多重線形形式

もし${\displaystyle k=2}$、${\displaystyle f:V\times V\to K}$これは双線形形式と呼ばれます。よく知られた重要な（対称な）双線形形式の例としては、ベクトルの標準的な内積（ドット積）が挙げられます。

多重線形形式の重要なクラスは交代多重線形形式であり、次の追加特性を持つ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{1},\ldots ,x_{k}),}$

どこ${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {N} _{\leq k}\to \mathbb {N} _{\leq k}} は置換であり、${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$は符号を表します（偶数の場合は+1、奇数の場合は-1）。結果として、交代多重線形式は任意の2つの引数の交換に関して反対称です（つまり、異なる場合）。${\displaystyle p,q}$、${\displaystyle \sigma (p)=q,\sigma (q)=p}$そして${\displaystyle \sigma (i)=i,1\leq i\leq k,i\neq p,q}$):

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{k})=-f(x_{1},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{k}).}$

場の特性に関する追加仮説${\displaystyle K}$2ではないので、設定します${\displaystyle x_{p}=x_{q}=x}$必然的に次のことが導かれる。${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,x_{k})=0}$つまり、引数のうち2つが等しい場合、その形式の値は0になります。ただし、一部の著者^{[ 4 ]}は、この最後の条件を交代形式の定義特性として使用していることに注意してください。この定義は、このセクションの冒頭で述べた特性を暗示していますが、上記のように、逆の暗示は、次の場合にのみ成り立ちます。${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$。

交互多線${\displaystyle k}$-フォーム${\displaystyle V}$以上${\displaystyle \mathbb {R} }$次数が の多重共ベクトルと呼ばれる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$または${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$-covector、およびそのような交代形式のベクトル空間、部分空間${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$は一般的に表記される${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$または、同型なk番目の外積の表記法を用いると、${\displaystyle V^{*}}$（双対空間${\displaystyle V}$)${\textstyle \bigwedge ^{k}V^{*}}$[ ^{5 ]}線形汎関数（多重線形 1 形式上の^） は${\displaystyle \mathbb {R} }$）は自明に交替するので、${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(V)={\mathcal {T}}^{1}(V)=V^{*}}$一方、慣例として、0形式はスカラーとして定義される。${\displaystyle {\mathcal {A}}^{0}(V)={\mathcal {T}}^{0}(V)=\mathbb {R} }$。

決定要因​${\displaystyle n\times n}$行列は、${\displaystyle n}$列ベクトルの引数関数は、交代多重線形形式の重要な例です。

開部分集合上の微分形式を定義する${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$まず、接空間の概念が必要です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$で${\displaystyle p}$通常は、${\displaystyle T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$または${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ベクトル空間${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$は、最も便利な定義では要素の集合として定義できる。${\displaystyle v_{p}}$（${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$、 と${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$固定）ベクトル加算とスカラー乗算は以下のように定義される${\displaystyle v_{p}+w_{p}:=(v+w)_{p}}$そして${\displaystyle a\cdot (v_{p}):=(a\cdot v)_{p}}$それぞれ。さらに、もし${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$は標準の基礎です${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、 それから${\displaystyle ((e_{1})_{p},\ldots ,(e_{n})_{p})}$は、${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$言い換えれば、各接空間${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$単にコピーとみなすことができる${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（接線ベクトルの集合）${\displaystyle p}$接空間の集合（非交和）${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$まったく${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$は接束として知られています${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして通常は次のように表記されます${\textstyle T\mathbb {R} ^{n}:=\bigsqcup _{p\in \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} _{p}^{n}}$ここで与えられた定義は接空間の単純な記述を提供するが、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$滑らかな多様体の接空間を定義するのに適した、より洗練された他の構成法も存在する（詳細は接空間に関する記事を参照）。

差分​${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$-フォーム${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$関数として定義される${\displaystyle \omega }$すべてに割り当てる${\displaystyle p\in U}$1${\displaystyle k}$接空間内の共ベクトル${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$で${\displaystyle p}$通常は、${\displaystyle \omega _{p}:=\omega (p)\in {\mathcal {A}}^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})}$要するに、差分${\displaystyle k}$-形式は${\displaystyle k}$-共ベクトル場。${\displaystyle k}$-フォーム${\displaystyle U}$通常は次のように表記されます${\displaystyle \Omega ^{k}(U)}$;したがって、もし${\displaystyle \omega }$差分${\displaystyle k}$-形式、私たちは書きます${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}$慣例として、${\displaystyle U}$これは微分0形式です。${\displaystyle f\in C^{0}(U)=\Omega ^{0}(U)}$。

