論理学の歴史

ジャイナ教は、知識の本質、知識がどのように得られるか、そして知識が信頼できると言えるのはどのような場合かといった、基本的な認識論的問題にも取り組むことで、論理学の主流の発展に独自の貢献を果たした。

ジャイナ教には、論理や推論に用いられる相対性理論の教義がある。

• アネカーンタヴァーダ― 相対的多元性または多様性の理論。
• Syādvāda – 条件付き述語の理論と;
• ナヤヴァーダ― 部分的立場論。

ジャイナ教哲学におけるこれらの概念は、特に懐疑主義と相対主義の分野において、思想に重要な貢献を果たした。^{[ 15 ]}

しかし、ディグナーガ（紀元480年頃～540年頃）は形式的な三段論法を発展させたと言われており^{[ 16 ]}、彼と彼の後継者であるダルマキールティを通して仏教論理学は頂点に達した。彼らの分析が実際に形式的な三段論法体系を構成しているかどうかは議論の余地がある。特に、彼らの分析は推論を正当化する関係「ヴィヤプティ」、すなわち不変の同時性または遍在の定義を中心としていた^{[ 17 ]} 。この目的のために、「アポーハ」または分化として知られる教義が発展した^{[ 18 ]} 。これは定義特性の包含と除外と呼ばれるものを含んでいた。

ディグナーガの有名な「理性の輪」（ヘトゥチャクラ）は、あるもの（煙など）が別のもの（火など）の不変の兆候とみなせるかどうかを示す方法であるが、その推論はしばしば帰納的で、過去の観察に基づいている。マティラルは、ディグナーガの分析は、帰納的であるジョン・スチュアート・ミルの一致と差異の共同方法によく似ていると指摘している。^{[ 19 ]}

妥当な推論は人類の歴史のあらゆる時代に用いられてきた。しかし、論理学は妥当な推論、推論、証明の原理を研究する。結論を証明するという考えは、おそらく幾何学に関連して最初に生じたものであり、幾何学は元々「土地の測定」と同じ意味であった。^{[ 20 ]}古代エジプト人は、切頭ピラミッドの体積の公式を含む幾何学を発見した。^{[ 21 ]}古代バビロニアも数学に長けていた。紀元前11世紀のエサギルキンアプリの医学診断ハンドブックは、論理的な公理と仮定に基づいていた^{[ 22 ]}一方、紀元前8世紀と7世紀のバビロニアの天文学者は、予測惑星システム内に内部論理を採用しており、これは科学哲学への重要な貢献であった。^{[ 23 ]}

古代エジプト人は経験的に幾何学の真理をいくつか発見したが、古代ギリシャ人の偉大な功績は、経験的方法を実証的証明に置き換えたことにある。ソクラテス以前の哲学者であるタレスとピタゴラスは、いずれも幾何学的方法を認識していたようである。

初期の証明の断片はプラトンとアリストテレスの著作に保存されており^{[ 24 ]}、演繹体系の考え方はおそらくピタゴラス学派とプラトン学派で知られていた^{[ 21 ]}。アレクサンドリアのユークリッドの証明はギリシャ幾何学の典型である。幾何学の3つの基本原理は次のとおりである。

• ある種の命題は、証明なしに真であると受け入れなければならない。このような命題は、幾何学の公理として知られている。
• 幾何学の公理ではないすべての命題は、幾何学の公理から導かれることを証明しなければならない。このような証明は、命題の証明または「導出」として知られている。
• 証明は形式的でなければならない。つまり、命題の導出は、問題となっている特定の主題とは独立していなければならない。^{[ 21 ]}

古代ギリシアの思想家たちが推論の原理に関心を寄せていたことを示すさらなる証拠は、紀元前4世紀初頭に書かれたと思われる「dissoi logoi」と呼ばれる断片に見られる。これは真偽についての長期にわたる議論の一部である。 ^{[ 25 ]}古典期ギリシアの都市国家の場合、議論への関心は、法的な文脈と政治的な文脈の両方で論証を用いて主張を擁護または攻撃した修辞学者や弁論家、ソフィストの活動によっても刺激された。^{[ 26 ]}

ピタゴラス

紀元前520年以前 、ピタゴラスはエジプトかギリシャを訪れた際に、 54歳ほど年上のタレスと出会った可能性がある。^{[ 33 ]}証明の体系的な研究は、紀元前6世紀後半のピタゴラス学派（すなわちピタゴラス派）で始まったようだ。^{[ 21 ]}実際、すべては数であると信じていたピタゴラス派は、質料よりも形を重視した最初の哲学者である。^{[ 34 ]}

ヘラクレイトスとパルメニデス

ヘラクレイトス（紀元前535年頃 - 紀元前475年頃）の著作は、古代ギリシア哲学においてロゴスという言葉が初めて特別に注目された場所である。^{[ 35 ]}ヘラクレイトスは、すべては変化し、すべては火であり、対立する反対物であり、このロゴスによってのみ統一されると主張した。彼は難解な言葉で知られている。

