分離可能な代数

数学において、分離代数は半単純代数の一種であり、分離体拡大の概念を結合代数に一般化したものである。

（単位環だが必ずしも可換ではない）環の準同型

${\displaystyle K\to A}$

乗算写像 が分離可能である場合、

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}\mu :&A\otimes _{K}A&\to &A\\&a\otimes b&\mapsto &ab\end{array}}}$

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${\displaystyle \sigma :A\to A\otimes _{K}A}$

それはA - A -双加群の準同型です。

環が可換であり、の中心に写像される場合、上の可分代数と呼ばれます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K\to A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

分離可能性を要素の観点から説明すると便利である。

${\displaystyle p:=\sigma (1)=\sum a_{i}\otimes b_{i}\in A\otimes _{K}A}$

その理由は、 σの断面がこの要素によって決定されるからである。σがμの断面である という条件は、

${\displaystyle \sum a_{i}b_{i}=1}$

σ がA - A双加群の準同型であるという条件は、A内の任意のaに対する次の要件と同値である。

${\displaystyle \sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.}$

このような元p は、それが満たす代数の元とみなされるため、分離性冪等と呼ばれます。 ${\displaystyle A\otimes A^{\rm {op}}}$${\displaystyle p^{2}=p}$

任意の可換環Rに対して、 n行n列の行列の(非可換) 環は分離可能なR代数です。任意の に対して、分離性冪等性は で与えられます。ここで、 は基本行列を表し、 ( i , j )要素の要素は 1 ですが、それ以外は 0 です。特に、これは分離性冪等性が一意である必要がないことを示しています。 ${\displaystyle M_{n}(R)}$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}e_{ij}\otimes e_{ji}}$${\displaystyle e_{ij}}$

有限次数の体拡大 L / K は、 Lが結合的K代数として分離可能な場合に限り、分離可能拡大です。L / K が既約多項式 を持つ原始元を持つ場合、分離可能性冪等性は によって与えられます。 テンソランドはトレース マップの双対基底です。 がLからKの代数閉包への異なるK単射である場合、 LからKへのトレース マッピング Tr はによって定義されます。 トレース マップとその双対基底により、 L はK上のフロベニウス代数として明示的に表されます。 ${\displaystyle a}$${\textstyle p(x)=(xa)\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}}$${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\otimes _{K}{\frac {b_{i}}{p'(a)}}}$${\textstyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$${\textstyle Tr(x)=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(x)}$

より一般的には、体 K上の可分代数は次のように分類できます。それらは、体Kの有限次元可分体拡大を中心とする有限次元除算代数上の行列代数の有限積と同じです。特に、すべての可分代数は、それ自体が有限次元です。Kが完全体、たとえば特性0 の体、有限体、または代数的に閉じた体である場合、 Kのすべての拡大は可分であるため、可分K代数は、体K上の有限次元除算代数上の行列代数の有限積です。言い換えると、Kが完全体である場合、K上の可分代数とK上の有限次元半単純代数の間に違いはありません。マシュケの一般化された定理により、すべての体の拡大に対して代数が半単純である場合、結合K代数Aは分離可能であることが示されます。 ${\textstyle L/K}$${\textstyle A\otimes _{K}L}$

Kが可換環で、Gが有限群でGの順序がK内で可逆である場合、群代数K [ G ] は可分K代数である。^[1]可分性冪等性は によって与えられる。 ${\textstyle {\frac {1}{o(G)}}\sum _{g\in G}g\otimes g^{-1}}$

分離可能代数には、同値な定義が複数ある。K代数Aが分離可能であるのは、通常の方法での左加群として考えたときに射影的である場合に限る。 ^[2]さらに、代数Aが分離可能であるのは、通常の方法での右加群として考えたときに平坦である場合に限る。 ${\displaystyle A^{e}}$${\displaystyle A^{e}}$

分離可能代数は、分割拡大によっても特徴付けることができる。すなわち、 AがK上で分離可能であることと、A - A双加群のすべての短完全列がA - K双加群として分割される場合は、 A - A双加群としても分割されることである。確かに、この条件が必要なのは、上記の定義で生じる乗法写像がA - A双加群エピモーフィズムであり、これがによって与えられる右逆写像によってA - K双加群写像として分割されるためである。逆は、分離可能性冪等性を賢明に使用することで証明できる（分割写像の内外に適用するマシュケの定理の証明と同様）。^[3]${\textstyle \mu :A\otimes _{K}A\rightarrow A}$${\textstyle A\rightarrow A\otimes _{K}A}$${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$

同様に、任意の係数双加群Mにおける( R , S )の相対ホックシルトコホモロジー群は、 n > 0に対して 0 です。分離可能な拡大の例は多数あり、R が分離可能な代数でS = 1 と基底体の積である第 1 分離可能代数も含まれます。ab = 1を満たすがbaが 1 と異なる元aとb を持つ任意の環R は、 1 とbRaによって生成される部分環S上の分離可能な拡大です。 ${\displaystyle H^{n}(R,S;M)}$

分離可能代数は、対称な分離性冪等性が存在する場合、強分離可能と呼ばれます。これは、

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\otimes x_{i}}$

代数は、そのトレース形式が非退化である場合にのみ強分離可能であり、したがって代数は対称代数と呼ばれる特定の種類のフロベニウス代数になります（テンソル代数の商として生じる対称代数と混同しないでください）。

Kが可換であれば、Aは有限生成 射影可分K加群であり、Aは対称フロベニウス代数である。^[4]

可換環の任意の可分拡大A / Kは形式的に非分岐である。 Aが有限生成K代数であれば逆が成り立つ。 ^[5]可分平坦（可換）K代数Aは形式的にエタールである。^[6]

この分野の定理は、J. Cuadra の定理で、分離ホップ-ガロア拡大R | Sには有限生成自然S加群 R があるというものである。分離拡大R | Sに関する基本的な事実は、それが左または右半単純拡大であるということ、すなわち、 S加群に分割される左または右R加群の短い完全列は、R加群に分割されるということである。G. Hochschild の相対ホモロジー代数では、すべてのR加群は相対( R , S )射影的であると言える。通常、分離拡大の概念などの部分環または環拡大の相対的な性質は、過剰環が部分環の性質を共有するという定理を促進するのに役立つ。たとえば、半単純代数Sの分離拡大RはR が半単純であり、これは前述の議論からわかる。

有名なヤンスの定理があり、これは、特性pの体上の有限群代数Aが有限表現型であるための必要十分条件は、そのシローp部分群が巡回的である場合である : 最も明確な証明は、 p群についてこの事実に注目することであり、次に、指数が特性と互いに素であるため、群代数はそのシローp部分群代数Bの分離拡張であることに注目する。上記の分離条件は、すべての有限生成AモジュールM が、その制限誘導モジュールの直和項に同型であることを意味します。しかし、 B が有限表現型を持つ場合、制限モジュールは一意に、有限個の分解不能の倍数の直和であり、これはMが直和である構成する有限個の分解不能モジュールを誘導します。したがって、 Bが有限表現型である場合、 Aは有限表現型です。逆は、すべての部分群代数Bが群代数AのB双加群直和であることに注目した同様の議論によって証明されます。

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