環（数学）

本稿の用語では、環は乗法単位元を持つものとして定義される。一方、同じ公理的定義を持つが乗法単位元を必要としない構造は、 「i」が欠落した「rng」（IPA: / r ʊ ŋ /）と呼ばれる。例えば、通常の+と⋅を持つ偶数の集合はrngであるが、環ではない。後述の§ 歴史で説明するように、多くの著者は乗法単位元を必要とせずに「環」という用語を使用している。

環の加算は可換ですが、環の乗算は必ずしも可換である必要はありません。つまり、ab は必ずしもbaと等しくなくてもよいのです。乗算についても可換性を満たす環（例えば整数環）は可換環と呼ばれます。可換代数や代数幾何学に関する書籍では、用語を簡略化するために、しばしば「環」を「可換環」と表記する慣習が用いられます。

環においては、乗法逆元が存在する必要はない。すべての非零元が乗法逆元を持つ非零環を除法環といい、可換除法環を体と呼ぶ。

環の加法群は、加算演算のみを備えた基礎集合です。定義上、加法群はアーベル群である必要がありますが、これは他の環の公理から推論できます。^{[ 4 ]}この証明は「1」を使用しており、乱数生成器では機能しません。（乱数生成器の場合、加算の可換性の公理を省略すると、残りの乱数生成器の仮定から推論できるのは、積である要素（ab + cd = cd + ab）の場合のみになります。）

一部の著者は、乗法が結合法則を満たす必要がない構造を指すために「環」という用語を使用しています。 以下の非結合環の項を参照してください。^{[ 5 ]}これらの著者にとって、すべての代数は「環」です。

環の基本的な性質のいくつかは、公理から直ちに導かれる。

• 加法的な恒等式は一意である。
• 各要素の加法逆元は一意である。
• 乗法単位元は一意である。
• 環Rの任意の要素xに対して、x 0 = 0 = 0 x (ゼロは乗法に関して吸収要素である) および(–1) x = – x が成り立つ。
• 環Rにおいて0 = 1である場合(より一般的には、0は単位元である場合)、R は1 つの元しか持たず、零環と呼ばれます。
• 環Rが零環を部分環として含む場合、R自体が零環である。^{[ 6 ]}
• 二項式の公式は、 xy = yxを満たす任意のxとyに対して成り立ちます。

セットを装備する${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$以下の操作を行います。

• 合計$\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$で⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$⁠は、整数x + yを4で割った（ x + yは常に8より小さい、この余りはx + yまたはx + y − 4のいずれかです）。たとえば、${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$そして${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• この製品は$\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$で⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$は、整数xy を4で割った。例えば、${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$そして${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

それから${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$は環である。各公理は、対応する公理から導かれる。${\displaystyle \mathbb {Z} .}$xが整数の場合、 xを4で割った余りは、次の要素とみなすことができます。${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,}$そしてこの要素はしばしば「 x mod 4」または${\displaystyle {\overline {x}},}$これは、0、1、2、3の表記と一致します。任意の加法逆元${\displaystyle {\overline {x}}}$で⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$⁠は${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}$例えば、${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

体Fの要素を持つ2 × 2正方行列の集合は^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}です。

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

行列の加算と行列の乗算の演算により、${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$上記の環の公理を満たす。${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$は環の乗法単位元です。${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$そして${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$それから${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$その間${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$この例は、この環が非可換であることを示している。

より一般的には、可換環であるか否かを問わず任意の環Rと任意の非負整数nに対して、Rの要素を持つn × nの正方行列は環を形成します。行列環を参照してください。

環の研究は、多項式環の理論と代数的整数の理論から始まった。^{[ 11 ]} 1871年、リヒャルト・デデキントは数体の整数環の概念を定義した。^{[ 12 ]}この文脈で、彼は「イデアル」（エルンスト・クンマーの理想数の概念に触発されたもの）と「加群」という用語を導入し、それらの性質を研究した。デデキントは「環」という用語を使用せず、一般的な設定で環の概念を定義しなかった。

「数環」（Zahlring）という用語は、1892年にダフィット・ヒルベルトによって造語され、1897年に発表されました。 ^{[ 13 ]}ハーヴェイ・コーンによれば、ヒルベルトはこの用語を、同値関係の意味で「直接元の要素に戻る」性質を持つ環に用いました。^{[ 14 ]}具体的には、代数的整数の環では、代数的整数のすべての高次のべき乗は、固定された低次のべき乗の整数比として表すことができ、したがってべき乗は「循環する」ことになります。例えば、a³ − 4a + 1 = 0 の場合、次のように^なります。

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

などなど。一般に、a ⁿは1、a、およびa ²の整数線形結合になります。

環の最初の公理的定義は、 1915 年にアブラハム・フランケルによって与えられましたが、^{[ 15 ] [ 16 ]}彼の公理は現代の定義の公理よりも厳格でした。たとえば、彼はすべての非零因子が乗法逆元を持つことを要求しました。^{[ 17 ]} 1921 年に、エミー・ネーターは、可換環（1 を含む場合と含まない場合）の現代的な公理的定義を与え、論文「Idealtheorie in Ringbereichen」で可換環論の基礎を発展させました。^{[ 18 ]}

