パリティ（数学）

数学において、パリティとは整数が偶数か奇数かという性質のことである。整数は2で割り切れる場合は偶数、割り切れない場合は奇数である。^[1]たとえば、-4、0、82は偶数であり、-3、5、7、21は奇数である。

上記のパリティの定義は整数にのみ適用されるため、1/2 や 4.201 などの数には適用できません。パリティの概念をより大きなクラスの「数」または他のより一般的な設定に拡張したものについては、以下の「高等数学」のセクションを参照してください。

偶数と奇数は逆の奇偶を持ちます。たとえば、22 (偶数) と 13 (奇数) は逆の奇偶を持ちます。特に、ゼロの奇偶は偶数です。^{[2]連続する 2 つの整数は逆の奇偶を持ちます。10}進数で表された数 (つまり整数) は、最後の桁が偶数か奇数かによって偶数か奇数になります。つまり、最後の桁が 1、3、5、7、または 9 の場合は奇数です。それ以外の場合は偶数です。偶数の最後の桁は 0、2、4、6、または 8 です。同じ考え方は、任意の偶数基数を使用しても機能します。特に、2 進数で表された数は、最後の桁が 1 の場合は奇数であり、最後の桁が 0 の場合は偶数です。奇数基数では、数はその桁の合計によって偶数になります。つまり、その桁の合計が偶数の場合のみ、数が偶数になります。^[3]

意味

偶数とは kが整数である形式の整数である。 [ ^4]奇数とはkが整数である形式の整数である。 $x=2k$ $x=2k+1.$

同等の定義は、偶数は2 で割り切れ、奇数は 2 で割り切れないということです。 $2\ |\ x$ $2\not |\ x$

偶数と奇数の集合は次のように定義できる。[ 5 ^] $\{2k:k\in \mathbb {Z} \}$ $\{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}$

偶数の集合はの素イデアルであり、商環はの 2 つの元を持つ体です。パリティは、奇数が 1、偶数が 0 であるからへの唯一の環準同型として定義できます。この準同型の結果については、以下で説明します。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

プロパティ

以下の法則は、割り切れる性質を使って検証できます。これらはモジュラ算術の規則の特殊なケースであり、各辺の偶奇性をテストすることで等式が正しいかどうかを確認するためによく使用されます。通常の算術と同様に、乗算と加算は法 2 の算術では交換法則と結合法則があり、乗算は加算に対して分配法則があります。ただし、法 2 の減算は加算と同じであるため、減算にもこれらの性質があり、これは通常の整数算術には当てはまりません。

足し算と引き算

偶数 ± 偶数 = 偶数; ^[1]
偶数±奇数 = 奇数; ^[1]
奇数±奇数＝偶数^[1]

乗算

偶数×偶数=偶数; ^[1]
偶数×奇数=偶数; ^[1]
奇数×奇数=奇数; ^[1]

前のセクションの構築により、構造 ({even, odd}, +, ×) は実際には2 つの要素を持つ体になります。

分割

2つの整数を割っても必ずしも整数になるわけではありません。例えば、1を4で割ると1/4になりますが、これは偶数でも奇数でもありません。なぜなら、偶数と奇数の概念は整数にのみ適用されるからです。しかし、商が整数の場合、被除数が除数よりも 2の因数が多い場合にのみ、商は偶数になります。^[6]

歴史

古代ギリシャ人は、1、つまりモナドは完全に奇数でも完全に偶数でもないと考えていた。^[7]この考え方の一部は19世紀まで生き残った。フリードリヒ・ヴィルヘルム・アウグスト・フレーベルの1826年の著書『人間の教育』では、教師は生徒に1は偶数でも奇数でもないという主張を徹底するよう指示しているが、フレーベルはこれに哲学的な後付けの考えを付け加えている。

ここで、生徒の注意を自然と思考の大きな法則に向けるのがよい。それは、相対的に異なる 2 つの事物または考えの間には、常に 3 番目のものがあり、それがバランスを保って 2 つを結合しているように見えることである。したがって、ここでは奇数と偶数の間に、どちらでもない 1 つの数 (1) がある。同様に、形式では、直角が鋭角と鈍角の間にあり、言語では、半母音または求心音が無音と母音の間にある。思慮深い教師と、自分で考えるように教えられた生徒は、この法則やその他の重要な法則に気付かずにはいられない。^[8]

高等数学

高次元とより一般的な数のクラス

各白のビショップは同じパリティのマス目に限定されます。黒のナイトは交互のパリティのマス目にのみジャンプできます。

2次元以上のユークリッド空間における点の整数座標にもパリティがあり、これは通常、座標の和のパリティとして定義されます。たとえば、面心立方格子とその高次元一般化（D _n 格子）は、座標の和が偶数であるすべての整数点で構成されます。^{[9]この特徴は}チェスにも現れており、正方形のパリティはその色で示されます。ビショップは同じパリティの正方形の間で移動するように制限されますが、ナイトは移動ごとにパリティを交互に切り替えます。 [ ^{10]この形式のパリティは、}破壊されたチェス盤問題を解決するためによく使用されました。チェス盤から2つの反対側の角の正方形を削除すると、残りのボードをドミノで覆うことはできません。これは、各ドミノが各パリティの正方形を1つずつ覆い、一方のパリティの正方形がもう一方のパリティの正方形よりも2つ多いためです。^[11]

