セットのリング

数学では、集合の環という 2 つの異なる概念があり、どちらも特定の集合の族を指します。

順序理論では、空でない集合族は、 和集合と積集合に関して閉じている場合、集合環と呼ばれる。^[1] つまり、すべての集合とに対して次の2つの命題が成り立つ。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$意味し、${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$暗示する${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}.}$

測度論では、空でない集合族は、和集合と相対補集合（集合論的差分）の下で閉じている場合、集合環と呼ばれる。 ^[2]つまり、すべての集合とに対して次の2つの命題が成り立つ。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$意味し、${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$暗示する${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}.}$

これは、測度論的な意味での環には常に空集合が含まれることを意味します。さらに、すべての集合AとBに対して、

${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B),}$

これは、相対補集合に関して閉じた集合の族は交差に関しても閉じていることを示しており、そのため測度論的な意味での環は順序論的な意味での環でもある。

Xが任意の集合である場合、Xの冪集合( Xのすべての部分集合の族) はどちらの意味でも集合の環を形成します。

( X , ≤)が半順序集合である場合、その上集合( x が上集合Uに属し、x ≤ yである場合、yもUに属している必要があるという追加の特性を持つXの部分集合) は、積と和の両方に関して閉じています。ただし、一般には集合の差に関して閉じていません。

任意の位相空間の開集合と閉集合は、和集合と積集合の両方に対して閉じている。^[1]

実数直線R上で、空集合と、形式( a , b ]（a , b ∈ R ）の半開区間のすべての有限和からなる集合族は、測度論的な意味での環である。

Tが空間上で定義された任意の変換である場合、 Tによって自分自身に写像される集合は和集合と積集合の両方に対して閉じている。^[1]

2つの集合の環が両方とも同じ要素上で定義されている場合、両方の環に属する集合自体が集合の環を形成します。^[1]

順序論的な意味での集合の環は分配格子を形成し、その交差と和集合の演算はそれぞれ格子の交わりと結合の演算に対応する。逆に、すべての分配格子は集合の環と同型である。有限分配格子の場合、これはバーコフの表現定理であり、集合は部分的に順序付けられた集合の下位集合としてとらえることができる。^[1]

和集合と相対補集合の下で閉じた集合族は、対称差と交差の下でも閉じている。逆に、対称差と交差の下で閉じた集合族は、和集合と相対補集合の下でも閉じている。これは、

1. ${\displaystyle A\cup B=(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,(A\cap B)}$そして
2. ${\displaystyle A\setminus B=A\,\triangle \,(A\cap B).}$

対称差と交差を組み合わせると、測度論的な意味での環にブール環の構造が与えられます。

測度論的な意味では、σ環は可算和に関して閉じた環であり、δ環は可算交差に関して閉じた環である。明示的には、σ環は任意の列に対して${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \{A_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}},}$${\textstyle \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathcal {F}}.}$

集合が与えられたとき、集合体（ 上の代数とも呼ばれる）は を含む環である。この定義は、代数が絶対補集合に対して閉じていることを意味する。σ-代数は、可算和に対しても閉じている代数、またはそれと同義で を含む σ-環である。実際、ド・モルガンの法則により、 を含む δ-環は必然的に σ-代数でもある。集合体、特に σ-代数は、現代の確率論と測度の定義において中心的な役割を果たしている。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A^{c}=X\setminus A.}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

半環（集合の）とは、以下の性質を持つ 集合の族である。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}},}$
   • (3)が成り立つ場合、${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$意味し、${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}},}$
3. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$何らかの分離した${\displaystyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}}$${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}.}$

すべての環（測度論の意味で）は半環です。一方、は半環ですが、和集合に関して閉じていないため環ではありません。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{\emptyset ,\{x\},\{y\}\}}$${\displaystyle X=\{x,y\}}$

あ半代数^[3]または基本族 ^[4]、半環の性質を満たす 部分集合の集合である${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$

• すると、互いに素な集合が有限個存在し、${\displaystyle E\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

この条件は(3)よりも強く、次のように表すことができます。 が半代数で の場合、が互いに素であるとして と書くことができます。すると、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle F^{c}=F_{1}\cup \ldots \cup F_{n}}$${\displaystyle F_{i}\in S}$$${\displaystyle E\setminus F=E\cap F^{c}=E\cap (F_{1}\cup \ldots \cup F_{n})=(E\cap F_{1})\cup \ldots \cup (E\cap F_{n})}$$

そして、交差に関して閉じているのですべては成り立ち、互いに素な に含まれるので互いに素です。さらに、条件は厳密にはより強力です。環と半代数の両方であるものは代数であり、したがって代数ではない環は半代数でもありません (たとえば、無限集合上の有限集合のコレクション)。 ${\displaystyle E\cap F_{i}\in S}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

• 集合の代数 – 集合に関する同一性と関係
• δ環 – 可算交差に関して閉じた環
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
• 𝜆システム（ディンキンシステム）  – 補集合と可算な離散和集合に対して閉じた族
• 単調クラス – 定理フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページスペースなしで短い説明を表示するページ
• π系 – 交差に関して閉じた集合の族
• σ-代数 – 集合代数の代数的構造
• 𝜎-イデアル – 部分集合と可算和集合に関して閉じた族
• 𝜎環 – 可算和集合に関して閉じた集合族

• ダレット、リチャード（2019）。確率：理論と例（PDF）。ケンブリッジ統計および確率数学シリーズ。第49巻（第5版）。ケンブリッジニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . 2020年11月5日閲覧。
• フォランド、ジェラルド B. (1999)。実分析: 現代の技術とその応用(第 2 版)。ジョン ワイリー アンド サンズ。ISBN 0-471-31716-0。

• 数学百科事典の集合の環