フランケルは乗法的な恒等式を含む公理を持つ構造に「環」という用語を適用したが^{[ 19 ]}、ノーターはそうでない構造に適用した^{[ 18 ] 。}

1960 年頃までの代数学に関するほとんど、あるいはすべての書籍^{[ 20 ] [ 21 ]}は、ノーターの慣例に従い、「環」に1 を必要としませんでした。1960 年代以降、特に Artin [ ^{22 ]、Bourbaki [ 23 ] 、} Eisenbud ^{[ 24 ]}、Lang [ 3 ] などの著名な著者による高度な書籍では、「環」の定義に 1 の存在を含めることがますます一般的になりました。2022^年までに出版さ^{れた書籍の中には、} 1を必要としない用語を使用しているものもあります。^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}同様に、数学百科事典で^は、環に単位元を必要としません。^{[ 29 ]}研究論文では、著者は論文の冒頭でどの環の定義を使用しているかを明記することがよくあります。

ガードナーとウィーガントは、環のカテゴリーで複数の対象を扱う場合（固定された環を扱う場合とは異なり）、すべての環に1 が存在することを要求すれば、無限の環の直和が存在しないことや、環の真の直和因子が部分環ではないことなどの結果が生じると主張している。彼らは、「環論の多くの、おそらくほとんどの分野では、単位元の存在を要求することは理にかなっておらず、したがって受け入れられない」と結論付けている。 ^{[ 30 ]}プーネンは、環の自然な概念は直和ではなく直積であると反論している。しかし、彼の主な主張は、乗法単位元を持たない環は、空列を含む有限の環要素列の積を含まないという意味で、完全に結合的ではないということである。^{[ c ] [ 31 ]}

「リング」という用語の使用に関して、いずれかの慣例に従う著者は、他方の慣例を満たす対象を指すために、以下のいずれかの用語を使用することができます。

• 乗法的な単位元を要件として含める: "単位元を持つ環", "単位元を持つ環", "単位元を持つ環", "単位元を持つ環", ^{[ 32 ]}または "1 を持つ環 " ^{[ 33 ] 。}
• 乗法単位の要件を省略する:「rng」^{[ 34 ]}または「擬似環」^{[ 35 ]。}ただし、後者は他の意味もあるため紛らわしいかもしれない。

• 典型的な例は、加算と乗算という2つの演算を持つ整数環である。
• 有理数、実数、複素数は、体と呼ばれる種類の可換環である。
• 可換環R上の単位元を持つ結合代数は、それ自体が環であると同時にR加群でもある。いくつかの例を挙げる。
  • R [ X ]は、 Rの係数を持つ多項式の代数です。
  • 代数${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$Rの係数を持つ形式的べき級数の。
  • 実数直線上で定義されたすべての連続実数値関数の集合は可換集合を形成する。${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ -代数。演算は関数の点ごとの加算と乗算です。
  • Xを集合とし、Rを環とする。このとき、 XからRへのすべての関数の集合は環を形成し、Rが可換環であれば、その集合も可換環となる。
• 二次整数環、の整閉包${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠の二次拡張において⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$それは、すべての代数的整数の環の部分環です。
• プロ有限整数 の環${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$p進整数環の（無限）積${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$⁠すべての素数pについて。
• ヘッケ環とは、ヘッケ演算子によって生成される環のことである。
• Sが集合である場合、加算を集合の対称差、乗算を集合の共通部分と定義すると、 Sの冪集合は環になります。これはブール環の一例です。

• 任意の環Rと任意の自然数nに対して、 Rの要素を持つすべてのn × n正方行列の集合は、行列の加算と乗算を演算とする環を形成します。n = 1の場合、この行列環はR自体と同型です。n > 1 (かつRが零環でない場合) の場合、この行列環は非可換です。
• Gがアーベル群である場合、Gの自己準同型写像は環を形成し、これをGの自己準同型環End( G )と呼びます。この環における演算は、自己準同型写像の加算と合成です。より一般的に、V が環R上の左加群である場合、すべてのR線形写像の集合は環を形成し、これも自己準同型環と呼ばれ、End _R ( V )と表記されます。 
• 楕円曲線の自己準同型環。楕円曲線が標数ゼロの体上で定義されている場合、自己準同型環は可換環となる。
• Gが群でRが環である場合、 R上のGの群環は、Gを基底とするR上の自由加群です。乗法は、Gの要素がRの要素と可換であり、群Gにおける乗法と同様に互いに乗算されるという規則によって定義されます。
• 微分作用素の環（文脈による）。実際、解析学に現れる環の多くは非可換である。例えば、ほとんどのバナッハ環は非可換である。

