nの中心単純代数の同型類の集合はガロアコホモロジー集合H1 ( K , PGL( n ))と同一視できる。H2 ( K , Gm )における中心単純代数の類は境界準同型によるH1におけるその類の像である。
短い正確なシーケンス1 → G m → GL( n ) → PGL( n ) → 1に関連付けられています。
ブラウアー群は、アウスランダーとゴールドマンによって体から可換環へと一般化された。グロタンディークはさらに進んで、任意のスキームのブラウアー群を定義した。
スキームXの Brauer 群を定義する方法は 2 つあり、X上のAzumaya 代数を用いる方法と、X上の射影束を用いる方法がある。2 番目の定義では、 Zariski 位相ではなく、étale位相において局所的に自明な射影束を用いる。具体的には、射影束が Brauer 群においてゼロとなるのは、それが何らかのベクトル束の射影化である場合に限る。
準コンパクトスキームXのコホモロジーBrauer 群は、エタール コホモロジー群H 2 ( X , G m )のねじれ部分群として定義される。 (正則で整な準コンパクト スキームXの場合、群H 2 ( X , G m )全体がねじれ群である必要はないが、ねじれ群である。[ 18 ] ) Brauer 群は常にコホモロジー Brauer 群の部分群である。Gabber は、Brauer 群が、豊富な線束を持つ任意のスキーム(例えば、可換環上の任意の準射影スキーム)に対して、コホモロジー Brauer 群と等しいことを示した。 [ 19 ]
グループH 2 ( X , G m )全体は、構造群G mを持つX上のゲルブを分類するものと見なすことができます。
体上の滑らかな射影多様体の場合、ブラウアー群は重要な双有理不変量です。例えば、X が複素数上で有理連結である場合、 Xのブラウアー群は特異コホモロジー群H 3 ( X , Z )のねじれ部分群と同型であり、したがって双有理不変量となります。アーティンとマンフォードはこのブラウアー群の説明を用いて、C上の単有理多様体Xが安定的に有理ではない最初の例 (つまり、Xと射影空間の積は有理ではない) を示しました。[ 20 ]
アルティンは、整数上のすべての適切なスキームは有限ブラウアー群を持つと予想した。 [ 21 ]これは、有限体上の滑らかな射影多様体Xの特殊な場合でさえ、まだ知られていない。実際、その場合の曲面のブラウアー群の有限性は、代数サイクルの理論における主要な問題の一つである、X上の因子に関するテイト予想と同等である。[ 22 ]
数体の整数環上で平坦かつ固有であり、切断を持つ次元 2 の正則積分スキームの場合、Brauer 群の有限性は、一般ファイバー (数体上の曲線) のヤコビ多様体に対するTate–Shafarevich 群Шの有限性と同等である。 [ 23 ] Ш の有限性は、楕円曲線の算術、より一般的にはアーベル多様体の算術における中心的な問題である。
X を数体K上の滑らかな射影多様体とする。ハッセの原理によれば、X がKのすべての完備化K v上に有理点を持つならば、X はK有理点を持つことになる。ハッセの原理は、いくつかの特殊な多様体のクラスでは成り立つが、一般には成り立たない。マニンはXのブラウアー群を用いてブラウアー・マニン障害を定義した。これは、 XがKのすべての完備化上に点を持つ場合でも、X がK点を持たないことを示すために多くの場合に適用できる。