このロゴスは常に真実であるにもかかわらず、人間はそれを聞く前も、初めて聞いた後も、理解することができない。なぜなら、すべての物事はこのロゴスに従って成り立っているにもかかわらず、人間は私が述べたような言葉や行いを経験しても、その本質に応じて区別し、それがどういうことかを述べるときには、未熟な者のようであるからだ。しかし、他の人々は、眠っている間に自分が何をしているかを忘れるように、起きているときに自分が何をしているかにも気づかない。

—ディールス＝クランツ、22B1

ヘラクレイトスとは対照的に、パルメニデスは万物は一つであり、何も変わらないと主張した。彼は異端のピタゴラス派であり、一（数）が多数を生み出すという考えに反対したのかもしれない。^{[ 36 ]}「X ではない」は常に偽りか無意味であるに違いない。存在するものは、いかなる場合でも存在しないことはない。生成と破壊に気づく私たちの感覚知覚は重大な誤りを犯している。感覚知覚の代わりに、パルメニデスは真理への手段としてロゴスを提唱した。彼は論理の発見者と呼ばれている。^{[ 37 ] [ 38 ]}

なぜなら、存在しないものが存在するというこの見解は、決​​して優勢にはなり得ないからである。あなたは、このような探求の道から思考を遠ざけ、また、多様な日常経験によって、盲目である目、音に満ちた耳、舌に支配されるような道へと押し進められてはならない。むしろ、私が説く、議論の的となっている証明を、理性（ロゴス）によって判断しなければならないのである。

— B 7.1–8.2

パルメニデスの弟子であるエレアのゼノンは、背理法として知られる証明方法に見られる標準的な議論パターンの考えを持っていた。これは、仮定から明らかに誤った（つまり「不条理な」）結論を導き出し、それによって仮定が誤っていることを証明するという手法である。^{[ 39 ]}そのため、ゼノンと彼の師は論理学の技法を最初に適用した人物と見なされている。^{[ 40 ]}プラトンの対話篇『パルメニデス』では、ゼノンは、複数性を仮定することの不条理な帰結を証明することによって、パルメニデスの一元論を擁護する本を書いたと主張している。ゼノンは、運動に対する議論の中で、この方法を用いてパラドックスを展開したことで有名である。このような弁証法的な推論は後に人気を博した。この学派のメンバーは「弁証家」（ギリシャ語で「議論する」という意味）と呼ばれた。

プラトン

幾何学を知ら​​ない者はここに入るな。

―プラトンのアカデミアの入り口の上に刻まれている。

4世紀の偉大な哲学者プラトン（紀元前428年～347年）の現存する著作には形式論理は含まれていないが^{[ 41 ]} 、哲学論理学の分野に重要な貢献をしている。プラトンは3つの問いを提起している。

• 真偽を正しく判断できるものとは一体何だろうか？
• 妥当な議論の前提と結論との間の関係性はどのようなものだろうか？
• 定義の本質とは何か？

最初の疑問は対話篇『テアイテトス』で生じ、プラトンはそこで思考や意見を会話や談話（ロゴス）と同一視している。^{[ 42 ]} 2番目の疑問はプラトンのイデア論の結果である。イデアは、通常の意味での物でも、厳密には心の観念でも​​ないが、後に哲学者が普遍と呼んだもの、すなわち同じ名前を持つ物の集合ごとに共通する抽象的な実体に対応する。プラトンは『国家』と『ソフィスト』の両方で、妥当な議論の前提と結論の間の必然的なつながりは、「イデア」間の必然的なつながりに対応すると示唆している。^{[ 43 ]} 3番目の疑問は定義に関するものである。プラトンの対話篇の多くは、重要な概念（正義、真理、善）の定義の探求に関するものであり、プラトンは数学における定義の重要性に感銘を受けた可能性が高い。^{[ 44 ]}すべての定義の根底にあるのはプラトンのイデア、つまり異なる個々の物に存在する共通の本質である。このように、定義は理解の究極的な対象を反映し、すべての妥当な推論の基礎となる。これはプラトンの弟子アリストテレスに大きな影響を与え、特にアリストテレスの事物の本質の概念に影響を与えた。 ^{[ 45 ]}

アリストテレスの論理、特に彼の三段論法の理論は、論理学の歴史と西洋思想全般に多大な影響を与えてきた。^{[ 46 ]}アリストテレスは、論理構文、名詞（または用語）、動詞の体系的な分析を試みた最初の論理学者であった。彼は、変数を用いて議論の根底にある論理形式を示すことで推論の原理を実証した最初の形式論理学者であった。 ^{[ 47 ]}彼は、必然的推論を特徴づける依存関係を探求し、これらの関係の妥当性を前提の真偽から区別した。彼は、矛盾律と排中律の原理を明示的に論じた最初の人物であった。^{[ 48 ]}

オルガノン

アリストテレスの論理学著作『オルガノン』は、現代まで伝わる論理学の最も初期の体系的な研究である。執筆年代を特定するのは難しいが、アリストテレスの論理学著作の執筆順序はおそらく以下の通りである。

