交換法則

交換法則

タイプ	財産
分野	代数
声明	オペランドの順序を変更しても結果が変わらない場合、二項演算は可換です。
象徴的な声明	${\displaystyle x*y=y*x\quad \forall x,y\in S.}$

数学では、二項演算は、被演算子の順序を変えても結果が変わらない場合、可換であるという。これは多くの二項演算の基本的な性質であり、多くの数学的証明はこれに依存している。おそらく算術の性質として最もよく知られているが、例えば「3 + 4 = 4 + 3」や「2 × 5 = 5 × 2」だが、より高度な設定でもこの性質を使用することができる。この名前が必要なのは、除算や減算など、この性質を持たない演算があるためである（例えば、「3 − 5 ≠ 5 − 3」）。このような演算は可換ではないため、非可換演算と呼ばれる。数の乗算や加算などの単純な演算は可換であるという考えは、長年暗黙のうちに想定されていた。したがって、この性質は、数学が形式化され始めた19世紀まで名前が付けられていなかった。^{[1] [2]}二項関係にも同様の性質がある。二項関係は、その関係がその被演算子の順序に関係なく適用される場合、対称的であると言われます。たとえば、 2つの等しい数学的オブジェクトは順序に関係なく等しいため、等式は対称的です。^[3]

集合Sに対する二項演算は、 ^{[4] [5]}のとき可換であると言われる 。言い換えれば、2つの要素が互いに可換であるとき、演算は可換である。上記の性質を満たさない演算は非可換であると言われる。 ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle x*y=y*x\qquad {\mbox{すべての }}x,y\in S に対して}$$

x は yと可換である、または、xとy はif の 下で可換であると言われます 。つまり、操作が (厳密に) 非可換であっても、特定の要素のペアは可換である可能性があります。 ${\displaystyle *}$$${\displaystyle x*y=y*x.}$$

• 加算と乗算はほとんどの数体系において可換であり、特に自然数、整数、有理数、実数、複素数の間では可換である。これはあらゆる分野でも当てはまる。
• 加算はあらゆるベクトル空間とあらゆる代数において可換である。
• 和集合と積集合は集合上の可換演算です。
• 「and」と「or」は交換可能な論理演算です。

除算は非可換である。 ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$

減算はであるため非可換です。しかし、であるためより正確には反可換として分類されます 。 ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$${\displaystyle 0-1=-(1-0)}$

べき乗は非可換である。なぜなら、この性質によりべき乗には2つの異なる「逆」演算（すなわち、n乗根演算と対数演算）が存在するが、乗算には逆演算が1つしかない。^[6]${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$

いくつかの真理関数は非可換であり、関数の真理値表は被演算子の順序を変えると異なる。例えば、(A ⇒ B) = (¬A ∨ B) と(B ⇒ A) = (A ∨ ¬B)の真理値表は次のようになる 。

実数から実数への線形関数の関数合成は、ほとんどの場合非可換です。たとえば、 と とします。すると 、および となります。これ は、 ベクトル空間からそれ自体への線形変換およびアフィン変換 にも一般的に適用されます(行列表現については以下を参照)。 ${\displaystyle f(x)=2x+1}$${\displaystyle g(x)=3x+7}$$${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$$$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$$

正方行列の行列乗算は、ほとんどの場合非可換です。たとえば、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$$

3次元の2つのベクトルのベクトル積（または外積）は反可換です。つまり、b × a = −( a × b )です。

交換法則が暗黙的に使われていた記録は古代にまで遡る。エジプト人は積の計算を簡略化するために乗法の交換法則を使った。[7] [8] ユークリッドは著書『原論』の中で乗法の交換法則を前提としていたことで知られている。 [ 9 ]交換^法則が正式に使わ^れたのは、数学者が関数の理論に取り組み始めた18世紀後半から19世紀初頭にかけてである。今日、交換法則は数学のほとんどの分野で使われるよく知られた基本的な性質である。

commutativeという用語が最初に記録に残っているのは、1814 年のフランソワ・セルボワの回想録です。 ^{[1] [10]}この回想録では、現在では交換法則と呼ばれている性質を持つ関数を説明する際にcommutativesという単語が使われています。commutativeはフランス語の形容詞commutatifの女性形であり、これはフランス語の名詞commutationと、to combout の同義語である「交換する」または「切り替える」を意味するフランス語の動詞Communeに由来しています。この用語はその後、1838 年に英語に登場しました。 ^[2]ダンカン・グレゴリーの論文「記号代数の本質について」の中で、1840 年にエディンバラ王立協会紀要に掲載されました。^[11]

真理関数型命題論理において、交換法^{[12] [13]}または可換性^[14]は、2つの有効な 置換規則を指します。この規則により、論理証明の論理式内で命題変数を転置することができます。規則は以下のとおりです。 および 。 ここで、「」は「証明で と置き換えることができる」ことを表すメタ論理記号です。 $${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$$$${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$$${\displaystyle \Leftrightarrow }$

可換性は、真理関数型命題論理のいくつかの論理接続詞の特性です。次の論理同値性は、可換性が特定の接続詞の特性であることを示しています。以下は、真理関数型トートロジーです。

連言の可換性

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

選言の可換性

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

含意の交換性（順列法則とも呼ばれる）

${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\leftrightarrow {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$