• 自然数 の集合${\displaystyle \mathbb {N} }$通常の操作ではリングではない、なぜなら${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$は群ですらない（すべての要素が加算に関して可逆ではない。例えば、 3に加えて0になるような自然数は存在しない）。負の数を含めて整数環を作ることで、自然な方法で環に拡張することができる。${\displaystyle \mathbb {Z} .}$自然数（ 0を含む）は、半環と呼ばれる代数構造を形成します（半環は、加法逆元の公理を除く、環のすべての公理を備えています）。
• R を、関数に依存する有界区間の外側でゼロになる実数直線上のすべての連続関数の集合とする。加算は通常通りだが、乗算は畳み込みとして定義される。$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$するとRは乱数群ではあるが環ではない。ディラックのデルタ関数は乗法単位元の性質を持つが関数ではないためRの要素ではない。 

各非負整数nに対して、数列⁠${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$Rのn個の要素の積を定義することができる。${\displaystyle \textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$再帰的に: P ₀ = 1とし、 1 ≤ m ≤ nに対してP _m = P _{m −1} a _mとする。

特殊なケースとして、環の要素aの非負整数乗を定義することができます。a ⁰ = 1およびa ⁿ = a ^{n −1} a ( n ≥ 1の場合) 。すると、すべてのm、n ≥ 0に対してa ^{m + n} = a ^m a ⁿとなります。

環Rの左零因子とは、環の要素aであって、 ab = 0となるようなRの非零要素bが存在するような要素 a のことである。^{[ d ]}右零因子も同様に定義される。

冪零元とは、あるn > 0に対してa ⁿ = 0となるような元aのことである。冪零元の一例として、冪零行列が挙げられる。非零環における冪零元は、必ず零因子である。

冪等${\displaystyle e}$は、 e ² = eとなる要素です。冪等要素の一例として、線形代数における射影が挙げられます。

単位元とは、乗法逆元を持つ要素a のことです。この場合、逆元は一意であり、a ^–1と表記されます。環の単位元の集合は、環の乗法に関する群であり、この群はR ^×またはR *またはU ( R )と表記されます。例えば、Rが体上のnサイズの正方行列の環である場合、R ^{× は}nサイズの可逆行列の集合からなり、一般線形群と呼ばれます。

Rの部分集合Sは、以下のいずれかの同値条件が成り立つ場合、部分環と呼ばれる。

• R の加算と乗算は、演算S × S → Sに制限され、 SはRと同じ乗法単位元を持つ環になります。 
• 1 ∈ S ; また、Sのすべてのx, yに対して、要素xy、x + y、および−xはSに含まれる。 
• S には、包含写像S → Rが環準同型となるような演算を追加して環にすることができる。

例えば、指輪${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数環は実数体の部分環であり、多項式 環の部分環でもある。${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$（どちらの場合も、）${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠には 1 が含まれます 。これは、より大きな環の乗法単位元です。一方、偶数の部分集合は⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$は単位元1を含まないため、 の部分環として適格ではない。 ${\displaystyle \mathbb {Z}$ ;} ⁠と呼べる人もいるだろう⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ただし、 subrngです。

部分環の共通部分は部分環である。Rの部分集合Eが与えられたとき、Eを含むRの最小の部分環は、 Eを含むRのすべての部分環の共通部分であり、 Eによって生成される部分環と呼ばれる。  

環Rにおいて、 Rの最小の部分環をRの特性部分環と呼びます。これは1と−1を足し合わせることで生成できます。n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( n回) がゼロになることもあります。nがこのような最小の正の整数である場合、n をRの特性と呼びます。一部の環では、任意の正の整数nに対してn · 1がゼロになることはなく、そのような環は特性がゼロであると言われます。  

環Rが与えられたとき、Z( R )を、 Rのすべての要素xと可換である R のすべての要素xの集合とします。つまり、任意のyに対してxy = yx が成り立ちます。このとき、Z ( R )はRの部分環であり、Rの中心と呼ばれます。より一般的に、 Rの部分集合Xが与えられたとき、S を、 Xのすべての要素と可換であるRのすべての要素の集合とします。このとき、SはRの部分環であり、Xの中心化群(または可換群)と呼ばれます。中心は、環R全体の中心化群です。中心の要素または部分集合は、Rの中心であると言われます。それらは (それぞれ個別に) 中心の部分環を生成します。         

Rを環とする。Rの左イデアルとは、 Rの空でない部分集合Iであって、 Iの任意のx, yとRの任意のrに対して、x + yとrxがIに含まれるようなものである。RIをIのRスパン、すなわち有限和の集合とする。

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I;}$

RI ⊆ Iの場合、 I は左イデアルである。同様に、IR ⊆ IとなるようなI の部分集合は右イデアルである。部分集合Iが左イデアルかつ右イデアルである場合、I は両側イデアルまたは単にイデアルと呼ばれる。片側イデアルまたは両側イデアルは、Rの加法部分群である。E が R の部分集合である場合、REは左イデアルであり、 Eによって生成される左イデアルと呼ばれる。これは、 Eを含む最小の左イデアルである。同様に、 Rの部分集合によって生成される右イデアルまたは両側イデアルを考えることができる。

xがRに属するとき、Rxは左イデアル、xRは右イデアルです。これらは、xによって生成される主左イデアルおよび主右イデアルと呼ばれます。主イデアルRxRは( x )と表記されます。例えば、 2の正負の倍数と0の集合は整数のイデアルを形成し、このイデアルは整数2によって生成されます。実際、整数環のすべてのイデアルは主イデアルです。 

