モノイド（圏論）

数学の一分野である圏論において、モノイド圏（C、⊗、I）内のモノイド（またはモノイド対象、内部モノイド、代数）（M 、 μ 、 η ）は、2つの射を伴う対象Mである。

• μ : M ⊗ M → M を乗算と呼び、
• η : I → M はユニットと呼ばれ、

五角形図

ユニター図

可換。上記の表記法において、 1 は​​ Mの恒等射、Iは単位元、α、λ、ρはそれぞれモノイドカテゴリCの結合性、左恒等写像、右恒等写像です。

双対的に、モノイドカテゴリCのコモノイドは、双対カテゴリC ^opのモノイドです。

モノイドカテゴリC が対称性 γを持つとします。CのモノイドM は、μ ∘ γ = μのときに可換です。

• 集合のカテゴリであるSet （直積によって誘導されるモノイド構造を持つ）内のモノイドオブジェクトは、通常の意味でのモノイドです。
• 位相空間のカテゴリTop (積位相によって誘導されるモノイド構造を持つ)内のモノイド オブジェクトは、位相モノイドです。
• モノイドのカテゴリ（モノイドの直積を持つ）内のモノイドオブジェクトは、単に可換モノイドです。これは、エックマン-ヒルトンの議論から簡単にわかります。
• 完全な結合半格子 Supのカテゴリ内のモノイド オブジェクト(直積によって誘導されるモノイド構造を持つ) は、単位量体です。
• アーベル群のカテゴリである( Ab , ⊗ _Z ,  Z )内のモノイドオブジェクトは環です。
• 可換環 Rに対して、
  • R上の加群のカテゴリであるR -Mod , ⊗ R _, R はR -代数です。
  • 次数付き加群のカテゴリは次数付きR代数です。
  • R加群の鎖複体のカテゴリは微分次数代数である。
• Kベクトル空間のカテゴリ(テンソル積を持つ) であるK - Vect内のモノイド オブジェクトは単位結合K -代数であり、コモノイド オブジェクトはK -余代数です。
• 任意のカテゴリCに対して、そのエンドファンクタのカテゴリ[ C , C ]は、合成と恒等関数I _Cによって誘導されるモノイド構造を持ちます。 [ C , C ]内のモノイドオブジェクトは、C上のモナドです。
• 終端オブジェクトと有限積を持つ任意のカテゴリでは、対角射Δ _X  : X → X × Xを介してすべてのオブジェクトがコモノイドオブジェクトになります。同様に、始端オブジェクトと有限余積を持つカテゴリでは、id _X ⊔ id _X  : X ⊔ X → Xを介してすべてのオブジェクトがモノイドオブジェクトになります。

モノイド圏Cにおける2つのモノイド( M , μ , η )と( M ′, μ ′, η ′)が与えられたとき 、射f  : M → M ′ はモノイドの射であり、

• f ∘ μ = μ ′ ∘ ( f ⊗ f )、
• f∘η = η ′です。

つまり、次の図は

、

通勤。

Cにおけるモノイドのカテゴリとそのモノイド射はMon _Cと表記される。^[1]

• Act-S、集合に作用するモノイドのカテゴリ

• キルプ、マティ。クナウアー、ウルリッヒ。ミハロフ、アレクサンダー V. (2000)。モノイド、アクト、カテゴリー。ウォルター・デ・グルイテル。ISBN 3-11-015248-7。