• 『カテゴリー』：10種類の原始語に関する研究。
• 『トピックス』（付録として「詭弁論に対する反駁について」という）は、弁証法についての議論である。
• 解釈について：単純な範疇命題を単純な用語、否定、および数量記号に分析する
• 『分析論前書』は、アリストテレスによれば有効な論証である三段論法を構成する要素を形式的に分析したものである。
• 『後分析論』は、科学的証明に関する研究であり、アリストテレスの論理学に関する円熟期の見解を収めたものである。

カテゴリー論は彼の著作『形而上学』に影響を与え、その著作自体が西洋思想に深い影響を与え、形而上学という学問分野の名の由来となった。

アリストテレスはまた、非形式論理（すなわち、誤謬の理論）の理論を発展させ、それは『トピカ』と『詭弁論』で提示されている。^{[ 48 ]}

『解釈論』には、対立と転換の概念に関する包括的な考察が含まれています。第7章は対立の四角形（または論理四角形）の起源であり、第9章には様相論理の始まりと有名な海戦論証が含まれています。

『分析論前書』には、彼の三段論法に関する解説が含まれており、そこでは歴史上初めて、変数の使用、純粋に形式的な扱い、そして公理系の使用という3つの重要な進歩がなされている。

ギリシャ論理学のもう一つの偉大な学派はストア派である。^{[ 49 ]}ストア派論理学は、紀元前5世紀後半の哲学者メガラのユークリッドにその起源を遡る。彼はソクラテスの弟子であり、プラトンより少し年上の同時代人で、おそらくパルメニデスとゼノンの伝統を受け継いでいた。彼の弟子や後継者は「メガラ派」または「エリス派」と呼ばれ、後に「弁証法派」と呼ばれるようになった。メガラ派で最も重要な弁証法派は、紀元前4世紀後半に活躍したディオドロス・クロノスとフィロンであった。

ストア派はメガラ派の論理学を採用し、それを体系化した。この学派で最も重要な人物はクリュシッポス（紀元前278年頃 - 紀元前206年頃）で、彼は第3代学長であり、ストア派の教義の多くを体系化した。彼は700以上の著作を著したとされ、そのうち少なくとも300は論理学に関するものであったが、ほとんど現存していない。^{[ 50 ] [ 51 ]}アリストテレスとは異なり、メガラ派や初期ストア派の完全な著作は存在せず、主に後世の資料（時には敵対的なものもある）に頼らざるを得ず、特にディオゲネス・ラエルティオス、セクストゥス・エンピリクス、ガレノス、アウルス・ゲッリウス、アフロディシアスのアレクサンドロス、キケロなどが挙げられる。^{[ 52 ]}

ストア派の3つの重要な貢献は、（i）様相の説明、（ii）物質条件文の理論、（iii）意味と真理の説明であった。^{[ 53 ]}

• 様相。アリストテレスによれば、当時のメガラ人は可能性と現実の区別はないと主張した。^{[ 54 ]}ディオドロス・クロノスは、可能を、存在するか将来存在するであろうものと定義し、不可能を、真実ではないであろうものと定義し、偶然を、既に偽であるか将来偽となるであろうものと定義した。^{[ 55 ]}ディオドロスはまた、彼のマスター論証として知られるもので有名であり、次の3つの命題のそれぞれのペアは、3番目の命題と矛盾すると述べている。

• 過去の出来事はすべて真実であり、必要不可欠なものだった。
• 不可能なことは、可能なことから必然的に生じるものではない。
• 存在しないもの、そして今後も存在しないものも、可能である。

ディオドロスは最初の2つの前提の妥当性を利用して、真実でもなければ真実にもならないことは何も不可能であることを証明した。^{[ 56 ]}一方、クリュシッポスは2番目の前提を否定し、不可能なことは可能なことから導き出せると述べた。^{[ 57 ]}

• 条件文。条件文について議論した最初の論理学者は、ディオドロスとその弟子であるメガラのフィロンであった。セクストゥス・エンピリクスは、ディオドロスとフィロンの議論について3回言及している。フィロンは、条件文は、前件が真で後件が偽でない限り真であると考えていた。具体的には、T ₀とT ₁を真の命題とし、F ₀とF ₁を偽の命題とする。すると、フィロンによれば、後件が偽で前件が真であるということはない（偽の命題が真の命題から導かれると主張されることはない）ので、以下の条件文はそれぞれ真の命題である。

• T ₀の場合、T ₁
• F ₀の場合、T ₀
• F ₀の場合、F ₁

以下の条件文はこの要件を満たしていないため、フィロンによれば偽の文である。

• T ₀の場合、F ₀

実際、セクストゥスは「 [フィロン]によれば、条件文が真となる方法は３つあり、偽となる方法は１つある」と述べている。^{[ 58 ]}フィロンの真理の基準は、現代では「もし…ならば」の真理関数的定義と呼ばれるものであり、現代論理で用いられる定義である。

対照的に、ディオドロスは、前節が決して誤った結論に至らない場合にのみ条件文の妥当性を認めた。^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}