環が単純であるとは、その環が零元ではなく、かつ真の零でない両側イデアルを持たない場合をいう。可換単純環は、まさに体である。

環は、そのイデアルに特別な条件を課して研究されることが多い。例えば、左イデアルの厳密に増加する無限鎖が存在しない環は、左ネーター環と呼ばれる。左イデアルの厳密に減少する無限鎖が存在しない環は、左アルティン環と呼ばれる。左アルティン環が左ネーター環であることは、やや意外な事実である（ホプキンス・レビツキーの定理）。しかし、整数はネーター環を形成するが、アルティン環ではない。

可換環の場合、イデアルは代数学における整数の素数分解と整除性という古典的な概念を一般化したものである。R の真イデアルPは、任意の元に対して が成り立つ場合に素イデアルと呼ばれる。${\displaystyle x,y\in R}$私たちはそれを持っています${\displaystyle xy\in P}$どちらかを意味する${\displaystyle x\in P}$または${\displaystyle y\in P.}$言い換えれば、任意のイデアルI、Jに対して、IJ ⊆ PならばI ⊆ PまたはJ ⊆ Pのいずれかが成り立つ場合、 Pは素数である。この後者の定式化は、イデアルが要素の一般化であるという考え方を示している。

環( R , +, ⋅ )から環( S , ‡, ∗)への準同型写像とは、環演算を保存するRからSへの関数f のことである。すなわち、すべてのa , b ∈ Rに対して、次の恒等式が成り立つような関数である。 

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

乱数生成器を使用している場合は、3番目の条件は不要になります。

環準同型fは、 fの逆準同型(つまり、逆関数である環準同型)が存在する場合、または同等に全単射である場合に同型であると言われます。

例：

• 各整数x を4で割った余り( {0, 1, 2, 3}の数) に写像する関数は、環 ⁠ からの準同型写像である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$商環へ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$（「商環」の定義は後述します。）
• uが環Rの単位元である場合、${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$は環準同型であり、Rの内部自己同型と呼ばれる。
• R を素数標数pの可換環とする。このとき、x ↦ x ^pはRの環自己準同型であり、フロベニウス準同型と呼ばれる。
• 体拡大L / Kのガロア群とは、 Lの自己同型写像​​のうち、 Kへの制限が恒等写像となるものの集合である。
• 任意の環Rに対して、一意の環準同型が存在する。${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$⁠ 、そして一意の環準同型が存在する${\displaystyle R\to 0}$⁠ .
• k代数からk上のベクトル空間の自己準同型代数への代数準同型は、代数の表現と呼ばれます。

環準同型f  : R → Sが与えられたとき、 fによって 0 に写像されるすべての要素の集合をfの核と呼びます。核はRの両側イデアルです。一方、fの像は必ずしもイデアルではありませんが、常にSの部分環です。    

可換環Rから環Aへの環準同型写像を与え、その像がAの中心に含まれるようにすることは、R上の代数の構造をAに与えることと同じである（特に、これはA加群の構造を与える）。 

商環の概念は、商群の概念と類似している。環( R , +, ⋅ )と( R , +, ⋅ )の両側イデアルIが与えられたとき、I を( R , + )の部分群とみなすと、商環R / Iは、 Iの剰余類と演算の集合となる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

すべてのa、b ∈ Rに対して。環R / Iは因子環とも呼ばれる。

商群と同様に、正準準同型写像p  : R → R / Iが存在し、これはx ↦ x + Iで与えられる。これは全射であり、次の普遍性を満たす。

• f  : R → Sがf ( I ) = 0を満たす環準同型である場合、一意の準同型が存在する。${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$そのため${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

任意の環準同型f  : R → Sに対して、 I = ker fという普遍性を用いると準同型が得られる。${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$これは、 R / ker fからfの像への同型写像を与える。

RとSを環とする。このとき、積R × Sには以下の自然な環構造が備わる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

Rのすべてのr ₁、r ₂とSのすべてのs ₁、s ₂について。上記の加算と乗算の演算と乗法単位元(1, 1)を持つ環R × Sは、 RとSの直積と呼ばれます。同じ構成は任意の環の族にも適用できます。R _{i が}集合I でインデックス付けされた環である場合、  ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$これは、要素ごとの加算と乗算を持つ環です。

Rを可換環とし、${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$次のような理想とする${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$i ≠ jの場合、中国剰余定理によれば、標準的な環同型が存在する。 $${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

「有限」直積は、イデアルの直和とみなすこともできる。^{[ 36 ]}すなわち、${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$指輪、${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$画像に含まれるもの${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$（特に${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$（ただし部分環ではない）${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$Rのイデアルであり、 $${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$ アーベル群の直和として（アーベル群では有限積は直和と同じであるため）。明らかに、このようなイデアルの直和は、Rと同型な環の積も定義します。同等に、上記は中心冪等元を通して行うことができます。R が上記の分解を持つと仮定します。すると、次のように書くことができます。  $${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$ 条件により${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$e _iは中心冪等元であり、 e _i e _j = 0、i ≠ j (直交) である。ここでも、構成を逆にすることができる。すなわち、直交中心冪等元による 1 の分割が与えられた場合、${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$これらは両側イデアルです。各e _{iが直交中心冪等元}^{[ e ]}の和でない場合、それらの直和はRと同型です。 