順序数の偶奇性は、その数が極限順序数であるか、または極限順序数に有限の偶数を加えたものである場合は偶数と定義され、それ以外の場合は奇数と定義される。^[12]

R を可換環とし、I をR の指数 2 のイデアルとします。剰余類の元は偶数、剰余類の元は奇数と呼ばれます。例として、 $R$ $=$ $Z$ $(2) を$ 素イデアル(2)におけるZの局所化とします。すると、 Rの元が偶数か奇数になるのは、その分子がZにおいて偶数か奇数である場合に限ります。 $0+I$ $1+I$

数論

偶数は整数環においてイデアルを形成しますが^[13]、奇数は形成しません。これは、加算の単位元であるゼロが偶数のみの元であるという事実から明らかです。整数は、このイデアルを法として 0 と合同である場合、つまり 2 を法として 0 と合同である場合に偶数であり、2 を法として 1 と合同である場合に奇数です。

素数2を除いて、すべての素数は奇数である。 ^[14]既知の完全数はすべて偶数である。奇数の完全数が存在するかどうかは不明である。^[15]

ゴールドバッハの予想は、2より大きいすべての偶数は2つの素数の和として表すことができるというものである。現代のコンピュータ計算では、この予想は少なくとも4× ¹⁰¹⁸までの整数に対して正しいことがわかっているが、一般的な証明はまだ見つかっていない。^[16]

群論

順列の偶奇性（抽象代数で定義）は、順列を分解できる転置の数の偶奇性です。 ^[17]たとえば、(ABC) から (BCA) は、A と B、次に C と A を入れ替えることで実現できるため、偶数です（2 つの転置）。どの順列も、転置の数が偶数と奇数の両方で分解できないことは示せます。したがって、上記は適切な定義です。ルービックキューブ、メガミンクス、その他のツイストパズルでは、パズルの動きによってパズルピースの偶数順列のみが許可されるため、これらのパズルの構成空間を理解する上で偶奇性が重要です。^[18]

フェイト・トムソン定理は、有限群の位数が奇数であれば、その群は常に解けるということを述べている。これは、「奇数位数」という単純な仮説の適用方法が決して明白ではない高度な数学定理において、奇数が役割を果たしている例である。^[19]

分析

関数のパリティは、その引数をその否定と交換したときにその値がどのように変化するかを表します。変数の偶数乗などの偶関数は、任意の引数に対してその否定と同じ結果を返します。変数の奇数乗などの奇関数は、任意の引数に対して、その引数の否定が与えられたときにその結果の否定を返します。関数が奇数でも偶数でもない可能性があり、f ( x ) = 0 の場合は、奇数と偶数の両方になる可能性があります。^[20]偶関数のテイラー級数には、指数が偶数の項のみが含まれ、奇関数のテイラー級数には、指数が奇数の項のみが含まれます。^[21]

組み合わせゲーム理論

組合せゲーム理論では、邪悪な数とは2進数表現で1が偶数個ある数であり、嫌悪な数とは2進数表現で1が奇数個ある数である。これらの数はケイルズゲームの戦略において重要な役割を果たす。^[22]パリティ関数は、数を2を法として2進数表現の1の数にマッピングするため、その値は邪悪な数の場合は0、嫌悪な数の場合は1となる。0と1の無限列であるトゥエ・モース数列では、 iが邪悪な場合、位置iに0が、嫌悪な場合、その位置に1が入る。^[23]

追加のアプリケーション

情報理論では、2進数に付加されたパリティビットは、最も単純な形式の誤り検出コードを提供します。結果の値の1ビットが変更されると、正しいパリティがなくなります。元の数値のビットを変更すると、記録されたパリティとは異なるパリティが与えられ、パリティビットを変更しても元の数値を変更しないと、誤った結果が生成されます。このようにして、すべての単一ビットの伝送エラーを確実に検出できます。^[24]より洗練された誤り検出コードの中には、元のエンコードされた値のビットのサブセットに複数のパリティビットを使用することに基づいたものもあります。^[25]

クラリネットのマウスピースのように、円筒形の管を持ち、実質的に一端が閉じられた管楽器では、生成される倍音は基本周波数の奇数倍になります。（両端が開いた円筒形のパイプ（例えばオープンディアパゾンなどの一部のオルガンストップで使用される）では、倍音は与えられた管の長さに対して同じ周波数の偶数倍になりますが、これにより基本周波数が2倍になり、この基本周波数のすべての倍数が生成されるという効果があります。）倍音列（音楽）を参照してください。^[26]

一部の国では、通りの片側にある家屋に偶数番号、反対側にある家屋に奇数番号が付けられるようになっています。[ ^27]同様に、米国の高速道路では、偶数は主に東西方向の高速道路を示し、奇数は主に南北方向の高速道路を示しています。^{[28]航空会社の}フライト番号では、偶数は通常東行きまたは北行きのフライトを識別し、奇数は西行きまたは南行きのフライトを識別します。^[29]

参照

参考文献

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意味