森田等価性

抽象代数学において、森田同値性は環間に定義される関係であり、多くの環論的性質が保存される。より正確には、R、Sのような2つの環は、それらの加群の圏が加法的に同値である（^[a]と表記される）場合、森田同値（ と表記される）である。^{[2]これは、1958年に同値性と類似の}双対性の概念を定義した日本の数学者森田喜一にちなんで名付けられました。 ${\displaystyle R\approx S}$ ${\displaystyle {}_{R}M\approx {}_{S}M}$

環は一般に、加群の観点から研究される。加群は環の表現とみなせるからである。すべての環R は、加群の作用が環の乗法として定義される自然なR加群構造をそれ自身に持つので、加群を介したアプローチはより一般的で、有用な情報を与える。このため、環の研究は、その環上の加群のカテゴリを研究することによって行われることが多い。森田同値では、環の加群カテゴリが同値である場合に、環が森田同値であると定義することにより、この観点を自然な結論に導いている。この概念は、非可換環を扱う場合にのみ興味深い。なぜなら、2 つの可換環が森田同値であるためには、それらが同型である必要があるからである。

2 つの環RとS (結合的、1 を伴う)は、R上の (左) 加群のカテゴリ、R-Modと、 S上の (左) 加群のカテゴリ、S -Modの同値が存在する場合、(森田) 同値であるといわれます。左加群カテゴリR-ModとS- Mod が同値であるのは、右加群カテゴリMod-RとMod-Sが同値である場合に限ります。さらに、同値となるR-ModからS-Modへの任意の関数は自動的に加法であることが示されます。

任意の 2 つの同型環は Morita 同値です。

R を元とするn行n 列の行列の環M _n Rは、任意の整数n > 0に対してRと森田同値です。これは、アルティン–ウェダーバーン理論によって与えられた単純アルティン環の分類を一般化したものであることに注意してください。同値性を確認するには、 Xが左R加群である場合、X ^{n は}M _n ( R ) 加群であり、加群構造はXの列ベクトルの左側の行列乗算によって与えられることに注意してください。これにより、左R加群のカテゴリから左M _n ( R ) 加群のカテゴリへの関数の定義が可能になります。逆関数は、任意のM _n ( R ) 加群に対して、上記のようにXからM _n ( R ) 加群が得られる左R加群Xが存在することを認識することで定義されます。  

同値は次のように特徴付けられる: F  : R-Mod S-ModとG  : S-Mod R-Modが加法(共変)関数である場合、FとGが同値であるための必要十分条件は、平衡型 ( S , R )-双加群Pが存在し、 _S PとP _{R が}有限生成射影生成子であり、関数の自然同型、および関数の自然同型が存在することである。有限生成射影生成子は、そのモジュールカテゴリのプロジェネレーターと呼ばれることもある。 ^[3]${\displaystyle \to}$ ${\displaystyle \to}$ ${\displaystyle \operatorname {F} (-)\cong P\otimes _{R}-}$${\displaystyle \operatorname {G} (-)\cong \operatorname {Hom} (_{S}P,-).}$

左R加群のカテゴリから左S加群のカテゴリへの直和と可換なすべての右完全関数Fに対して、ホモロジー代数の定理は、関数が関数と自然に同型となるような( S , R )-双加群Eが存在することを示しています。同値は必然的に完全であり、直和 と可換であるため、RとS が森田同値であるためには、双加群_R M _Sと_S N _Rが存在して、( R , R )-双加群として、かつ ( S , S )-双加群としてとなる必要があります。さらに、NとM は、( S , R )-双加群同型 を介して関連付けられています。 ${\displaystyle \operatorname {F} (-)}$${\displaystyle E\otimes _{R}-}$${\displaystyle M\otimes _{S}N\cong R}$${\displaystyle N\otimes _{R}M\cong S}$${\displaystyle N\cong \operatorname {Hom} (M_{S},S_{S})}$

より具体的には、2つの環RとSが森田同値であるための必要十分条件は、原始モジュールP _Rの場合であり、^[4]これは、 ${\displaystyle S\cong \operatorname {End} (P_{R})}$

${\displaystyle S\cong e\mathbb {M} _{n}(R)e}$

(環の同型性)行列環 M _n R上の任意の正の整数nと完全冪等性 eに対して成り立ちます。  

RがSと森田同値であれば、環 Z( R ) は環 Z( S ) と同型であり、 Z(-) は環の中心を表し、さらにR / J ( R ) はS / J ( S )と森田同値であり、J (-) はヤコブソン根号を表すことが知られています。