• 意味と真理。メガラ派・ストア派の論理とアリストテレス派の論理の最も重要で顕著な違いは、メガラ派・ストア派の論理が用語ではなく命題に関係しており、したがって現代の命題論理に近いという点である。^{[ 61 ]}ストア派は、雑音である可能性のある発話（ phone ）、明瞭ではあるが意味のない可能性のある言葉（ lexis）、そして意味のある発話である談話（logos ）を区別した。彼らの理論の最も独創的な部分は、 lektonと呼ばれる文によって表現されるものが実在するものであるという考えであり、これは現在命題と呼ばれるものに対応する。セクストゥスは、ストア派によれば、意味するもの、意味されるもの、そして対象の3つが結びついていると述べている。例えば、意味するものはディオンという言葉であり、意味されるものはギリシア人が理解するが野蛮人が理解しないものであり、対象はディオン自身である。^{[ 62 ]}

アル・キンディー、アル・ファラビ、アヴィセンナ、アル・ガザーリー、アヴェロエス、その他のイスラム論理学者の著作はアリストテレス論理学に基づいており、古代世界の思想を中世の西洋に伝える上で重要であった。 ^{[ 63 ]}アル・ファラビ（アルファラビ）（873-950）はアリストテレス論理学者であり、未来の偶発事象、カテゴリーの数と関係、論理と文法の関係、アリストテレス的ではない推論形式について論じた。^{[ 64 ]}アル・ファラビはまた、アリストテレス的ではなくストア派の論理学の伝統の一部である条件三段論法と類推推論の理論についても考察した。^{[ 65 ]}

マイモニデス（1138-1204）は『論理学論』（アラビア語：Maqala Fi-Sinat Al-Mantiq）を著し、アル＝ファラビを「第二の師」と呼び、第一の師はアリストテレスであると述べている。

イブン・シーナー（アヴィセンナ）（980年 - 1037年）は、イスラム世界で支配的な論理体系としてアリストテレス論理に取って代わったアヴィセンナ論理の創始者であり^{[ 66 ]} 、アルベルトゥス・マグヌスなどの西洋中世の著述家にも重要な影響を与えた^{[ 67 ]}。アヴィセンナは、ストア派の論理的伝統の一部である仮言三段論法^{[ 68 ]}と命題論理について著述した^{[ 69 ]} 。彼は、時間論理と様相論理を含む独自の「時間的に様相化された」三段論法理論を発展させた^{[ 64 ]}。彼はまた、科学的方法に不可欠な一致、差異、同時変動の方法などの帰納的論理も利用した。^{[ 68 ]}アヴィセンナの思想の一つは、ウィリアム・オブ・オッカムのような西洋の論理学者に特に重要な影響を与えた。アヴィセンナの意味や概念を表す言葉（ma'na）は、スコラ哲学の論理学者によってラテン語のintentioと訳された。中世の論理学と認識論では、これは自然に物事を表す心の中の記号である。^{[ 70 ]}これはオッカムの概念主義の発展にとって極めて重要であった。普遍的な用語（例えば「人間」）は現実に存在する物事を意味するのではなく、現実の多くの物事を表す心の中の記号（intentio in intellectu ）を意味する。オッカムはこの見解を支持するためにアヴィセンナの『形而上学』第5巻の注釈を引用している。 ^{[ 71 ]}

ファクル・アルディン・アル・ラージー（1149年生まれ）はアリストテレスの「第一の図」を批判し、ジョン・スチュアート・ミル（1806年～1873年）が発展させた帰納論理体系を予見する初期の帰納論理体系を定式化した。 ^{[ 72 ]}アル・ラージーの業績は、後のイスラム学者によって、イスラム論理の新たな方向性、すなわちポスト・アヴィセンナ論理への方向性を示すものとみなされた。これは、彼の弟子であるアフダラッディン・アル・フナジー（1249年没）によってさらに発展させられ、彼は概念と同意の主題を中心とした論理体系を発展させた。この伝統に応えて、ナスィール・アルディン・アルトゥースィー（1201年 - 1274年）は、アヴィセンナの著作に忠実であり、その後数世紀にわたってより支配的であったポスト・アヴィセンナ学派に代わるものとして存在した新アヴィセンナ論理学の伝統を始めた。^{[ 73 ]}

啓蒙主義学派は、シャハブ・アルディン・スフラワルディ（1155–1191）によって創設され、彼は「決定的な必然性」という概念を発展させました。これは、すべての様態（必然性、可能性、偶然性、不可能性）を単一の様態である必然性に還元することを指します。^{[ 74 ]}イブン・アル＝ナフィス（1213–1288）は、アヴィセンナの論理学に関する書物を著しました。これは、アヴィセンナの『アル＝イシャラート』（徴）と『アル＝ヒダーヤ』（導き）の注釈でした。^{[ 75 ]}イブン・タイミーヤ（1263–1328）は、『アル＝ラッド・アラ・アル＝マンティキーイン』を著し、その中で三段論法の有用性には反対しましたが、妥当性には反対せず^{[ 76 ]} 、帰納的推論を支持しました。^{[ 72 ]}イブン・タイミーヤは三段論法の確実性に反対し、類推を支持した。彼の主張は、帰納に基づく概念はそれ自体確実ではなく、単に蓋然性があるだけであり、したがって、そのような概念に基づく三段論法は類推に基づく議論よりも確実ではないというものである。彼はさらに、帰納自体が類推の過程に基づいていると主張した。彼の類推的推論のモデルは、法的な議論のモデルに基づいていた。^{[ 77 ] [ 78 ]}この類推のモデルは、ジョン・F・ソワの最近の著作で使用されている。^{[ 78 ]}