無限直積の重要な応用例の一つは、環の射影極限の構成である（下記参照）。もう一つの応用例は、環族の制限積である（アデル環参照）。

記号t (変数と呼ばれる) と可換環Rが与えられたとき、多項式の集合は 

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

通常の加算と乗算を持つ可換環を形成し、R を部分環として含む。これはR上の多項式環と呼ばれる。より一般的には、集合は ${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$変数に関するすべての多項式の${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$可換環を形成し、${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$部分環として。

Rが整域であるならば、R [ t ]も整域であり、その分数体は有理関数体である。R がネーター環であるならば、 R [ t ]もネーター環である。Rが一意分解整域であるならば、R [ t ]も一意分解整域である。最後に、Rが体であるのは、 R [ t ]が主イデアル整域である場合に限る。

させて${\displaystyle R\subseteq S}$可換環である。Sの要素xが与えられたとき、環準同型を考えることができる。 

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

（つまり、置換）。S = R [ t ]かつx = tの場合、f ( t ) = fとなります。このため、多項式fはf ( t )とも表記されることがよくあります。マップのイメージ⁠${\displaystyle f\mapsto f(x)}$⁠はR [ x ]で表されます。これは、 Rとxによって生成されるSの部分環と同じです。 

例：${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$は準同型写像の像を表す

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

言い換えれば、それはt ²とt ³によって生成されるk [ t ]の部分代数です。 

例：f を1 変数の多項式、つまり多項式環Rの要素とします。このとき、f ( x + h )はR [ h ]の要素であり、f ( x + h ) – f ( x )はその環でhで割り切れます。 ( f ( x + h ) – f ( x )) / hにhを代入した結果は、 fのxにおける導関数であるf' ( x )です。 

置換は多項式環の普遍性の一特殊な場合である。その性質は次のように述べている。環準同型が与えられたとき、${\displaystyle \phi :R\to S}$Sの要素xに対して一意の環準同型が存在する${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$そのため${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$そして${\displaystyle {\overline {\phi }}}$ϕに制限する。^{[ 37 ]}例えば、基底を選択すると、対称代数は普遍性を満たすため、多項式環となる。

例として、S をRから R 自身へのすべての関数の環とします。加算と乗算は関数の加算と乗算です。xを恒等関数とします。Rの各rは定数関数を定義し、準同型R → Sを生み出します。普遍性は、この写像が一意に R から S に拡張されることを示しています。

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( tはxに写像される)${\displaystyle {\overline {f}}}$は、 fによって定義される多項式関数である。結果として得られる写像は、Rが無限である場合に限り単射である。

R [ t ]における非定数単多項式fが与えられたとき、 Rを含む環Sが存在し、 fはS [ t ]における線形因子の積となる。^{[ 38 ]}

k を代数的に閉じた体とする。ヒルベルトの零点定理は、すべての素イデアルの集合と、${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$そして、 k ⁿの閉部分多様体の集合。特に、代数幾何学における多くの局所的な問題は、多項式環におけるイデアルの生成子の研究を通して解決できる可能性がある。（グレブナー基底を参照。）

他にも関連する構造がいくつかあります。形式的な冪級数環${\displaystyle R[\![t]\!]}$形式的冪級数から構成される

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

収束級数の乗算と加算を模倣したものとともに。部分環としてR [ t ]を含みます。形式的冪級数環は多項式環の普遍性を持っていません。級数は置換後に収束しない可能性があります。形式的冪級数環の多項式環に対する重要な利点は、それが局所的（実際には完全）であることです。

R を環とする（必ずしも可換環である必要はない）。R の要素を持つ n 個の正方行列の集合は、要素ごとの加算と通常の行列乗算を持つ環を形成する。これを行列環と呼び、 M _n ( R )と表記する。右R加群Uが与えられたとき、 Uから U 自身へのすべてのR線形写像の集合は、関数の加算と関数の合成の乗算を持つ環を形成する。これをUの自己準同型環と呼び、 End _R ( U )と表記する。

線形代数と同様に、行列環は標準的に自己準同型環として解釈することができる。${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$これは次の事実の特殊なケースです。${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$がR線形写像である場合、f はS = End _R ( U )の要素f _ijを持つ行列として記述でき、結果として次の環同型が得られます。

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

任意の環準同型R → SはM _n ( R ) → M _n ( S )を誘導する。^{[ 39 ]}

シュールの補題によれば、U が単純右 R 加群であれば、 End R ( U ₎は可除環である。^{[ 40 ]}${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$これは、単純なRモジュールのm _iコピーの直接和です。${\displaystyle U_{i},}$それから

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、任意の半単純環（下記参照）はこの形である。

環Rとその上の行列環M _n ( R )は森田同値である。すなわち、 Rの右加群の圏は、 M _n ( R )上の右加群の圏と同値である。^{[ 39 ]}特に、 Rの両側イデアルは、M _n ( R )の両側イデアルと 1 対 1 で対応する。

