ポイントごとに

数学では、修飾語「pointwise」は、ある特性が各値を考慮して定義されていることを示すために使用されます。${\displaystyle f(x)}$何らかの機能の${\displaystyle f.}$重要な点ごとの概念の一つに、点ごとの演算があります。これは、定義域内の各点に対して関数値に個別に演算を適用することで定義される関数上の演算です。重要な関係も点ごとに定義できます。

要素ごとの演算は通常、ベクトルに対して定義され、ベクトルは集合の要素である。${\displaystyle K^{n}}$ある自然数に対して${\displaystyle n}$そしていくつかの分野${\displaystyle K}$。${\displaystyle i}$任意のベクトルの 番目の成分${\displaystyle v}$として${\displaystyle v_{i}}$すると、成分ごとの加算は${\displaystyle (u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}}$。

行列に対しては、成分ごとの演算を定義できます。行列の加算では、${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}$は要素ごとの演算ですが、行列の乗算はそうで​​はありません。

タプルは関数とみなすことができ、ベクトルはタプルである。したがって、任意のベクトルは${\displaystyle v}$関数に対応します${\displaystyle f:n\to K}$そのため${\displaystyle f(i)=v_{i}}$、ベクトルに対する任意の成分ごとの演算は、それらのベクトルに対応する関数に対する点ごとの演算である。

順序理論では、関数に対して点ごとの半順序を定義するのが一般的です。A 、Bを半順序集合とすると、関数A → Bの集合は、f ≤ g を(∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x )と定義することで順序付けできます。点ごとの順序は、基となる半順序集合のいくつかの性質も継承します。たとえば、A と B が連続束である場合、点ごとの順序を持​​つ関数A → Bの集合も連続束になります。^{[ 1 ]}関数の点ごとの順序を使用すると、たとえば次の重要な概念を簡潔に定義できます。^{[ 2 ]}

• 半順序集合P上の閉包演算子cは、 P上の単調かつ冪等な自己写像(すなわち射影演算子) であり、さらに id _A ≤ cという性質を持ちます。ここで id は恒等関数です。
• 同様に、射影演算子kは、 k ≤ id _Aの場合に限りカーネル演算子と呼ばれます。

無限個の点ごとの関係の例として、関数の点ごとの収束（関数の 列）が挙げられる。$${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$$ と $${\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}$$Xの各xに対して、関数fに点ごとに収束する。$$\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x).$$

順序理論の例については、以下を参照してください。

• T.S. ブライス著『格子と順序代数構造』、シュプリンガー、2005年、ISBN 1-85233-905-5。
• G. Gierz、KH Hofmann、K. Keimel、JD Lawson、M. Mislove、DS Scott：連続格子と領域、ケンブリッジ大学出版局、2003年。

この記事は、 PlanetMathの Pointwise の資料を組み込んでおり、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。