同型環は森田同値ですが、森田同値環は非同型になることがあります。簡単な例としては、除算環 D はその行列環M _n  Dのすべてと森田同値ですが、 n > 1のときは同型にはなりません。可換環の特殊なケースでは、森田同値環は実際には同型です。これは 上記のコメントからすぐにわかります。RがSと森田同値なら、です。 ${\displaystyle R=\operatorname {Z} (R)\cong \operatorname {Z} (S)=S}$

モジュール カテゴリ内のオブジェクトについては、同値関数によって多くのプロパティが保存されます。一般的に言えば、モジュールとその準同型性(基底要素や環ではなく)のみで定義されたモジュールのプロパティは、同値関数によって保存されるカテゴリカル プロパティです。たとえば、F (-) がR-ModからS-Modへの同値関数である場合、RモジュールM が次のいずれかの特性を持つのは、 SモジュールF ( M ) が持つ場合のみです。単射、射影、平坦、忠実、単純、半単純、有限生成、有限提示、アルティン、およびネーター。必ずしも保存されないプロパティの例には、自由、および巡回などがあります。

多くの環論的性質は、その加群の観点から述べられるため、これらの性質は Morita 同値環間で保存されます。同値環間で共有される性質はMorita 不変性質と呼ばれます。たとえば、環Rが半単純であるためには、その加群がすべて半単純である必要があります。半単純加群は Morita 同値の下で保存されるため、同値環Sもその加群がすべて半単純である必要があり、したがってそれ自体が半単純環になります。

時々、なぜ特性が保存されるのかがすぐには分からないことがあります。例えば、フォン・ノイマン正則環の標準的な定義の 1 つ( R内のすべてのaに対して、 a  =  axaとなるR内のx が存在する) を使用すると、同値な環がフォン・ノイマン正則であるかどうかは明らかではありません。しかし、別の定式化では、環がフォン・ノイマン正則であるためには、そのすべてのモジュールが平坦である必要があります。平坦性は Morita 同値性全体で保存されるため、フォン・ノイマン正則性が Morita 不変であることが明らかになりました。

以下の特性は森田不変です:

• 単純、半単純
• フォン・ノイマン・レギュラー
• 右（または左）ネーター型、右（または左）アルティニアン型
• 右（または左）自己注入
• 準フロベニウス
• プライム、右（または左）プリミティブ、セミプライム、セミプリミティブ
• 右（または左）（半）遺伝
• 右（または左）非特異
• 右（または左）一貫性のある
• 半一次、右（または左）完了、半完了
• 半局所的

森田不変ではない特性の例には、可換性、局所性、簡約性、領域、右（または左）ゴールディ性、フロベニウス性、不変基底数、デデキント有限性などがあります。

環の特性が Morita 不変であるかどうかを判断するためのテストは他に少なくとも 2 つあります。環Rの元e は、 e ²  =  eかつReR  =  R のとき完全冪等です。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$が森田不変であるための必要十分条件は、環R がを満たすときはいつでも、すべての完全冪等性eに対してeRe も を満たすこと、およびすべての正の整数nに対してすべての行列環 M _n R もを満たすことである。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 

または

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$は、次の条件を満たす場合のみ森田不変です。任意の環RとR内の完全冪等なeに対して、環eRe がを満たす場合のみR がを満たします。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

同値理論の双対は、使用される関数が共変ではなく反変である、加群カテゴリ間の双対性理論です。この理論は、形式は似ていますが、サブカテゴリには双対性が存在する可能性がありますが、どの環に対しても加群のカテゴリ間に双対性は存在しないため、大きな違いがあります。言い換えると、無限次元加群^{[明確化が必要]は一般に}反射的でないため、双対性理論は、ネーター環上の有限生成代数に​​より簡単に適用できます。おそらく驚くことではないが、上記の基準には双対性に対する類似物があり、自然な同型性は、テンソル関数ではなくhom 関数によって与えられます。

森田同値性は、シンプレクティック群やC*-代数などのより構造化された状況でも定義できます。C*-代数の場合、 C*-代数の追加構造(反転*-演算に由来)と、C*-代数が必ずしも単位元を持たないため、アプリケーションで有用な結果を得るには、強い森田同値性と呼ばれるより強い型の同値性が必要です。

2 つの環が Morita 同値である場合、それぞれの射影加群のカテゴリには誘導同値性があります。これは、Morita 同値性が正確なシーケンス(したがって射影加群) を保存するためです。環の代数 K 理論は( Quillen のアプローチで) 環上の有限生成射影加群の (小さな) カテゴリの神経の(大まかに)分類空間のホモトピー群によって定義されるため、Morita 同値環には同型の K 群が必要です。

• ライナー、I. (2003)。最大順序。ロンドン数学協会モノグラフ。新シリーズ。第28巻。オックスフォード大学出版局。pp.  154– 169。ISBN 0-19-852673-3.ZBL1024.16008  。​