R _{i を}環の列とし、すべてのiについてR _iがR _{i + 1}の部分環であるとする。このとき、 R _iの和集合（またはフィルター付き余極限）は環である。${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$次のように定義されます。これは、十分大きなiに対してR _iでx = yである場合に限り、同値関係x ~ yを法とするすべてのR _iの非交和です。

余極限の例：

• 無限個の変数を持つ多項式環：${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• 同じ標数の有限体の代数的閉包${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• 体k上の代数多様体の関数体は${\displaystyle \varinjlim k[U]}$ここで、極限は空でない開部分集合Uのすべての座標環k [ U ]にわたって実行されます(より簡潔に言えば、それは一般点における構造層の茎です)。

任意の環は、その有限生成部分環のフィルター付き余極限（和集合）である。

環の射影極限（またはフィルター極限）は次のように定義されます。正の整数を走る環の族R _i , iと、環準同型R _j → R _i , j ≥ iが与えられ、 R _i → R _{i は}すべて恒等式であり、k ≥ j ≥ iのときはR _k → R _j → R _iがR _k → R _iであるとします。すると、${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$は、${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$( x _n )から成り、R _j → R _i、j ≥ iの下でx _jがx _iに写像される。

射影極限の例については、§ 完成を参照してください。

局所化は、整域の分数体の構成を任意の環と加群に一般化する。可換環ではない環RとRの部分集合Sが与えられたとき、環が存在する。${\displaystyle R[S^{-1}]}$環準同型とともに${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$Sを「反転」させる準同型写像は、Sの要素を単位要素に写像します。${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$さらに、S を「反転」させるRからの任意の環準同型は一意に分解され、${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$^{[ 41 ]}指輪${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$これは、 Sに関するRの局所化と呼ばれます。たとえば、Rが可換環で、f がRの要素である場合、局所化は${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$形式の要素から構成される${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$（正確には、${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$）^{[ 42 ]}

局所化は、 Rの素イデアル（または素イデアルの和集合）の補元に関して、可換環Rによく適用される。その場合 ${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$よく書く${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$のために${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$すると、最大イデアルを持つ局所環となる。${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$これが「局所化」という用語の理由です。整域Rの分数体は、素イデアル零点におけるRの局所化です。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$は可換環Rの素イデアルである。 ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$は局所環の剰余場と同じである${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$そして、で表されます。${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

Mが左R加群である場合、 Sに関するMの局所化は環の変換によって与えられる。${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

局所化の最も重要な性質は次のとおりです。Rが可換環で、S が乗法的に閉じた部分集合である場合。

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$は、 Sと互いに素なRのすべての素イデアルの集合と、${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$^{[ 43 ]}
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$f は、可除性によって与えられる部分順序を持つSの要素を走査します。 ^{[ 44 ]}
• 位置特定は正確です。$${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$正確には${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$いつでも${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$R上で正確です。 
• 逆に、${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$任意の極大イデアルに対して正確である${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$それから${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$正確です。
• 補足：局所化は全体的存在の証明には役立たない。例えば、2つの加群がすべての素イデアルにおいて同型であるとしても、それらが同型であるとは限らない。（これを説明する一つの方法は、局所化によって加群を素イデアル上の層と見なすことができ、層は本質的に局所的な概念であるということである。）

圏論において、圏の局所化とは、いくつかの射を同型にすることである。可換環Rの要素は、任意のR加群の自己準同型と考えることができる。したがって、圏論的に、 Rの部分集合Sに関するRの局所化は、R加群の圏からそれ自身への関手であり、自己準同型とみなされるSの要素を自己同型に写像し、この性質に関して普遍的である。（もちろん、R は次のように写像される。${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$Rモジュールは、${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$-モジュール。）

R を可換環とし、I をRのイデアルとする。IにおけるRの完備化は射影極限である。 ${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$これは可換環です。R から商環への標準的な準同型写像は${\displaystyle R/I^{n}}$準同型を誘導する${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$後者の準同型は、Rがネーター整域でI が真のイデアルである場合、またはR が極大イデアルIを持つネーター局所環である場合、クルルの交差定理により単射となる。^{[ 45 ]}この構成は、 I が極大イデアルである場合に特に有用である。

基本的な例は、${\displaystyle \mathbb {Z} }$素数pによって生成される主イデアル( p )において、これはp進整数環と呼ばれ、次のように表記されます。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$この場合、完備化は、上のp進絶対値からも構築できる。${\displaystyle \mathbb {Q} .}$⁠ p進絶対値${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠は地図です${\displaystyle x\mapsto |x|}$から⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠から⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$提供元${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$どこ${\displaystyle v_{p}(n)}$は、非ゼロ整数nを素数に素因数分解したときのpの指数を表します(また、${\displaystyle |0|_{p}=0}$そして${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$) 上の距離関数を定義します。${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠そして完成${\displaystyle \mathbb {Q} }$距離空間はで表される${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$⁠体演算が完全性まで及ぶため、これも体である。 のサブリングは⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$要素xから成り、 | x | _p ≤ 1 を満たすものは、以下と同型である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$⁠

