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数学の一分野である環論において、零環[1] [2] [3] [4] [5]あるいは自明環は、1つの元からなる唯一の環（同型を除いて）である。（あまり一般的ではないが、「零環」という用語は、平方ゼロの任意の乱数、すなわち、すべてのxとyに対してxy = 0となる乱数を指すのに使われる。この記事では、1元環について言及している。）
環のカテゴリでは、ゼロ環は終端オブジェクトであり、整数環Zは始端オブジェクトです。
意味
零環は、{0} または単に0 と表記され、 0 + 0 = 0 および 0 · 0 = 0 となるように定義された 演算+ および · を持つ1 要素集合{0}で構成されます。
プロパティ
- 零環は、加法単位元0 と乗法単位元1 が一致する唯一の環である。[1] [6] （証明：環Rで1 = 0ならば、 R内のすべてのrに対して、 r = 1 r = 0 r = 0が成り立つ。最後の等式の証明はここにある。）
- ゼロ環は可換である。
- 零環の要素 0 は単位であり、それ自身の乗法逆元として機能します。
- 零環の単位群は自明群{0}である。
- 零環の元 0 は零因子ではありません。
- 零環の唯一のイデアルは零イデアル {0} であり、これは単位イデアルでもあり、環全体に等しい。このイデアルは最大でも素数でもない。
- 零環は一般に体から除外されますが、自明体 と呼ばれることもあります。零環を除外することは、零イデアルが最大ではないという事実と一致します。(数学者が「1 つの元を持つ体」について話すとき、彼らは存在しないオブジェクトについて言及しており、彼らの意図は、このオブジェクトが存在する場合にそのオブジェクト上のスキームのカテゴリとなるカテゴリを定義することです。)
- 零環は一般に整域から除外される。[7]零環がそもそも域 であるかどうかは慣習の問題であるが、それを域ではないと考えることには2つの利点がある。第一に、域とは0が唯一の零因子である環であるという定義と一致する（特に、0は零因子である必要があるが、零環ではそれが満たされない）。第二に、このように、正の整数nに対して、環Z / n Zが域であるための必要十分条件は、nが素数であり、1が素数でない場合である。
- 各環Aに対して、 Aから零環への環準同型は一意に存在する。したがって零環は環のカテゴリにおける終端オブジェクトである。[8]
- Aが非零環である場合、零環からAへの環準同型は存在しない。特に、零環はいかなる非零環の部分環でもない。 [8]
- ゼロ環は特性1 の唯一の環です。
- ゼロ環の唯一の加群はゼロ加群です。これは任意の基数א に対して階数 א が自由です。
- 零環は局所環ではない。しかし、半局所環である。
- 零環はアルティン環であり、したがってネーター環である。
- ゼロ環のスペクトルは空のスキームである。[8]
- ゼロ環のクルル次元は−∞ です。
- ゼロ環は半単純ですが単純ではありません。
- 零環はいかなる体の上でも中心単純代数ではない。
- 零環の全商環はそれ自身である。
建設
- 任意の環AとAのイデアルIに対して、商A / Iが零環となるのは、I = Aの場合、つまりI が単位イデアルの場合に限ります。
- 任意の可換環AとA内の乗法集合 Sに対して、局所化S −1 Aが零環となるのは、S が0 を含む場合のみである。
- A が任意の環である場合、 A上の0 × 0行列の環 M 0 ( A ) は零環です。
- 空の環の集合の直積はゼロ環です。
- 自明群の自己準同型環は零環である。
- 空の位相空間上の連続実数値関数の環は零環である。
引用
- ^ アルティン 1991、347 ページ
- ^ アティヤとマクドナルド、1969 年、p. 1
- ^ ボッシュ 2012、10 ページ
- ^ ブルバキ、101ページ
- ^ ラム 2003、p. 1
- ^ ラング 2002、83 ページ
- ^ ラム 2003、3 ページ
- ^ abc ハーツホーン 1977、p. 80
参考文献
- アルティン、マイケル（1991）、代数学、プレンティス・ホール
- アティヤ、MF、マクドナルド、IG（1969）、可換代数入門、アディソン・ウェズリー
- ボッシュ、ジークフリート（2012）、代数幾何学と可換代数、シュプリンガー
- ブルバキ、N.、代数学 I、第 1 章から第 3 章
- ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、シュプリンガー
- ラム、TY（2003）、古典環理論の演習、シュプリンガー
- ラング、セルジュ（2002）、代数（第3版）、シュプリンガー