15 世紀にムハンマド・イブン・ファイド・アッラー・イブン・ムハンマド・アミン・アル・シャルワニによって書かれた『シャルフ・アル・タクミル・フィ・ル・マンティク』は、研究されている最後の主要なアラビア語の論理学の著作である。 ^{[ 79 ]}しかし、14 世紀から 19 世紀にかけて論理学に関する「何千ページにも及ぶ」著作が書かれたが、この期間に書かれたテキストのごく一部しか歴史家によって研究されていないため、この後の時代に作成されたイスラム論理学の原典についてはほとんど知られていない。^{[ 73 ]}

「中世論理学」（「スコラ論理学」とも呼ばれる）とは、一般的に、1200年から1600年頃にかけて中世ヨーロッパで発展したアリストテレス論理学の形式を指す。 ^{[ 1 ]}ストア派論理学が定式化されてから数世紀にわたり、それは古典世界における支配的な論理体系であった。暗黒時代以降に論理学の研究が再開されたとき、主な情報源はキリスト教哲学者ボエティウスの著作であった。彼はアリストテレスの論理学の一部には精通していたが、ストア派の著作はほとんど知らなかった。^{[ 80 ]} 12世紀まで、西洋で入手可能なアリストテレスの著作は、『カテゴリー論』、『解釈論』、そしてボエティウスによるポルフィリオスの『イサゴーゲー』 （『カテゴリー論』の注釈）の翻訳のみであった。これらの著作は「旧論理学」（ Logica VetusまたはArs Vetus ）として知られていた。この伝統における重要な著作は、ピエール・アベラール（1079-1142）の『論理的根拠』である。彼自身の直接的な影響は小さかったが^{[ 81 ]} 、ジョン・オブ・ソールズベリーなどの弟子を通しての彼の影響は大きく、神学に厳密な論理分析を適用する彼の方法は、その後の時代の神学批評の発展の仕方を形作った^{[ 82 ]} 。爆発原理（偽スコトゥスの原理としても知られる）の証明、すなわち、あらゆる命題は矛盾（否定を含む）から証明できるという法則は、12世紀のフランスの論理学者ウィリアム・ド・ソワソンによって初めて示された。

13世紀初頭までに、アリストテレスの『オルガノン』の残りの著作、すなわち『分析論前書』、『分析論後書』、および『詭弁論』（総称して『新論理学』または「新論理学」として知られる）が西方で発見された。^{[ 83 ]}それまでの論理学の研究は、ほとんどがアリストテレスの著作の言い換えまたは注釈であった。^{[ 84 ]} 13世紀半ばから14世紀半ばにかけての時期は、論理学において重要な発展があった時期であり、特に、それ以前のアリストテレスの伝統にほとんど基づいていない、独創的な3つの分野において顕著であった。それらは次のとおりである。^{[ 85 ]}

• 想定理論。想定理論は、述語（例：「人」）が個人の領域（例：すべての男性）をどのように対象とするかを扱う。^{[ 86 ]}「すべての人間は動物である」という命題において、「人」という用語は、現在のみに存在する男性を対象とする、あるいは「想定する」のか、それとも過去と未来の男性も対象とするのか。用語は存在しない個人を想定できるのか。中世の学者の中には、この考え方が現代の一階述語論理の先駆けであると主張する者もいる。^{[ 87 ]}「想定理論は、関連するコピュラティオ（形容詞の記号能力）、アンプリティオ（指示領域の拡大）、ディストリビューティオの理論とともに、西洋中世論理の最も独創的な成果の一つを構成している。」^{[ 88 ]}
• 共範疇の理論。共範疇とは、論理に必要な用語であるが、範疇的用語とは異なり、それ自体では意味を持たず、他の語と「共意味」する用語である。共範疇の例としては、「かつ」、「否定」、「すべて」、「もし」などがある。
• 帰結の理論。帰結とは、仮定的な条件付き命題、つまり「もし…ならば」という語句で結ばれた2つの命題のことである。例えば、「もし人が走るならば、神は存在する」（Si homo currit, Deus est）。^{[ 89 ]}帰結の理論が完全に展開されているのは、ウィリアム・オブ・オッカムの著作『論理学大全』第3巻である。そこでオッカムは、「実質的」帰結と「形式的」帰結を区別しており、これらはそれぞれ現代の実質的含意と論理的含意にほぼ相当する。同様の説明は、ジャン・ブリダンとアルベルト・フォン・ザクセンによってもなされている。

