Tensor product of algebras over a field; itself another algebra
数学 では 、 可換環 R 上の 2 つの 代数の テンソル積も R 代数です 。これは 代数のテンソル積 を与えます。環が 体である場合、このような積の最も一般的な用途は、 代数表現の積 を記述することです 。
意味 Rを 可換環とし、 A と B を R 代数 とする 。A と B はともに R 加群 とみなせるので 、それらの テンソル積は
A
⊗
R
B
{\displaystyle A\otimes _{R}B}
はR 加群でもある。テンソル積は、 a⊗b の 形 の元に対する積を[1] で 定義することで環の構造を与えることができる。
(
a
1
⊗
b
1
)
(
a
2
⊗
b
2
)
=
a
1
a
2
⊗
b
1
b
2
{\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}
そして線型性によって A ⊗ R B のすべてに拡張されます。この環は R 代数であり、結合的で単位元が 1 A ⊗ 1 B で与えられる。 [3] ここで 1 A と 1 B はA と B の単位元です 。A と B が可換であれば、テンソル積も可換です。
テンソル積は、 R 代数 の カテゴリを 対称モノイドカテゴリ に変換します。 [ 要出典 ]
その他の特性 A と Bから A⊗R B への 自然な準同型があり 、 [4] で与えられる 。
a
↦
a
⊗
1
B
{\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B}}
b
↦
1
A
⊗
b
{\displaystyle b\mapsto 1_{A}\otimes b}
これらの写像により、テンソル積は 可換 R 代数 のカテゴリで 余積に なります。テンソル積は、すべての R 代数のカテゴリで余 積になるわけではありません 。そこでは、余積は 代数のより一般的な自由積 によって与えられます。ただし、非可換代数のテンソル積は、 余積と同様の
普遍的性質によって記述できます。
Hom
(
A
⊗
B
,
X
)
≅
{
(
f
,
g
)
∈
Hom
(
A
,
X
)
×
Hom
(
B
,
X
)
∣
∀
a
∈
A
,
b
∈
B
:
[
f
(
a
)
,
g
(
b
)
]
=
0
}
,
{\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}
ここで、[-, -]は 交換子 を表します。 自然な同型性は 、左側の射を 右側の射のペア（ および）と同一 視することで得られます 。
ϕ
:
A
⊗
B
→
X
{\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}
(
f
,
g
)
{\displaystyle (f,g)}
f
(
a
)
:=
ϕ
(
a
⊗
1
)
{\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}
g
(
b
)
:=
ϕ
(
1
⊗
b
)
{\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}
アプリケーション 可換環のテンソル積は 代数幾何学 でよく使われる。 X と Zから Y への 射を持つ アフィンスキーム X 、 Y 、 Z の場合、つまり、いくつかの可換環 A 、 R 、 Bに対して X = Spec( A )、 Y = Spec( R )、 Z = Spec( B ) の場合 、 ファイバー積スキーム は代数のテンソル積に対応するアフィンスキームである。
X
×
Y
Z
=
Spec
(
A
⊗
R
B
)
.
{\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{R}B).}
より一般的には、スキームのファイバー積は、この形式のアフィン ファイバー積を接着することによって定義されます。
例 テンソル積は、スキーム 内の 2 つのサブスキームの 交差 を取る手段として使用できます 。 -代数 、を考えると 、それらのテンソル積は となり、これは C 上のアフィン平面における 代数曲線 f = 0 と g = 0の交差を記述します 。
C
[
x
,
y
]
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}
C
[
x
,
y
]
/
f
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}
C
[
x
,
y
]
/
g
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}
C
[
x
,
y
]
/
(
f
)
⊗
C
[
x
,
y
]
C
[
x
,
y
]
/
(
g
)
≅
C
[
x
,
y
]
/
(
f
,
g
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}
より一般的には、 が可換環であり が イデアルである場合、 となり、 に 送る一意の同型性を持ちます 。
A
{\displaystyle A}
I
,
J
⊆
A
{\displaystyle I,J\subseteq A}
A
I
⊗
A
A
J
≅
A
I
+
J
{\displaystyle {\frac {A}{I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}
(
a
+
I
)
⊗
(
b
+
J
)
{\displaystyle (a+I)\otimes (b+J)}
(
a
b
+
I
+
J
)
{\displaystyle (ab+I+J)}
テンソル積は係数を変更する手段として使用できます。たとえば、 およびです 。
Z
[
x
,
y
]
/
(
x
3
+
5
x
2
+
x
−
1
)
⊗
Z
Z
/
5
≅
Z
/
5
[
x
,
y
]
/
(
x
3
+
x
−
1
)
{\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}
Z
[
x
,
y
]
/
(
f
)
⊗
Z
C
≅
C
[
x
,
y
]
/
(
f
)
{\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}
テンソル積は、体上のアフィン スキームの積 を取るためにも使用できます 。たとえば、 f と g がゼロでない 場合、 は、のアフィン面に対応する 代数と 同型 です。
C
[
x
1
,
x
2
]
/
(
f
(
x
)
)
⊗
C
C
[
y
1
,
y
2
]
/
(
g
(
y
)
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))}
C
[
x
1
,
x
2
,
y
1
,
y
2
]
/
(
f
(
x
)
,
g
(
y
)
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}
A
C
4
{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}}
基底環が 次数可換環である - 代数 および が与えられた場合、 同次 、、、および に対して を 定義することにより 、 テンソル積は 次数可換環になります 。
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
⊗
R
B
{\displaystyle A\otimes _{R}B}
(
a
⊗
b
)
(
a
′
⊗
b
′
)
=
(
−
1
)
|
b
|
|
a
′
|
a
a
′
⊗
b
b
′
{\displaystyle (a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}aa'\otimes bb'}
a
{\displaystyle a}
a
′
{\displaystyle a'}
b
{\displaystyle b}
b
′
{\displaystyle b'}
参照
注記
^ カッセル（1995）、32ページ。 ^ カッセル（1995）、32ページ。 ^ カッセル（1995）、32ページ。
参考文献 カッセル、クリスチャン（1995）、 量子群 、数学の大学院テキスト、第155巻、シュプリンガー、 ISBN 978-0-387-94370-1 。 ラング、セルジュ（2002）[1993年に初版発行]。 代数学 。大学院数学テキスト。第21巻。シュプリンガー 。ISBN 0-387-95385-X 。 
![{\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41ec985950c28907175a6ed4509acf9d8441bab)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef1bb44559f9eb88d544757f8f49058b6ef3374)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49db608a962370acd574119081d254971055766)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd663bc5558ac47d38133146155322d11574aa51)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97846c36dacf193ba03073a393a14c33b41d417)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34549691ae9c0baa843a32b369abd8c4490189d)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a28a99538d462372760b9adc944af0018ef2df0)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d87d8ea3c128cf7395d5c4379225bdc44ea20da)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b44e54f2d54cbc7c3ecd0562f84915bac37c55d)