同様に、形式的冪級数環R [{[ t ]}]は( t )におけるR [ t ]の完備化である(ヘンゼルの補題も参照)。

完全環は可換環よりもはるかに単純な構造を持つ。これは、コーエン構造定理によるもので、大まかに言えば、完全局所環は形式的冪級数環またはその商環のように見える傾向がある。一方、整閉包と完備化の相互作用は、現代の可換環論をノーターらが発展させた古典的な理論から区別する最も重要な側面の一つである。永田が発見した病理的な例は、ノーター環の役割の再検討につながり、とりわけ、優れた環の定義を促した。

環を構成する最も一般的な方法は、生成元と関係を指定することです。Fを、記号の集合Xを持つ自由環(つまり、整数上の自由代数) とします。つまり、Fは、 Xの要素である非可換変数の整数係数を持つ多項式から構成されます。自由環は普遍性を満たします。集合Xから環Rへの任意の関数はFを介して因数分解され、F → Rは唯一の環準同型となります。群の場合と同様に、すべての環は自由環の商環として表すことができます。^{[ 46 ]}

さて、商環を取ることで、X内の記号間の関係を課すことができます。具体的には、 E がFの部分集合である場合、 Eによって生成されるイデアルによるFの商環は、生成元Xと関係Eを持つ環と呼ばれます。もし、基底環として、例えばAのような環を使用した場合、${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$⁠すると、結果として得られる環はA上にある。例えば、${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$すると、結果として得られる環は、 Aの係数を持つ通常の多項式環となり、変数はXの要素になります (これは、記号Xを持つA上の対称代数と同じものです)。

圏論的な用語で言えば、形成${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$これは、環の圏から集合への忘却関手の左随伴関手です（そして、しばしば自由環関手と呼ばれます）。

A、B を可換環R上の代数と する。このとき、 R加群のテンソル積は${\displaystyle A\otimes _{R}B}$は、乗法を特徴とするR代数である。${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

零因子を持たない零でない環を整域と呼ぶ。可換整域を整域と呼ぶ。最も重要な整域は主イデアル整域（略してPID）と体である。主イデアル整域とは、すべてのイデアルが主イデアルである整域である。PIDを含む重要な整域のクラスは一意分解整域（UFD）であり、これはすべての非単位元が素元積である整域である（素元とは、素イデアルを生成する元である）。代数的整数論における根本的な問題は、素因数分解が可能な「イデアル」が存在する数体における（一般化された）整数環がどの程度PIDにならないかということである。

PIDに関する定理の中で最も重要なものは、主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理である。この定理は、線形代数への以下の応用によって説明できる。^{[ 47 ]} Vを体k上の有限次元ベクトル空間とし、f  : V → Vを最小多項式qを持つ線形写像とする。すると、k [ t ]は一意の因数分解領域であるため、qは異なる既約多項式（すなわち素元）のべき乗に因数分解される。 $${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

賃貸${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$V をk [ t ]加群にする。すると構造定理によれば、Vは巡回加群の直和であり、それぞれの巡回加群は次の形式の加群と同型である。${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$さて、もし${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$すると、そのような巡回加群（p _iの場合）は、 fの制限がジョルダン行列で表される基底を持つ。したがって、例えばkが代数的に閉じている場合、すべてのp _iはt – λ _iの形になり、上記の分解はfのジョルダン標準形に対応する。

代数幾何学では、UFD は滑らかさから生じます。より正確には、多様体 (完全体上) の点が滑らかであるとは、その点における局所環が正則局所環である場合を指します。正則局所環は UFD です。^{[ 48 ]}

以下は、リング、ドメイン、フィールド間の関係を記述するクラス包含の連鎖です。

rngs ⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃最大公約数域⊃一意分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数閉体

除法環とは、すべての非零元が単元であるような環のことである。可換除法環は体である。除法環でありながら体ではないものの代表的な例として、四元数の環がある。除法環の中心化群もまた除法環である。特に、除法環の中心は体である。すべての有限領域（特に有限除法環）は体であり、特に可換であることがわかった（ウェダーバーンの小定理）。

可除環上のすべての加群は自由加群（基底を持つ）である。したがって、線形代数の多くは、体ではなく可除環上で実行することができる。

共役類の研究は、古典的な除法環の理論において重要な位置を占めています。例えば、カルタン・ブラウアー・フアの定理を参照してください。

LE ディクソンによって導入された巡回代数は、四元数代数の一般化である。

半単純加群とは、単純加群の直和である。半単純環とは、自身に対する左加群（または右加群）として半単純である環のことである。

体kに対して、k代数は、その中心がkであれば中心的であり、単純環であれば単純である。単純k代数の中心は体であるため、任意の単純k代数は、その中心上の中心単純代数である。この節では、中心単純代数は有限次元であると仮定する。また、基底体は大まかに固定されるため、代数はk代数を指す。環R上のサイズnの行列環はR _nと表記する。