この伝統における最後の偉大な著作は、ジョン・ポワンソ（1589年～1644年、聖トマスのジョンとして知られる）の『論理学』 、フランシスコ・スアレス（1548年～1617年）の『形而上学的論争』 、そしてジョヴァンニ・ジローラモ・サッケリ（1667年～1733年）の『証明論理学』である。

伝統的な論理学とは、一般的に、アントワーヌ・アルノーとピエール・ニコルの『論理学、あるいは思考の技法』、通称『ポール・ロワイヤル論理学』に始まる教科書的な伝統を指します。^{[ 90 ]} 1662年に出版されたこの書は、19世紀までアリストテレス以降で最も影響力のある論理学の著作でした。^{[ 91 ]}この本は、アリストテレスと中世の用語論理学から広く派生した枠組みの中で、緩やかにデカルト的な教義（例えば、命題は用語ではなく観念の組み合わせである）を提示しています。1664年から1700年の間に8版が出版され、その後もこの本は大きな影響力を持ちました。^{[ 91 ]} 『ポール・ロワイヤル』は、外延と内包の概念を導入しています。ロックが『人間知性論』で述べている命題の説明は、基本的に『ポート・ロワイヤル』のそれと同じである。「言葉である言語命題は、肯定文または否定文で結合または分離される我々の観念の記号である。したがって、命題は、それらが表すものが一致するか不一致かに応じて、これらの記号を結合または分離することにある。」^{[ 92 ]}

ダドリー・フェナーは、アリストテレスに対する反動としてラミスト論理学を普及させるのに貢献した。もう一つの影響力のある著作は、1620年に出版されたフランシス・ベーコンの『ノヴム・オルガヌム』である。このタイトルは「新しい道具」と訳される。これは、アリストテレスの『オルガノン』として知られる著作への言及である。この著作の中で、ベーコンはアリストテレスの三段論法を否定し、「ゆっくりと忠実な努力によって物事から情報を収集し、それを理解へと導く」別の手順を支持している。^{[ 93 ]}この方法は帰納的推論として知られており、経験的観察から出発してより低い公理または命題へと進む方法である。これらの低い公理から、より一般的な公理を導き出すことができる。例えば、熱のような現象的性質の原因を見つけるには、次の3つのリストを作成する必要がある。

• 存在リスト：熱が検出されたすべての状況のリスト。
• 欠席リスト：暖房がないことを除けば、出席リストにある状況の少なくとも1つに類似するすべての状況をリストしたもの。
• 変動性リスト：気温が変動する可能性のあるあらゆる状況を一覧にしたもの。

すると、熱の形態的性質（または原因）は、存在リストのすべての状況に共通し、不在リストのすべての状況には欠けており、変動リストのすべての状況において程度に応じて変化するものとして定義できる。

教科書の伝統における他の著作としては、アイザック・ワッツの『論理学、あるいは理性の正しい使い方』（1725年）、リチャード・ホワットリーの『論理学』（1826年）、ジョン・スチュアート・ミルの『論理体系』（1843年）などがある。後者は伝統における最後の偉大な著作の一つであったが、論理学の基礎は内省にあるというミルの見解^{[ 94 ]}は、論理学は心理学の一分野として理解するのが最適であるという見解に影響を与え、この見解はその後50年間の論理学の発展を支配し、特にドイツで顕著であった^{[ 95 ] 。}

G.W.F. ヘーゲルは、自身の哲学体系における論理の重要性を、 1817年に出版された『哲学諸学百科事典』の第1巻として出版された、広範な『論理学』を凝縮した短い著作にまとめた際に示しました。 「小論理学」または「百科事典論理学」としてよく知られるこの著作は、最も空虚で抽象的なカテゴリー（ヘーゲルは「純粋存在」と「純粋無」から始める）から、それ以前のすべてのカテゴリーを含み解決するカテゴリーである「絶対」へと至る一連の移行を示しています。タイトルにもかかわらず、ヘーゲルの論理学は、妥当な推論の科学への貢献ではありません。前提からの妥当な推論によって概念に関する結論を導き出すのではなく、ヘーゲルは、ある概念について考えることは別の概念について考えることを強制することを示そうとしています（彼は、「量」の概念なしに「質」の概念を持つことはできないと主張しています）。この強迫観念は、個人の心理の問題ではないとされている。なぜなら、それは概念そのものの内容からほとんど有機的に生じるからである。彼の目的は、「絶対者」の、いや、理性そのものの合理的な構造を示すことである。思考が1つの概念からその反対の概念へ、そしてさらに別の概念へと導かれる方法は、ヘーゲル弁証法として知られている。

ヘーゲルの論理学は主流の論理学研究にはほとんど影響を与えていないが、その影響は他の分野で見られる。

• カール・フォン・プラントルの「Geschichte der Logik im Abendland」（1855–1867）。^{[ 96 ]}
• F・H・ブラッドリーの『論理学原理』（1883年）など、英国観念論者の著作。
• カール・マルクスの経済学、政治学、哲学の研究、およびマルクス主義の様々な学派。