まず、0形式から微分1形式を構築し、それらの基本的な性質をいくつか導き出します。以下の議論を簡略化するために、滑らかな(${\displaystyle C^{\infty }}$) 関数。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$滑らかな関数とする。1形式を定義する。${\displaystyle df}$の上${\displaystyle U}$のために${\displaystyle p\in U}$そして${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$による${\displaystyle (df)_{p}(v_{p}):=Df|_{p}(v)}$、 どこ${\displaystyle Df|_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$は、​${\displaystyle f}$で${\displaystyle p}$（全微分は線形変換であることを思い出してください。）特に興味深いのは、射影マップ（座標関数とも呼ばれる）です。${\displaystyle \pi ^{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle x\mapsto x^{i}}$、 どこ${\displaystyle x^{i}}$は、 i番目の標準座標です。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$1形式${\displaystyle d\pi ^{i}}$これらは基本1形式として知られており、慣習的に以下のように表記されます。${\displaystyle dx^{i}}$標準座標が${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$は${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$定義の適用${\displaystyle df}$収量${\displaystyle dx_{p}^{i}(v_{p})=v^{i}}$、 となることによって${\displaystyle dx_{p}^{i}((e_{j})_{p})=\delta _{j}^{i}}$、 どこ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$はクロネッカーのデルタである。^{[ 7 ]} したがって、標準基底の双対として、${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$、${\displaystyle (dx_{p}^{1},\ldots ,dx_{p}^{n})}$基礎を形成する${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})=(\mathbb {R} _{p}^{n})^{*}}$結果として、${\displaystyle \omega }$は 1 形式です${\displaystyle U}$、 それから${\displaystyle \omega }$次のように書くことができます${\textstyle \sum a_{i}\,dx^{i}}$スムーズな機能のために${\displaystyle a_{i}:U\to \mathbb {R} }$さらに、以下の式を導出できます。${\displaystyle df}$これは、全微分に関する古典的な表現と一致する。

${\displaystyle df_{p}(v_{p})=Df|_{p}(v)=\sum _{i=1}^{n}(D_{i}f|_{p})\,v^{i}=\sum _{i=1}^{n}(D_{i}f|_{p})\,dx_{p}^{i}(v_{p})=\sum _{i=1}^{n}(D_{i}f\,dx^{i})_{p}(v_{p}),}$

形式的に以下を導きます。

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}D_{i}f\;dx^{i}={\partial f \over \partial x^{1}}\,dx^{1}+\cdots +{\partial f \over \partial x^{n}}\,dx^{n}.}$

[表記に関する注釈：この記事では、テンソル解析と微分幾何学の慣例に従い、多重ベクトルと多重共ベクトルはそれぞれ下添え字と上添え字で表記します。微分形式は多重共ベクトル場であるため、上添え字を用いてそれらをインデックス付けします。 ^{[ 3 ]}多重ベクトルと多重共ベクトルの成分 には逆の規則が適用され、それぞれ上添え字と下添え字で表記されます。例えば、ベクトルの標準座標は次のように表されます。${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$として${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$、 となることによって${\textstyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}}$標準基準の観点から${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$。さらに、式の分母に現れる上付き文字（例：${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$この表記法では、上付き添え字は下付き添え字として扱われます。このように添え字を適用・解釈すると、式の各項における上付き添え字の数から下付き添え字の数を引いた数が、和の範囲内でも等号をまたいでも同じになります。これは覚えやすい記憶術として役立ち、手計算中に発生した誤りを特定するのに役立ちます。関連する表記法については、「アインシュタイン表記法」を参照してください。

外装製品（${\displaystyle \wedge }$）および外部微分（${\displaystyle d}$) は微分形式に対する 2 つの基本的な演算です。${\displaystyle k}$-形式と${\displaystyle \ell }$-形式は${\displaystyle (k+\ell )}$-形式、一方、の外部微分は${\displaystyle k}$-形式は${\displaystyle (k+1)}$つまり、どちらの操作も、より低い次数からより高い次数の微分形式を生成する。

外装製品${\displaystyle \wedge$ 微分形式の:\Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{\ell }(U)\to \Omega ^{k+\ell }(U)} は、一般に多重共ベクトルの外積の特殊な場合です (上記を参照)。一般に外積の場合と同様に、微分形式の外積は双線形、結合的、かつ次数付き交代的です。

より具体的に言うと、${\displaystyle \omega =a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$そして${\displaystyle \eta =a_{j_{1}\ldots j_{\ell }}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}}$、 それから

${\displaystyle \omega \wedge \eta =a_{i_{1}\ldots i_{k}}a_{j_{1}\ldots j_{\ell }}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}.}$

さらに、任意のインデックスのセットに対して${\displaystyle \{\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{m}\}}$、

${\displaystyle dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}=-dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}.}$

もし${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$、${\displaystyle J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}}$、 そして${\displaystyle I\cap J=\varnothing }$すると、${\displaystyle \omega \wedge \eta }$このような交換の（有限の）シーケンスによって昇順に並べることができる。${\displaystyle dx^{\alpha }\wedge dx^{\alpha }=0}$、${\displaystyle I\cap J\neq \varnothing }$意味するところは${\displaystyle \omega \wedge \eta =0}$最後に、双線形性の結果として、${\displaystyle \omega }$そして${\displaystyle \eta }$これらは複数の項の和であり、それらの外積はそれぞれの項に関して分配法則を満たす。