スコレム・ネーターの定理は、中心単純代数の任意の自己同型写像​​は内部自己同型写像​​であると述べている。

2 つの中心単純代数AとBは、整数nとmが存在して、${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$^{[ 49 ]}以来${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$類似性は同値関係である。乗算を伴う類似性クラス[ A ]${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$kのブラウアー群と呼ばれるアーベル群を形成し、 Br( k )と表記されます。アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、中心単純代数は除算環の行列環です。したがって、各相似類は一意の除算環で表されます。

例えば、kが有限体または代数的に閉じた体 (より一般的には準代数的に閉じた体;ツェンの定理を参照)の場合、 Br( k )は自明である。${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$位数は 2 である (フロベニウスの定理の特殊な場合)。最後に、kが非アルキメデス局所体である場合(例えば、${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$⁠）、それから${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$不変写像を通して。

さて、Fがkの体拡大である場合、基底拡大${\displaystyle -\otimes _{k}F}$Br( k ) → Br( F )を誘導する。その核はBr( F / k )で表される。それは[ A ]から成り、${\displaystyle A\otimes _{k}F}$はF上の行列環である(つまり、AはFによって分割される)。拡大が有限かつガロアである場合、Br( F / k )は標準的に と同型である。${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$^{[ 50 ]}

アズマヤ代数は、中心単純代数の概念を可換局所環に一般化したものである。

Kが体である場合、付値vは乗法群K ^∗から全順序アーベル群Gへの群準同型であり、f + gがゼロでないKの任意のf、gに対して、v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )} が成り立つ。vの付値環は、ゼロと、v ( f ) ≥ 0 となるすべてのゼロでないfからなるKの部分環である。

例：

• 形式的ローラン系列の分野${\displaystyle k(\!(t)\!)}$体k上の評価vは、 v ( f )がfの非零項の最小次数であるような評価環を持ち、 vの評価環は形式的冪級数環である。${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• より一般的に、体kと全順序アーベル群Gが与えられたとき、${\displaystyle k(\!(G)\!)}$Gからkへのすべての関数の集合であって、そのサポート (関数がゼロでない点の集合) が整列しているものを集合とする。これは、畳み込みによって乗算が与えられる体である。$${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$また、 v ( f )がfのサポートの中で最小の要素となるような評価vも付随します。有限のサポートを持つ要素からなる部分環は、 Gの群環と呼ばれます（ Gが可換でない場合でも意味があります）。Gが整数環である場合、( fをn番目の係数がf ( n )である級数と同一視することによって)前の例を再現できます。 

任意の位相空間Xに対して、その積分コホモロジー環を対応させることができる。

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

次数付き環。相同群も存在する。${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$空間の、そして実際これらは最初に定義された、点集合トポロジーの方法ではうまく扱えない球面やトーラスのような特定の位相空間のペアを区別するための有用なツールとして。コホモロジー群は後に、ベクトル空間の双対とほぼ類似した方法でホモロジー群の観点から定義されました。普遍係数定理のため、個々の整数ホモロジー群を知ることは、個々の整数コホモロジー群を知ることと本質的に同じです。しかし、コホモロジー群の利点は、自然積が存在することです。これは、k-多重線形形式とl-多重線形形式を点ごとに乗算して( k + l )-多重線形形式を得ることができるという観察に類似しています。

コホモロジーにおける環構造は、ファイバー束の特性類、多様体や代数多様体上の交差理論、シューベルト計算など、多くの分野の基礎となる。

任意の群にはバーンサイド環が関連付けられており、この環は群が有限集合に作用するさまざまな方法を記述するために環を使用します。バーンサイド環の加法群は自由アーベル群であり、その基底は群の推移的作用の集合であり、その加算は作用の非交和です。基底を用いて作用を表現することは、作用を推移的構成要素に分解することです。乗法は表現環を用いて容易に表現できます。バーンサイド環における乗法は、2つの置換加群のテンソル積を置換加群として記述することによって形成されます。環構造により、ある作用から別の作用を形式的に減算することができます。バーンサイド環は表現環の有限インデックス部分環として含まれているため、係数を整数から有理数に拡張することで、一方から他方へ容易に移行できます。

任意の群環またはホップ代数には、その表現環、すなわち「グリーン環」が対応付けられます。表現環の加法群は、基底が既約加群であり、その加算が直和に対応する自由アーベル群です。加群を基底で表現することは、加群の既約分解を見つけることです。乗法はテンソル積です。代数が半単純な場合、表現環は指標理論における指標環となり、これは環構造を与えられたグロタンディーク群とほぼ等しくなります。

任意の既約代数多様体には、その関数体が対応付けられます。代数多様体の点は、関数体に含まれ、座標環を含む付値環に対応します。代数幾何学の研究では、環論的性質の観点から幾何学的概念を研究するために、可換代数が多用されます。双有理幾何学は、関数体の部分環間の写像を研究します。

すべての単体複体には、スタンレー・ライスナー環とも呼ばれる、対応する面環が存在します。この環は単体複体の多くの組み合わせ論的性質を反映しているため、代数的組み合わせ論において特に重要です。特に、スタンレー・ライスナー環の代数幾何学は、単体多面体の各次元における面の数を特徴づけるために用いられてきました。