ミルとフレーゲの業績の間には半世紀にわたり、論理学は広く記述科学、推論の構造に関する経験的研究、そして本質的には心理学の一分野として扱われてきた。^{[ 97 ]}例えば、ドイツの心理学者ヴィルヘルム・ヴントは、「心理的思考法則から論理を導き出す」ことについて論じ、「心理的思考は常に、より包括的な思考形態である」と強調した。^{[ 98 ]}この見解は、当時のドイツの哲学者の間で広く受け入れられていた。

• テオドール・リップスは論理学を「心理学の特定の学問分野」と表現した。^{[ 99 ]}
• クリストフ・フォン・ジグヴァルトは、論理的必然性を、個人が特定の方法で考えることを強いられることに基づくものと理解していた。^{[ 100 ]}
• ベンノ・エルドマンは「論理法則は我々の思考の限界内でのみ成り立つ」と主張した。^{[ 101 ]}

ミルの著作以降、論理学に対する支配的な見解はこのようなものであった。^{[ 102 ]}この心理学的アプローチはゴットロープ・フレーゲによって否定された。また、エドムント・フッサールは『論理学研究』第1巻（1900年）で、このアプローチを徹底的に批判した。この批判は「圧倒的」と評されている。^{[ 103 ]}フッサールは、論理学を心理学的観察に基礎づけることは、すべての論理的真理が証明されないままであることを意味し、懐疑主義と相対主義は避けられない結果であると力強く主張した。

こうした批判は、いわゆる「心理主義」をすぐに根絶するものではなかった。例えば、アメリカの哲学者ジョサイア・ロイスは、フッサールの批判の力強さを認めつつも、心理学の進歩は論理学の進歩を伴い、またその逆もまた然りであるということを「疑うことができなかった」。^{[ 104 ]}

推論を純粋に機械的なプロセスで表現できるという考えは、レイモン・リュルの時代にまで遡り、彼は同心円のシステムによって結論を導き出す（やや風変わりな）方法を提案した。オックスフォード計算機^{[ 109 ]}などの論理学者の研究は、論理計算（ calculationes ）を言葉で書き出す代わりに文字を使う方法につながり、この方法は、例えばヴェネツィアのパウルスの『Logica magna』で使用されている。リュルから300年後、イギリスの哲学者で論理学者のトーマス・ホッブズは、すべての論理と推論は加算と減算の数学的演算に還元できると示唆した^{[ 110 ]} 。同じ考えは、リュルとホッブズの両方を読んでいたライプニッツの研究にも見られ、彼は論理は組み合わせプロセスまたは計算によって表現できると主張した。しかし、リュルやホッブズと同様に、彼は詳細かつ包括的なシステムを開発することができず、このテーマに関する彼の研究は彼の死後ずっと経ってから出版された。ライプニッツは、日常言語は「無数の曖昧さ」を抱えており、言葉の形式や構造から生じる推論の誤りを明らかにすることを任務とする計算には不向きであると述べている。^{[ 111 ]}そこで彼は、複雑な考えを表現するために組み合わせることができる基本的な概念からなる人間の思考のアルファベットを特定し、 ^{[ 112 ]}すべての議論を「数学者の議論と同じくらい具体的に」する計算推論装置を作成することを提案した。そうすれば、一目で自分の誤りを見つけることができ、人々の間で論争があるときには、単に「計算してみましょう」と言うことができる。^{[ 113 ]}

ジェルゴンヌ（1816）は、代数演算は関連する記号の意味を全く知らなくても実行できるため、推論は完全に明確な考えを持っている対象についてである必要はないと述べた。^{[ 114 ]}ボルツァーノは、論理的帰結または「演繹可能性」を変数で定義したときに、現代の証明論の基本的な考え方を先取りした。^{[ 115 ]}

したがって、私は命題を言う${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$、${\displaystyle O}$、…は命題から推論できる${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$可変部品に関して${\displaystyle i}$、${\displaystyle j}$、、、代替となるアイデアのすべてのクラスが${\displaystyle i}$、${\displaystyle j}$、...すべて${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$、...確かに、また、すべての${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$、${\displaystyle O}$、…本当です。慣例に従って、時折、命題は${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$、${\displaystyle O}$、...は、から推測または派生することができる。${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$、.... 命題${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$、...私はその場所を、${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$、${\displaystyle O}$…結論。

これは現在では意味的妥当性として知られています。

現代論理学は、ブールに始まり、パース、ジェボンズ、シュレーダー、ベンを含む「代数学派」として知られるものから始まる。^{[ 116 ]}彼らの目的は、クラス、命題、確率の領域における推論を形式化するための計算体系を開発することであった。この学派は、1847 年に出版されたブールの画期的な著作『論理の数学的分析』から始まるが、その直前の先駆者はド・モルガン(1847) である。^{[ 117 ]}ブールの体系の基本的な考え方は、代数式を用いて論理関係を表現できるということである。この考えは、リンカンシャー州リンカーンの私立学校で案内係として働いていた十代の頃にブールに思い浮かんだ。^{[ 118 ]}例えば、x と y をクラスとし、記号=はクラスが同じメンバーを持つことを意味するとし、xy は x と y のすべてのメンバーのみを含むクラスを表す、などとする。ブールはこれらを選択的記号、つまり特定の対象を考察対象として選択する記号と呼んでいます。^{[ 119 ]}選択的記号が使用される式は選択的関数と呼ばれ、その要素が選択的関数である方程式は選択的方程式と呼ばれます。^{[ 120 ]}選択的関数の理論とその「展開」は、本質的に真理関数とその選言標準形での表現という現代の考え方です。^{[ 119 ]}