基本1形態の外装製品のコレクション${\displaystyle \{dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$微分k形式の空間の基底を構成する。したがって、任意の${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}$次のように書くことができます

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}},\qquad (*)}$

どこ${\displaystyle a_{i_{1}\ldots i_{k}}:U\to \mathbb {R} }$は滑らかな関数です。各インデックスのセットで${\displaystyle \{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$昇順に並べられた(*)は、標準的な表示方法であると言われています。${\displaystyle \omega }$。

前のセクションでは、1形式${\displaystyle df}$0形式（連続関数）の外微分をとることによって定義される${\displaystyle f}$ここで、外微分演算子を定義することでこれを拡張します。${\displaystyle d:\Omega ^{k}(U)\to \Omega ^{k+1}(U)}$のために${\displaystyle k\geq 1}$標準的なプレゼンテーションの場合${\displaystyle k}$-形状${\displaystyle \omega }$(*)で与えられる${\displaystyle (k+1)}$-形状${\displaystyle d\omega }$定義される

${\displaystyle d\omega$ :=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}da_{i_{1}\ldots i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}

特性${\displaystyle d}$すべての滑らかな形状に当てはまるのは、任意の 2 番目の外微分が${\displaystyle \omega }$全く同じように消える：${\displaystyle d^{2}\omega =d(d\omega )\equiv 0}$これは、定義から直接確立できる。${\displaystyle d}$混合2階偏導関数の等式${\displaystyle C^{2}}$関数（詳細は、閉形式と完全形式に関する記事を参照）。

パラメータ化された領域上で微分形式を積分するには、まず微分形式のプルバックという概念を導入する必要があります。大まかに言うと、微分形式を積分する際にプルバックを適用すると、座標変換を正しく考慮した形で変換されます。

微分可能な関数が与えられた場合${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$そして${\displaystyle k}$-形状${\displaystyle \eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{m})}$私たちは、${\displaystyle f^{*}\eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$プルバック​​${\displaystyle \eta }$による${\displaystyle f}$そしてそれを次のように定義する${\displaystyle k}$-形式

${\displaystyle (f^{*}\eta )_{p}(v_{1p},\ldots ,v_{kp}):=\eta _{f(p)}(f_{*}(v_{1p}),\ldots ,f_{*}(v_{kp})),}$

のために${\displaystyle v_{1p},\ldots ,v_{kp}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$、 どこ${\displaystyle f_{*}:\mathbb {R} _{p}^{n}\to \mathbb {R} _{f(p)}^{m}}$地図は${\displaystyle v_{p}\mapsto (Df|_{p}(v))_{f(p)}}$。

もし${\displaystyle \omega =f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$は${\displaystyle n}$-フォーム${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（つまり、${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n})}$) 単位 上での積分を定義する${\displaystyle n}$-セルを反復リーマン積分として${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \int _{[0,1]^{n}}\omega =\int _{[0,1]^{n}}f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}:=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

次に、連続関数によってパラメータ化された積分領域を考察する。${\displaystyle c:[0,1]^{n}\to A\subset \mathbb {R} ^{m}}$（特異な）n-キューブとして知られる。 の積分を定義するために${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(A)}$以上${\displaystyle c}$私たちは「引き下がる」${\displaystyle A}$単位nセルへ：

${\displaystyle \int _{c}\omega$ :=\int _{[0,1]^{n}}c^{*}\omega .}

より一般的な領域で積分するために、${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$-鎖${\textstyle C=\sum _{i}n_{i}c_{i}}$形式的な合計として${\displaystyle n}$-キューブとセット

${\displaystyle \int _{C}\omega$ :=\sum _{i}n_{i}\int _{c_{i}}\omega .}

適切な定義により${\displaystyle (n-1)}$-チェーン${\displaystyle \partial C}$境界として知られる${\displaystyle C}$[ ^{8 ]}部分集合内の鎖に対する有名なストークスの定理を述べることができます^。${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$:

もし${\displaystyle \omega }$滑らかです${\displaystyle (n-1)}$開集合上の形式${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{m}}$そして${\displaystyle C}$滑らかです${\displaystyle n}$-チェーン${\displaystyle A}$、 それから${\displaystyle \int _{C}d\omega =\int _{\partial C}\omega }$。

より高度な機械（例えば、芽と派生）を使用すると、接空間${\displaystyle T_{p}M}$任意の滑らかな多様体の${\displaystyle M}$（必ずしも埋め込まれているわけではない）${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$) を定義できる。同様に、微分形式${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$一般の滑らかな多様体上の写像は${\displaystyle \omega :p\in M\mapsto \omega _{p}\in {\mathcal {A}}^{k}(T_{p}M)}$ストークスの定理は、境界を持つ任意の滑らかな多様体や、ある種の「粗い」領域にもさらに一般化することができます（詳細はストークスの定理に関する記事を参照してください）。