半単純モジュール

数学、特に加群理論として知られる抽象代数の分野において、半単純加群または完全簡約加群は、その部分から容易に理解できる加群の一種である。それ自身に対して半単純加群である環は、アルティン半単純環として知られている。標数 0の体上の有限群の群環など、いくつかの重要な環は半単純環である。アルティン環は、まずその最大半単純商によって理解される。アルティン半単純環の構造は、アルティン-ウェダーバーン定理によってよく理解されており、この定理はこれらの環を行列環の有限直積として示している。

同じ概念の群論的類似物については、半単純表現を参照してください。

(必ずしも可換ではない) 環上のモジュールは、それが単純な(既約な) サブモジュールの直和である場合、半単純(または完全に既約)であると言われます。

モジュールMの場合、以下は同等です。

1. Mは半単純、つまり、既約なモジュールの直和です。
2. M はその既約サブモジュールの合計です。
3. Mのすべてのサブモジュールは直和項です。つまり、 MのすべてのサブモジュールNに対して、 M = N ⊕ Pとなる補集合Pが存在します。

同値性の証明については、半単純表現 § 同値な特徴付けを参照してください。

半単純加群の最も基本的な例は、体、つまりベクトル空間上の加群です。一方、整数環Zは、サブ加群2 Zが直和項ではないため、それ自身上の半単純加群ではありません。

半単純 は、分解不可能なサブモジュールの直和である完全に分解可能なよりも強力です。

A を体K上の代数とします。Kの任意の体拡大Fに対して、F ⊗ _K MがF ⊗ _K A上の半単純加群である場合、 A上の左加群M は絶対半単純であるといわれます。

• Mが半単純でN がサブモジュールである場合、NとM / Nも半単純です。
• 半単純加群の任意の直和は半単純である。
• 加群Mが有限生成かつ半単純となるのは、それがアルティン加群であり、その根号が0 である場合に限ります。

• 環R上の半単純加群M は、 RからMのアーベル群自己準同型環への環準同型と考えることもできる。この準同型の像は半原始環であり、すべての半原始環はそのような像と同型である。
• 半単純加群の自己準同型環は半原始的であるだけでなく、フォン・ノイマン正則でもある。^[1]

環が（左）半単純であるとは、それがそれ自身の左加群として半単純であることを意味する。^[2]驚くべきことに、左半単純環は右半単純でもあり、その逆もまた真である。従って、左/右の区別は不要であり、曖昧さなく半単純環について語ることができる。

半単純環はホモロジー代数の観点から特徴付けられる。すなわち、環Rが半単純であるためには、任意の左（または右）R加群の短完全列が分割される必要がある。つまり、短完全列に対して

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0}$

s  : C → Bが存在し、 g ∘ s  : C → Cの合成が恒等写像となる。写像s は切断として知られている。このことから、

${\displaystyle B\cong A\oplus C}$

あるいはもっと正確に言えば

${\displaystyle B\cong f(A)\oplus s(C).}$

特に、半単純環上の任意の加群は単射かつ射影的である。「射影的」は「平坦」を意味するので、半単純環はフォン・ノイマン正則環である。

半単純環は代数学者にとって特に興味深いものです。たとえば、基本環Rが半単純であれば、すべてのR加群は自動的に半単純になります。さらに、すべての単純 (左) R加群はRの極小左イデアルと同型です。つまり、Rは左カッシュ環です。

半単純環はアルティン環とネーター環の両方です。上記の特性から、環が半単純となるのは、アルティン環であり、かつそのヤコブソン根号が 0 である場合のみです。

アルティン半単純環が中心 部分環として体を含む場合、それは半単純代数と呼ばれます。

• 可換環の場合、次の4つの性質は同値である:半単純環であること、アルティニアンかつ被約 であること、^[3]クルル次元0の被 約ネーター環であること、体の有限直積に同型であること。
• Kが体でG が位数nの有限群である場合、群環 K [ G ] が半単純であるための必要十分条件は、 Kの特性がn を割り切れないことである。これは、群表現論における重要な結果であるマシュケの定理である。
• ウェッダーバーン・アルティンの定理によれば、単位環Rが半単純であるための必要十分条件は、それがM _{n 1} ( D ₁ ) × M _{n 2} ( D ₂ ) × ... × M _{n r} ( D _r ) （と同型）であることです。ここで、各D _{i は}分割環で、各n _{i は}正の整数であり、 M _n ( D ) はDを要素とするn行n列の行列の環を表します。
• 半単純非ユニタル環の例としては、体K上の行有限、列有限、無限行列である M _∞ ( K ) があります。

用語にもかかわらず、すべての単純環が半単純であるとは限らないことに注意する必要があります。問題は、環が「大きすぎる」、つまり (左/右) アルティン環ではない可能性があることです。実際、R が極小左/右イデアルを持つ単純環である場合、R は半単純です。

単純だが半単純ではない環の典型的な例としては、 Q代数 のようなワイル代数が挙げられる。

${\displaystyle A=\mathbf {Q} {\langle x,y\rangle }/\langle xy-yx-1\rangle \ ,}$

これは単純な非可換領域です。これらや他の多くの良い例は、非可換環論のいくつかのテキストでより詳細に議論されています。これには、Lam のテキストの第 3 章が含まれます。この章では、これらは非アルティン単純環として説明されています。ワイル代数のモジュール理論はよく研究されており、半単純環のモジュール理論とは大きく異なります。

環は、最大左イデアルの交差がゼロ、つまりヤコブソン根基がゼロである場合に、ヤコブソン半単純（またはJ 半単純、半原始）と呼ばれます。それ自身の加群として半単純な環はすべてヤコブソン根基がゼロですが、ヤコブソン根基がゼロの環はすべてそれ自身の加群として半単純であるわけではありません。J 半単純環が半単純であるための必要十分条件は、それがアルティン環である場合です。そのため、混乱を避けるために、半単純環はアルティン半単純環と呼ばれることがよくあります。

たとえば、整数環Z はJ 半単純ですが、アルティン半単純ではありません。

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