同値の交換法則（完全同値交換法則とも呼ばれる）

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

群論や集合論では、特定の被演算子が交換法則を満たす場合、多くの代数構造は可換であると言われる。解析学や線型代数などの高等数学の分野では、よく知られた演算（実数や複素数の加算や乗算など）の可換性が証明でよく使われる（または暗黙的に想定される）。^{[15] [16] [17]}

• 可換半群は、全演算、結合演算、および可換演算を備えた集合です。
• 演算にさらに単位元がある場合、可換モノイドが得られる。
• 可換群（アーベルぐん）あるいは可換群とは、群演算が可換である群である。 ^[16]
• 可換環とは、その乗法が可換である環のことである。（環上の加算は常に可換である。）^[18]
• 体においては加算と乗算は可換である。^[19]

結合法則は交換法則と密接に関連しています。同じ演算子が 2 回以上出現する式の結合法則は、項の順序が変わらない限り、演算の実行順序が最終結果に影響しないことを示します。対照的に、交換法則は、項の順序が最終結果に影響しないことを示します。

実際に遭遇するほとんどの可換演算は結合性も備えています。しかし、可換性は結合性を意味するわけではありません。反例としては、 明らかに可換である関数（xとy を入れ替えても結果に影響しない）が結合性ではない関数（たとえば、であるため）があります。このような例は、可換で結合性のないマグマにさらに見つかります。さらに、結合性は可換性を意味するわけでもありません。たとえば、四元数や行列の乗算は常に結合的ですが、常に可換であるとは限りません。 $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$$${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$

対称性のいくつかの形式は、直接的に可換性と結び付けられます。可換演算が2 項関数として記述される場合、この関数は 対称関数と呼ばれ、3 次元空間におけるそのグラフは平面 に対して対称です。たとえば、関数f がとして定義される場合、は対称関数です。 ${\displaystyle z=f(x,y),}$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle f(x,y)=x+y}$${\displaystyle f}$

関係の場合、対称関係は可換演算に類似しており、関係Rが対称である場合、となります。 ${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$

シュレーディンガーによって定式化された量子力学では、物理変数は( を掛けることを意味する)、および などの線形演算子によって表されます。これら 2 つの演算子は、それらの合成と(演算子の積とも呼ばれる) が 1 次元波動関数に与える影響を考慮するとわかるように、交換しません。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle x{\frac {d}{dx}}}$${\textstyle {\frac {d}{dx}}x}$ ${\displaystyle \psi (x)}$$${\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}$$

ハイゼンベルクの不確定性原理によれば、一対の変数を表す 2 つの演算子が交換しない場合、その一対の変数は相互に補完的であり、つまり、それらを同時に測定したり、正確に知ることはできない。たとえば、粒子の -方向の位置と線形運動量は、それぞれ演算子とで表されます(ここでは縮小されたプランク定数)。これは、定数 を除いて同じ例であるため、この場合も演算子は交換せず、物理的には、特定の方向の位置と線形運動量は補完的であるということです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle -i\hbar }$

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• アクラー、シェルドン (1997)。線形代数を正しく行う、第 2 版。シュプリンガー。ISBN 0-387-98258-2。

  抽象代数理論。その文脈における可換性をカバーします。本全体を通してプロパティを使用します。

• コピ、アーヴィング・M.、コーエン、カール（2005年）。論理学入門（第12版）。プレンティス・ホール。ISBN 9780131898349。
• ガリアン、ジョセフ (2006)。現代抽象代数(第 6 版)。ホートン ミフリン。ISBN 0-618-51471-6。

  線形代数理論。第 1 章で可換性について説明し、全体を通して使用します。

• グッドマン、フレデリック (2003)。『代数学：抽象と具象、対称性を強調』（第 2 版）。プレンティス ホール。ISBN 0-13-067342-0。

  抽象代数理論。本書全体を通して可換性を使用します。

• ハーレー、パトリック J.、ワトソン、ロリ (2016)。簡潔な論理学入門 (第 12 版)。Cengage Learning。ISBN 978-1-337-51478-1。

• Lumpkin, B. (1997)。「古代エジプトの数学の遺産 - Robert Palter への応答」(PDF) (未発表原稿)。2007年 7 月 13 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。

  古代文明の数学的能力を説明する記事。

• ゲイ、ロビンズ R.、シュート、チャールズ CD (1987)。『リンド数学パピルス: 古代エジプトのテキスト』大英博物館。ISBN 0-7141-0944-4。

  リンド数学パピルスの翻訳と解釈。

• 「可換性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Krowne, Aaron、「Commutative at PlanetMath .」、2007 年 8 月 8 日にアクセス。

  可換性の定義と可換演算の例

• ワイスタイン、エリック・W.「通勤」。マスワールド。、2007年8月8日にアクセス。

  通勤という用語の説明

• 「ヤーク」。PlanetMathの非可換演算の例。2007 年 8 月 8 日にアクセス

  非可換演算を証明する例

• O'Conner, JJ; Robertson, EF「実数の歴史」。MacTutor。2007年8月 8 日閲覧。

  実数の歴史を解説した記事

• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. 「数学用語の最も古い使用例」 。2008年11 月 22 日閲覧。

  数学用語の最も古い使用法を解説したページ

• O'Conner, JJ; Robertson, EF「フランソワ・セルヴォワの伝記」。MacTutor。2009年9月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2007年8月8日閲覧。

  この用語を最初に使用したフランソワ・セルヴォワの伝記