代数的整数

代数的整数論 では、代数的整数は整数に対して積分である複素数です。つまり、代数的整数は、係数が整数である単項多項式（主係数が1 である多項式）の複素根です。すべての代数的整数の集合Aは、加算、減算、乗算に対して閉じているため、複素数の 可換部分環です。

O _Kで表される数体Kの整数環は、 KとAの共通部分です。また、体Kの最大位数として特徴付けることもできます。各代数的整数は、何らかの数体の整数環に属します。数αが代数的整数であるためには、環がアーベル群として、つまり-加群として有限生成される必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

以下は代数的整数の同等の定義です。Kを数体（つまり、有理数体の有限拡大）とします。言い換えると、原始元定理により、ある代数的数に対して となります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$

• f ( α )=0となるような単項多項式が存在する場合、 α∈Kは代数的整数である。${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ Kが代数的整数であるとは、 αの最小単項式がに含まれる。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ Kは、有限生成 - 加群の場合、代数的整数です。${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• α ∈ Kが代数的整数であるとは、 αM ⊆ Mとなる非ゼロの有限生成-サブモジュールが存在する場合です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$

代数的整数は、環拡大の整数元の特殊なケースです。特に、代数的整数は有限拡大の整数元です。 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$

• 有理数の集合に含まれる代数的整数は整数だけです。言い換えると、とAの共通部分は です。有理数⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$1つの/b⁠ は、 b が a を割り切れ ない限り、代数的整数ではありません。多項式bx − aの主係数は整数bです。
• 非負整数nの平方根は 代数的整数ですが、n が完全平方でない限り無理数です。${\displaystyle {\sqrt {n}}}$
• d が平方根のない整数である場合、拡大は 有理数の二次体になります。代数的整数の環O _Kには、これが単項多項式x ² − dの根であるため、が含まれます。さらに、d ≡ 1 mod 4の場合、元も代数的整数です。多項式x ² − x + ⁠を満たします。${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle {\sqrt {d}}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$1/4⁠ (1 − d )ここで定数項 ⁠1/4⁠ (1 − d )は整数です。整数の完全な環はまたは。詳細については、二次整数を参照してください。${\displaystyle {\sqrt {d}}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$
• 体α = ³ √ m の整数環には次の積分基底があり、平方根を成さない互いに素な整数hとkに対してm = hk ²と書くことができる: ^[1]${\displaystyle F=\mathbb {Q} [\alpha ]}$ $${\displaystyle {\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$
• ζ _{n が}1の原始 n乗根である場合、円分体の整数環は正確に です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$
• α が代数的整数である場合、 β = ⁿ √ α は別の代数的整数です。 βの多項式は、αの多項式にx ^{n を}代入することによって得られます。

• P ( x )が整数係数を持ちモニックではない原始多項式であり、Pが上で既約である場合、 Pの根はいずれも代数的整数ではありません (ただし代数的数です)。ここで、原始とは、 Pの係数の最大公約数が 1 であるという意味に使用されており、これは係数が互いに素であることを要求するよりも弱い意味です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$

任意のαに対して、で表される整数のαによる環拡大（体の拡大と同値という意味で）は、 α が代数的整数である 場合に限り、有限生成である。${\displaystyle \mathbb {Z} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \}}$

この証明は、代数的数に関する対応する事実の証明と類似していますが、ここでは が に置き換えられ、体拡大次数の概念は有限生成で置き換えられています（ が有限生成であるという事実を使用）。必要な唯一の変更は、 αの非負の累乗のみが証明に含まれることです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

この類推が可能なのは、代数的整数と代数的数は、それぞれまたは上の単項多項式の根として定義されているためです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

2 つの代数的整数の和、差、積は代数的整数です。一般に、それらの商は代数的整数ではありません。したがって、代数的整数は環を形成します。

これは、有理数の代わりに整数を使用して、代数的数の対応する証明と同様に示すことができます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

結果と因数分解によって、一般に元の代数的整数よりも次数が高い、関係するモニック多項式を明示的に構成することもできます。たとえば、x ² − x − 1 = 0、y ³ − y − 1 = 0、z = xyの場合、結果を使用してz − xy = 0とxとyが満たす多項式からxとy を消去すると、 z ⁶ − 3 z ⁴ − 4 z ³ + z ² + z − 1 = 0が得られ、これは既約であり、積が満たすモニック方程式です。( xy がz − xyとx ² − x − 1のx結果の根であることを確認するには、結果がその 2 つの入力多項式によって生成されるイデアルに含まれているという事実を使用できます。)

係数が代数的整数である単項多項式のすべての根は、それ自体が代数的整数です。言い換えると、代数的整数は、その拡大のいずれにおいても 整閉環となる環を形成します。

繰り返しますが、この証明は代数的数が代数的に閉じていることに対する対応する証明に類似しています。

• 根、加算、乗算を持つ整数から構成可能な任意の数は代数的整数です。ただし、すべての代数的整数がこのように構成できるわけではありません。単純な意味では、既約五次数の大部分の根は構成できません。これがアーベル・ルフィニの定理です。
• 主イデアル定理の結果として、代数的整数の環はベズー領域となる。
• 代数的整数に関連付けられた単項多項式に定数項 1 または -1 がある場合、その代数的整数の逆数も代数的整数であり、それぞれは代数的整数の環の単位群の要素である単位です。
• x が代数的数である場合、 a _n x は代数的整数であり、x は整数係数の多項式p ( x )を満たし、 a _n x ^{n は}p ( x )の最高次項です。値y = a _n xはq ( y ) = aの根であるため代数的整数です。^{n  − 1}
  _n p ( y  / a _n )、ここでq ( y )は整数係数を持つ単項多項式です。
• xが代数的数である場合、代数的整数と非ゼロ代数的整数の比として表すことができます。実際、分母は常に正の整数に選択できます。比率は| a _n | x / | a _n |です。ここで、x は整数係数を持つ多項式p ( x )を満たし、 a _n x ^{n は}p ( x )の最高次項です。
• 有理代数的整数は整数だけです。したがって、αが代数的整数での場合、 となります。これは、単項多項式の場合の有理根定理の直接的な結果です。${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$

• 積分要素
• ガウス整数
• アイゼンシュタイン整数
• 団結の根源
• ディリクレの単位定理
• 基本単位