茎（束）

数学において、束の茎は、特定の点の周りの束の挙動を捉える 数学的構成です。

層は開集合上で定義されますが、基礎となる位相空間は 点から構成されます。の単一の固定点における層の挙動を分離しようとするのは合理的です。概念的に言えば、点の小さな近傍を調べることでこれを行います。 の十分に小さい近傍を調べると、その小さな近傍における層の挙動は、その点における の挙動と同じになるはずです。もちろん、単一の近傍が十分に小さいということはあり得ないので、何らかの極限を取らなければなりません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

正確な定義は次のとおりです。におけるの茎 (通常は と表記) は次のとおりです。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}:=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U).}$

ここで、直接極限はを含むすべての開集合にわたってインデックス付けされ、順序関係は逆包含( 、場合) によって誘導されます。直接極限の定義 (または普遍的性質) により、茎の元は元の同値類であり、このような 2 つのセクションと は 、 2 つのセクションの制限がの近傍で一致する場合、同値であると見なされます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle U\leq V}$${\displaystyle U\supseteq V}$${\displaystyle f_{U}\in {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle f_{U}}$${\displaystyle f_{V}}$${\displaystyle x}$

ストークを定義する別の方法があり、これは状況によっては役に立ちます。の点を選択し、 を1 点空間の への包含とします。すると、ストークは逆像層と同じになります。 1 点空間の開集合はと のみであり、空集合にはデータが存在しないことに注意してください。ただし、 では次のようになります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle i^{-1}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle i^{-1}{\mathcal {F}}(\{x\})=\varinjlim _{U\supseteq \{x\}}{\mathcal {F}}(U)=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U)={\mathcal {F}}_{x}.}$

一部のカテゴリ Cでは、茎を定義するために使用される直接の極限が存在しない場合があります。ただし、集合のカテゴリや、アーベル群や環などの代数的オブジェクトのほとんどのカテゴリなど、実際に発生するほとんどのカテゴリでは茎が存在します。これらは、つまり、ココンプリートです。

を含む任意の開集合には自然な射が存在します。つまり、開集合はその芽、つまり直極限における同値類への切断をとります。これは、 上の連続関数の層の茎を見ることによって復元できる、芽の通常の概念の一般化です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle X}$

ある集合 （または群、環など）に関連付けられた定数層は、 内のすべての に対してとなる層です。 ${\displaystyle {\underline {S}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\underline {S}}_{x}=S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

たとえば、解析多様体上の解析関数の層では、ある点における関数の芽によって、その点の小さな近傍における関数が決定されます。これは、芽が関数のべき級数展開を記録し、すべての解析関数は定義により局所的にそれらのべき級数に等しいためです。解析接続を使用すると、ある点における芽によって、関数がどこでも定義できる任意の連結開集合上の関数が決定されることがわかります。(これは、この層の制限マップがすべて単射であることを意味するものではありません。)

対照的に、滑らかな多様体上の滑らかな関数の層の場合、胚芽には局所的な情報が含まれていますが、任意の開近傍上で関数を再構築するには不十分です。たとえば、 が原点の近傍では恒常的に 1 であり、原点から離れた場所では恒常的に 0 であるバンプ関数であるとします。原点を含む十分に小さい近傍では、 は恒常的に 1 であるため、原点では値が 1 である定数関数と同じ胚芽を持ちます。その胚芽から再構築するとします。 がバンプ関数であることを事前に知っていたとしても、胚芽はそのバンプの大きさを教えてくれません。胚芽からわかることから、バンプは無限に広い可能性があり、つまり、 は値が 1 である定数関数に等しい可能性があります。のバンプが に完全に収まるのか、で恒常的に 1 になるほど大きいのかがわからないため、原点を含む小さな開近傍上でも再構築することはできません。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$

一方、滑らかな関数の芽は、値が 1 である定数関数と関数 を区別できます。これは、後者の関数が原点のどの近傍でも恒常的に 1 ではないためです。この例は、 のべき級数が恒常的に 1 であるため、関数のべき級数展開よりも多くの情報が芽に含まれていることを示しています。(この追加情報は、原点における滑らかな関数の層の茎が非ネーター環であるという事実に関連しています。クルル交差定理によれば、これはネーター環では起こり得ません。) ${\displaystyle 1+e^{-1/x^{2}}}$${\displaystyle 1+e^{-1/x^{2}}}$

アフィンスキーム では、素イデアルに対応する点における- 加群に対応する準コヒーレント層の茎は、まさに局所化です。 ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M_{p}}$

任意の位相空間上で、閉じた点と群または環に関連付けられたスカイスクレイパー層には、茎がオフとオンがあり、これがスカイスクレイパーという名前です。このアイデアは、上位の空間から下位の空間に写像する関数の一般的な視覚化を採用すると、より意味をなします。この視覚化では、 を写像する任意の関数はの真上に配置されます。問題の位相空間がT ₁空間である場合、T ₁空間のすべての点は閉じているため、任意の点に対して同じ特性が当てはまります。この特徴は、たとえば代数幾何学で層の関数的単射分解を取得するために使用される、ゴドマン分解の構築の基礎です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G\to x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

序論で概説したように、茎は束のローカルな動作を捉えます。束はローカルな制約によって決定されるはずなので (接着公理を参照)、茎は束がエンコードしているかなりの量の情報を捉えると予想されます。これは確かに真実です。

• 層の射は、すべての茎上の誘導射が同じ性質を持つ場合のみ、それぞれ同型、エピモーフィズム、または単型です。(ただし、すべての茎が同型である 2 つの層も同型であるというのは正しくありません。これは、問題の層間にマップが存在しない可能性があるためです。)

特に：

• 層がゼロになるのは（群の層を扱っている場合）、層の茎がすべて消える場合のみです。したがって、与えられた関数の正確さは茎上でテストすることができ、これはより小さな近傍に進むことができるため、多くの場合より簡単になります。

どちらの記述も前束については偽です。しかし、束の茎と前束は密接に関連しています。

• 前層とその層化が与えられた場合、との茎は一致します。これは、層が左随伴を介しての像であるという事実(層化関数が包含関数 の左随伴であるため) と、左随伴が余極限を保存するという事実から導かれます。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle (-)^{+}:\mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}\to Sh(X)}$${\displaystyle Sh(X)\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}}$

• ハーツホーン、ロビン (1977)。代数幾何学。数学大学院テキスト。第 52 巻。doi :10.1007 / 978-1-4757-3849-0。ISBN 9780387902449。
• テニスン、BR (1975)。層理論。doi : 10.1017/ CBO9780511661761。ISBN 9780521207843。

• nLabで追跡
• Stacks Project の著者。「6.11 Stalks」。
• Stacks Project の著者。「6.27 超高層ビルの束と茎」。
• Goresky, Mark. 「Perverse Sheaves 入門」(PDF)。高等研究所。
• Kiran Kedlaya. 18.726 代数幾何学 (LEC # 3 - 5 層)2009 年春。マサチューセッツ工科大学: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA。