自由アーベル群

数学において、自由アーベル群は基底を持つアーベル群です。アーベル群であるということは、加法演算が結合的、可換的、かつ可逆である集合であることを意味します。基底は、整数基底とも呼ばれ、群のすべての要素が有限個の基底要素の整数結合として一意に表現できる部分集合です。たとえば、2 次元整数格子は、座標方向の加法を演算とし、2 つの点 (1,0) と (0,1) を基底とする自由アーベル群を形成します。自由アーベル群はベクトル空間に似た特性を持ち、整数上の自由加群である自由加群と同義に呼ばれることもあります。格子理論は、実ベクトル空間の自由アーベル部分群を研究します。代数位相幾何学では、自由アーベル群は連鎖群 を定義するために使用され、代数幾何学では因子 を定義するために使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

基底を持つ自由アーベル群の元は、いくつかの同等の方法で記述できます。これらには、 上の形式的な和が含まれます。これは、の形式の式です。ここで、各 は非ゼロの整数、各 は異なる基底元、そして和には有限個の項があります。あるいは、自由アーベル群の元は、 の有限個の元を含む符号付き多重集合と考えることができます。この場合、多重集合内の元の重複度は、形式的な和におけるその係数に等しくなります。自由アーベル群の元を表す別の方法は、から有限個の非ゼロ値を持つ整数への関数として表すことです。この関数表現では、群演算は関数の 点ごとの加算です。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$${\textstyle \sum a_{i}b_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

すべての集合は、を基底とする自由アーベル群を持つ。この群は、同じ基底を持つ 2 つの自由アーベル群はすべて同型 であるという意味で一意である。個々の要素を記述することによって基底を持つ自由アーベル群を構築する代わりに、の要素ごとに1 つのコピーを持つ、整数の加法群のコピーの直和として基底を持つ自由アーベル群を構築することもできる。あるいは、 の要素を生成子とし、要素のペアの交換子を関係子とする表現によって基底を持つ自由アーベル群を記述することもできる。自由アーベル群の階数は基底の濃度である。同じ群の 2 つの基底はすべて同じ階数を与え、同じ階数を持つ 2 つの自由アーベル群はすべて同型である。自由アーベル群のすべての部分群は、それ自体が自由アーベルである。この事実により、一般アーベル群は「関係」による自由アーベル群の商として、または自由アーベル群間の入射準同型の余核として理解することができます。自由群である唯一の自由アーベル群は、自明群と無限巡回群です。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

自由アーベル群は基底を持つアーベル群である。 ^[1]ここで、アーベル群とは、その元の集合と上の二項演算によって記述され、慣例的に記号によって加法群として表される（ただし、通常の数の加算である必要はない）ものであり、次の性質に従う。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle +}$

• この演算は可換かつ結合的であり、つまり、、のすべての要素 に対して が成り立ちます。したがって、この演算を使用して の 2 つ以上の要素を組み合わせる場合、要素の順序付けやグループ化は結果に影響しません。${\displaystyle +}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+y=y+x}$${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$には、すべての元に対して という性質を持つ単位元(慣例的に と表記)が含まれます。${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+0=0+x=x}$
• の各要素には逆要素があり、となります。${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -x}$${\displaystyle x+(-x)=0}$

基底とは、の元の部分集合であり、 の任意の元は、の有限個の基底元を選択し、選択された各基底元に対して0 以外の整数を選択し、が正である基底元 のコピーと が負である各基底元のコピーを加算することによって一意に形成できるという性質を持つ。^{[2]特別な場合として、単位元は常に、}空和の通常の規則に従って、このようにして 0 基底元の組み合わせとして形成でき、単位元を表す他の組み合わせを見つけることは不可能である。^[3]${\displaystyle B}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle -k_{i}}$${\displaystyle -b_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$

整数は、通常の加算演算により、を基底とする自由アーベル群を形成する。整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$は可換かつ結合的であり、0は加法単位元であり、各整数にはその否定である加法逆元 が存在する。各非負整数はのコピーの合計であり、各負整数はのコピーの合計であるため、基底特性も満たされる。^[1]${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle -1}$

群演算が通常の数の加算と異なる例として、正の有理数 が挙げられます。これは、通常の数の乗算演算と素数を基底とする自由アーベル群を形成します。乗算は可換かつ結合的であり、数はその恒等元、 は各正の有理数の逆元です。素数がこれらの数の乗算の基底を形成するという事実は、算術の基本定理から得られます。この定理によれば、すべての正の整数は、有限個の素数またはその逆数の積に一意に因数分解できます。が最も単純な言葉で表現された正の有理数である場合、 は、およびの因数分解に現れる素数の有限の組み合わせとして表現できます。この組み合わせで使用する各素数の数は、 の因数分解におけるその指数、または の因数分解におけるその指数の否定です。 [ 4 ^]${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle q=a/b}$${\displaystyle q}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

整数係数を持つ単一変数の多項式は、の累乗を基底として、多項式加法の下で自由アーベル群を形成する。抽象群として、これは正の有理数の乗法群（の同型群）と同じである。これら 2 つの群を互いにマッピングして同型であることを示す 1 つの方法は、有理数の乗法群の 番目の素数の指数を、対応する多項式の の係数を与えるものとして再解釈することであり、その逆も同様である。たとえば、有理数は最初の 3 つの素数に対しての指数を持ち、このようにして、定数項、線形項、および二次項に対して同じ係数を持つ多項式に対応する。これらのマッピングは同じ数を単に再解釈するだけなので、 2 つの群の要素間の一対一を定義する。そして、正の有理数を掛け合わせる群演算は、多項式の加算群演算が多項式の係数に作用するのと同様に、素数の指数に加法的に作用するため、これらの写像は群構造を保存します。これらは準同型です。全単射準同型は同型と呼ばれ、その存在はこれら2つの群が同じ性質を持つことを示しています。^[5]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x^{i-1}}$${\displaystyle 5/27}$${\displaystyle 0,-3,1}$${\displaystyle 2,3,5}$${\displaystyle -3x+x^{2}}$${\displaystyle 0,-3,1}$

与えられた基底による各群の要素の表現は一意ですが、自由アーベル群は一般に複数の基底を持ち、異なる基底は一般にその要素の異なる表現をもたらします。たとえば、基底の任意の要素をその逆基底で置き換えると、別の基底が得られます。より複雑な例として、整数直交座標を持つ平面上の点からなる2次元整数格子 は 、基底 とのベクトル加算によって自由アーベル群を形成します。^[1]この基底では、要素はと書くことができます。ここで、「乗算」は、たとえば のように定義されます。同じ基底で他の書き方はありません。ただし、 などの異なる基底では、と書くことができます。この例を一般化すると、すべての格子は有限生成自由アーベル群を形成します。 ^[6]次元整数格子は、正の整数単位ベクトルからなる自然な基底を持ちますが、他にも多くの基底を持ちます。 が行列式を持つ整数行列である場合、の行は基底を形成し、逆に整数格子のすべての基底はこの形式を持ちます。^[7] 2次元の場合の詳細については、周期の基本ペアを参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}}$${\displaystyle (4,3)}$${\displaystyle (4,3)=4\cdot (1,0)+3\cdot (0,1)}$${\displaystyle \ 4\cdot (1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)}$${\displaystyle (4,3)}$${\displaystyle \{(1,0),(1,1)\}}$${\displaystyle (4,3)=(1,0)+3\cdot (1,1)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle M}$

あらゆる集合は自由アーベル群の基底になることができ、その基底は群同型を除いて一意です。与えられた基底集合の自由アーベル群は、整数のコピーの直和、整数値関数の族、符号付き多重集合、または群の表現など、いくつかの異なるが同等な方法で構築できます。

群の直積は、積の各群からの要素の組と、成分ごとの加算から構成される。2 つの自由アーベル群の直積は、2 つの群の基底の互いに交わらない和を基底とする自由アーベル群である。 ^[8]より一般的には、任意の有限個の自由アーベル群の直積は自由アーベル群である。たとえば、次元整数格子は、整数群のコピーの直積と同型である。自明群も自由アーベル群であると考えられ、空集合を基底とする。^{[9]これは、 のゼロ個のコピー}の直積である空積として解釈できる。^[10]${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

自由アーベル群の無限族の場合、直積は必ずしも自由アーベルとは限らない。^[8]たとえば、の可算なコピーの直積として形成される無数群であるベーア・スペッカー群 は 、 1937 年にラインホルト・ベーアによって自由アーベルでないことを示したが、 ^[11]エルンスト・スペッカーは1950 年にその可算部分群がすべて自由アーベルであることを証明した。 ^[12]その代わりに、無限の群族から自由アーベル群を得るには、直積ではなく直和を使用する必要があります。直和と直積は、有限個の群に適用された場合は同じですが、無限の群族では異なります。直和では、要素は再び各群の要素の組ですが、これらの要素のうち有限個を除くすべてがその群の単位元であるという制限があります。無限個の自由アーベル群の直和は自由アーベルのままです。この基底は組から成り、そのうち1つを除くすべての要素は単位元であり、残りの要素はその群の基底の一部である。^[8]${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

あらゆる自由アーベル群は、その基底の各要素に対して1つのコピーを持つの${\displaystyle \mathbb {Z} }$コピーの直和として記述できます。 ^{[13] [14]}この構成により、任意の集合が自由アーベル群の基底になることができます。^[15]${\displaystyle B}$

集合 が${\displaystyle B}$与えられたとき、から までの整数の関数を要素とする群を定義できる。ここで、上付き文字の括弧は、有限個の非ゼロ値を持つ関数のみが含まれることを示している。と がそのような関数である場合、 は、との値の和である関数である。つまり、 である。この点ごとの加算演算により、アーベル群の構造が得られる。^[16]${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$

与えられた集合の各元はの元に対応し、の関数は に対して、 の関数はすべてのに対してに対して である。内の 各関数は、有限個の基底元の一意的な線形結合である。 したがって、これらの元はの基底を形成し、は自由アーベル群である。このようにして、すべての集合は自由アーベル群の基底にすることができる。^[16]${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$${\displaystyle e_{x}}$${\displaystyle e_{x}(x)=1}$${\displaystyle e_{x}(y)=0}$${\displaystyle y\neq x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$$${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.}$$${\displaystyle e_{x}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$${\displaystyle B}$

の元は、形式的な和として表記されることもあります。これは、有限個の項の和の形式の式で、各項はの異なる要素と非ゼロの整数の積として表記されます。これらの式は、項の順序に関係なく、同じ項を持つ場合は同等であると見なされ、項の和集合を形成し、同じ基底要素を持つ項を結合するために整数係数を追加し、この組み合わせで係数がゼロになる項を削除することで加算できます。^[4]これらは、 の有限個の元の符号付き多重集合として解釈することもできます。^[17]${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

群の表示とは、群を生成する要素の集合（つまり、すべての群要素は有限個の生成子の積として表現できる）と、単位元を与える生成子の積である「関係子」の集合である。このように定義された群の要素は、生成子のシーケンスとその逆の同値類であり、任意の関係子または生成子逆ペアを連続する部分列として挿入または削除できる同値関係にある。基底を持つ自由アーベル群の表示では、生成子はの要素であり、関係子はの要素のペアの交換子である。ここで、2 つの要素と の交換子は積である。この積を単位元に設定すると、 は に等しくなり、 と は交換可能になる。より一般的には、生成子のすべてのペアが交換可能であれば、生成子の積のすべてのペアも交換可能である。したがって、この表示によって生成される群はアーベル群であり、表示の関係子は、それがアーベル群であることを保証するために必要な関係子の最小集合を形成する。^[18]${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle yx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

生成元の集合が有限のとき、自由アーベル群の表現も有限である。これは、表現に含めることができる交換子の数が有限個しかないためである。この事実は、自由アーベル群のすべての部分群が自由アーベルであるという事実（下記）とともに、すべての有限生成アーベル群が有限に表現されていることを示すために使用できる。なぜなら、が集合によって有限に生成される場合、それは上の自由アーベル群をの表現の関係子によって生成される部分群である自由アーベル部分群で割ったものである。しかし、この部分群自体が自由アーベルであるため、これも有限に生成され、その基底（上の交換子とともに）はの表現の関係子の有限集合を形成する。^[19]${\displaystyle G}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G}$

整数上の加群は、実数や有理数上のベクトル空間と同様に定義されます。加群は、互いに加算できる要素のシステムで構成され、この加算演算と互換性のある整数によるスカラー乗算演算が行われます。すべてのアーベル群は、次のように定義されるスカラー乗算演算を持つ整数上の加群と見なすことができます。^[20]

しかし、ベクトル空間とは異なり、すべてのアーベル群が基底を持つわけではないため、基底を持つ群には「自由」という特別な名前が付けられています。自由加群とは、その基底環上の直和として表すことができる加群であるため、自由アーベル群と自由-加群は同等の概念です。つまり、各自由アーベル群は (上記の乗算操作により) 自由-加群であり、各自由-加群はこのように自由アーベル群から生じます。^[21]直和だけでなく、自由アーベル群を組み合わせるもう 1 つの方法は、 -加群のテンソル積を使用することです。2つの自由アーベル群のテンソル積は常に自由アーベルであり、基底は積の 2 つのグループの基底の直積です。^[22]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

自由アーベル群の多くの重要な性質は、主イデアル領域上の自由加群に一般化できる。例えば、主イデアル領域上の自由加群のサブ加群は自由であり、ハッチャー（2002）は、この事実により、これらの加群へのホモロジー機構の「自動一般化」が可能になると書いている。^{[23]さらに、すべての}射影 加群が自由であるという定理も同様に一般化できる。^[24]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

基底 を持つ自由アーベル群には、次の普遍的性質があります。からアーベル群 へのすべての関数に対して、を拡張するからへの一意の群準同型写像が存在します。^{[4] [9]}ここで、群準同型写像とは、群積法則と一致する、ある群から別の群への写像です。写像の前または後に積を実行しても同じ結果が得られます。普遍的性質の一般的な性質により、これは、基底 のアーベル群が同型写像を除いて一意であることを示しています。したがって、普遍的性質は、基底 の自由アーベル群の定義として使用できます。この性質によって定義される群の一意性は、他のすべての定義が同等であることを示しています。^[15]${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

この普遍的性質のため、自由アーベル群は「自由」と呼ばれる。自由アーベル群は、アーベル群をその対象として、準同型をその矢印として持つカテゴリーであるアーベル群のカテゴリーにおける自由対象である。基底からその自由アーベル群への写像は関手 であり、集合からアーベル群へのカテゴリーの構造保存写像であり、アーベル群から集合への忘却関手に随伴する。 ^[25]しかし、自由アーベル群は、次の2つの場合を除いて自由群ではない。自由アーベル群が空の基底を持つ場合（階数0で、自明群 を与える）、または基底に1つの要素だけを持つ場合（階数1で、無限巡回群 を与える）。^{[9] [26]}その他のアーベル群は自由群ではない。なぜなら、自由群ではと が基底の異なる要素である場合、 はと異なる必要があるのに対し、自由アーベル群では、2つの積はすべての要素のペアに対して同一でなければならないからである。群の一般カテゴリでは、 を要求することは追加の制約であるが、これはアーベル群のカテゴリでは必要な性質である。^[27]${\displaystyle ab}$${\displaystyle ba}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab=ba}$

同じ自由アーベル群の2つの基底はすべて同じ濃度を持つため、基底の濃度は群のランクと呼ばれる不変量を形成します。 ^{[28] [29]} 2つの自由アーベル群は、同じランクを持つ場合にのみ同型です。^[4]自由アーベル群が有限生成であるための必要十分条件は、そのランクが有限数 である場合であり、この場合、群は と同型です。^[30]${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

この階数の概念は、自由アーベル群から必ずしも自由ではないアーベル群まで一般化できる。アーベル群の階数は、 商群が捩れ群である の自由アーベル部分群の階数として定義される。同様に、自由部分群を生成するのはの最大部分集合の濃度である。階数は群不変量であり、部分群の選択に依存しない。^[31]${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/F}$${\displaystyle G}$

自由アーベル群のすべての部分群は、それ自体が自由アーベル群である。リチャード・デデキント^{[32]のこの結果は、}自由群のすべての部分群は自由であるという類似のニールセン・シュライアー定理の前身であり、無限巡回群のすべての非自明な部分群は無限巡回であるという事実の一般化である。証明には選択公理が必要である。^[25]ツォルンの補題（選択公理と同等の仮定の1つ）を使用した証明は、セルジュ・ラングの『代数』に記載されている。^[33]ソロモン・レフシェッツとアーヴィング・カプランスキーは、ツォルンの補題の代わりに整列原理を使用すると、より直感的な証明につながると主張している。 ^[14]

有限生成自由アーベル群の場合、証明はより簡単で、選択公理を必要とせず、より正確な結果につながります。 が有限生成自由アーベル群 の部分群である場合、 は自由であり、および正の整数の基底（つまり、それぞれが次の整数を割り切る）が存在し、 はの基底になります。さらに、シーケンスはとのみに依存し、基底には依存しません。^[34]定理の存在部分の構成的証明は、整数の行列のスミス正規形を計算する任意のアルゴリズムによって提供されます。 ^[35]一意性は、任意の に対して、行列の階数の小数の最大公約数がスミス正規形の計算中に変更されず、計算の最後に積になるという事実から得られます。 ^[36]${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r\leq k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$

すべての自由アーベル群は捩れなしである。つまり、となる非単位群元と非零整数は存在しない。逆に、有限生成の捩れなしアーベル群はすべて自由アーベル群である。^{[9] [37]}${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle nx=0}$

有理数の加法群は、自由アーベル群ではない、捩れのない（しかし有限生成ではない）アーベル群の例である。^[38]が自由アーベル群でない理由の1つは、それが割り切れることである。つまり、あらゆる元とあらゆる非ゼロの整数について、別の元 の スカラー倍数として表すことが可能である。対照的に、非自明な自由アーベル群は決して割り切れない。なぜなら、自由アーベル群では基底元を他の元の倍数として表すことができないからである。^[39]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ny}$${\displaystyle y=x/n}$

任意の群の対称性は、群の自己同型、すなわち群からそれ自身への可逆な準同型として記述できる。非アーベル群では、これらはさらに内部自己同型と外部自己同型に細分されるが、アーベル群では、すべての非恒等自己同型は外部自己同型である。これらは、合成の操作の下で、別の群、すなわち与えられた群の自己同型群を形成する。有限ランクの自由アーベル群の自己同型群は一般線型群であり、これは（自由自己同型群の特定の基底に対して）行列乗算の操作の下で可逆な整数行列の集合として具体的に記述できる。自由アーベル群に対する対称性としてのそれらの作用は、単に行列ベクトル乗算である。^[40]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

2 つの無限階数自由アーベル群の自己同型群は、それらの階数が二階論理の観点から同値基数である場合に限り、互いに同じ一階理論を持ちます。この結果は、自由アーベル群の反転、つまりそれ自身の逆である自己同型の構造に依存します。自由アーベル群の基底が与えられれば、基底元の任意の互いに素なペアの集合を互いに写像する反転、または基底元の任意の選択されたサブセットを否定し、他の基底元を固定したままにする反転を見つけることができます。逆に、自由アーベル群のすべての反転に対して、反転によってすべての基底元がペアで交換されるか、否定されるか、または変更されないままになるグループの基底を見つけることができます。^[41]

自由アーベル群が2つの群の商である場合、 は直和 である。^[4]${\displaystyle A/B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B\oplus A/B}$

任意のアーベル群 が与えられたとき、から への自由アーベル群と全射群準同型が常に存在する。与えられた群への全射を構築する一つの方法は、上の自由アーベル群を、形式的和として表すことである。すると、 の形式的和を の対応する要素の和に写像することによって全射を定義できる。つまり、全射は を写像する。 ここで は与えられた形式的和における基底元の整数係数であり、最初の和は に、2 番目の和は にそれぞれ存在する。^{[29] [42]}この全射は関数 を拡張する唯一の群準同型であり、そのためその構築は普遍性の一例とみなすことができる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$$${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle e_{x}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$

と が上記の通りのとき、から への射影の核も自由アーベルである。 これは、 （恒等写像された元の部分群）の部分群だからである。したがって、これらの群は、 とが自由アーベルであり、 が因子群に同型であるような短い完全列を形成する。これは の自由分解である。^[2] さらに、選択公理を仮定すると、^[43]自由アーベル群はまさにアーベル群 のカテゴリにおける射影対象である。^{[4] [44]}${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$ $${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F/G}$${\displaystyle A}$

代数的位相幾何学では、次元単体の形式的な和は -連鎖と呼ばれ、-単体の集合を基底とする自由アーベル群は連鎖群と呼ばれる。^[45]単体は一般に何らかの位相空間から取られ、例えば単体複体における -単体の集合、または多様体における特異-単体の集合として取られる。任意の-次元単体は -次元単体の形式的な和として表すことができる境界を持ち、自由アーベル群の普遍的性質により、この境界演算子を-連鎖から -連鎖への群準同型に拡張することができる。このように境界演算子によってリンクされた連鎖群のシステムは連鎖複体を形成し、連鎖複体の研究はホモロジー理論の基礎を形成する。^[46]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k-1)}$

複素数上のすべての有理関数は、複素数の符号付き多重集合、関数の零点と極(値がゼロまたは無限大である点)に関連付けることができます。この多重集合内の点の多重度は、関数の零点としての位数、または極としての位数の否定です。次に、関数自体は、スカラー因子を除いて、このデータから次のように復元できます。 これらの多重集合が複素数上の自由アーベル群のメンバーとして解釈される場合、2 つの有理関数の積または商は、2 つのグループのメンバーの和または差に対応します。したがって、有理関数の乗法群は、複素数の乗法群 (各関数に関連付けられたスカラー因子) と複素数上の自由アーベル群に因数分解できます。無限大でゼロ以外の極限値を持つ有理関数 (リーマン球面上の有理型関数) は、このグループの多重度の合計がゼロになるサブグループを形成します。^[47]${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$$${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$$

この構成は、代数幾何学において、因子の概念に一般化されている。因子にはさまざまな定義があるが、一般的には、代数多様体の余次元 1 の部分多様体、つまり多項式方程式系の解の点の集合の抽象化を形成する。方程式系の自由度が 1 の場合 (その解は代数曲線またはリーマン面を形成する)、部分多様体は孤立した点からなるときに余次元 1 を持ち、この場合も因子は多様体からの点の符号付き多重集合である。^[48]コンパクトなリーマン面上の有理型関数は有限個の零点と極を持ち、その因子は面上の点上の自由アーベル群の部分群を形成し、関数の乗算または除算は群の元の加算または減算に対応する。自由アーベル群の元が因子となるためには、重複度の総和がゼロでなければならず、曲面に応じて特定の追加制約を満たしていなければならない。^[47]

任意の 群 に対して、整群環 は加法群が 上の自由アーベル群である環である。^[49]が有限かつアーベルである場合、の単位の乗法群は有限群と有限生成自由アーベル群の直積の構造を持つ。^{[50] [51]}${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$