ブールの体系は、クラス論理と命題論理という2つの解釈が可能である。ブールは、三段論法の対象となる「基本命題」と、命題論理の対象となる「二次命題」を区別し、異なる「解釈」の下で同じ代数体系が両方を表現できることを示した。基本命題の例は「すべての住民はヨーロッパ人かアジア人のいずれかである」である。二次命題の例は「すべての住民はヨーロッパ人であるか、またはすべての住民はアジア人である」である。^{[ 121 ]}これらは現代の述語論理では容易に区別でき、前者が後者から導かれることを示すことも可能であるが、ブール体系ではこれを表現する方法がないことは大きな欠点である。^{[ 122 ]}

ジョン・ベンは著書『記号論理学』（1881年）の中で、重なり合う領域の図を用いて、クラス間のブール関係や命題の真理条件を表現した。1869年、ジェボンズはブールの方法を機械化できることに気づき、翌年王立協会に披露した「論理機械」を製作した。 ^{[ 119 ]} 1885年、アラン・マーカンドは、現在も現存するこの機械の電気版を提案した（ファイアストーン図書館に写真あり）。

ブールの体系の欠陥（存在命題に文字vを使用することなど）はすべて彼の後継者によって修正された。ジェボンズは1864年に『純粋論理、または量とは別の質の論理』を出版し、排他的論理を表す記号を提案した。これによりブールの体系は大幅に簡略化された。^{[ 123 ]}これはシュレーダーが『講義録』（1890～1905年）で定理を並列の列に並べた際に有効に活用された。パース (1880) は、すべてのブール選択関数が単一の原始的な二項演算「…も…もどちらでもない」と「 …と…の両方ではない」を用いて表現できることを示しました。 ^{[ 124 ]}しかし、パースの多くの革新と同様に、これは1913 年にシェファーが再発見するまで知られず、気づかれませんでした。 ^{[ 125 ]}ブールの初期の研究には、パース (1867)、シュレーダー(1877)、ジェボンズ (1890)に由来する論理和の概念^{[ 126 ]}や、ゲルゴンヌ (1816) が最初に提案し、パース (1870) が明確に表現した包含の概念も欠けています。

ブールの代数体系の成功は、すべての論理が代数的に表現できる必要があることを示唆し、関係の論理をそのような形で表現しようとする試みがなされた。その中で最も野心的なものは、シュレーダーの記念碑的な『論理の代数に関する講義』（第3巻、1895年）であったが、その元のアイデアは再びパースによって先取りされていた。^{[ 127 ]}

ブールがアリストテレスの論理学を揺るぎなく受け入れていたことは、論理学史家のジョン・コーコランが『思考の法則』の分かりやすい入門書で強調している。^{[ 128 ]}コーコランはまた、 『分析論前書』と『思考の法則』を逐一比較した。^{[ 129 ]}コーコランによれば、ブールはアリストテレスの論理学を完全に受け入れ、支持していた。ブールの目標は、1) 方程式を含む数学的基礎を与えること、2) 妥当性の評価から方程式の解法まで、扱うことができる問題のクラスを拡張すること、3) 例えば、2 つの項しかない命題から任意の数の項を持つ命題まで、扱うことができる応用範囲を拡大することによって、アリストテレスの論理学を「下へ、上へ、そして超越する」ことであった。

より具体的に言うと、ブールはアリストテレスの主張に同意していました。ブールの「相違点」と呼べるものがあるとすれば、それはアリストテレスが述べていない点に関するものです。第一に、基礎の領域において、ブールはアリストテレス論理の4つの命題形式を方程式の形式に還元しました。これはそれ自体が革新的なアイデアでした。第二に、論理の問題の領域において、ブールが論理に方程式解法を加えたこと（これもまた革新的なアイデアでした）は、アリストテレスの推論規則（「完全三段論法」）に方程式解法の規則を補足する必要があるというブールの教義を伴っていました。第三に、応用の領域において、ブールの体系は複数の項からなる命題や議論を扱うことができましたが、アリストテレスは2つの項からなる主語と述語の命題や議論しか扱うことができませんでした。例えば、アリストテレスの体系では、「正方形である四角形は、菱形である四角形ではない」から、「長方形である菱形である四角形は、四角形である正方形ではない」という結論を導き出すことはできなかった。

ブールの後、次の大きな進歩はドイツの数学者ゴットロープ・フレーゲによって成し遂げられた。フレーゲの目的は論理主義のプログラム、すなわち算術が論理と同一であることを証明することであった。^{[ 130 ]}フレーゲは論理に対する厳密かつ形式的なアプローチにおいて、先人たちをはるかに凌駕しており、彼の計算法または概念書は重要である。^{[ 130 ]}フレーゲはまた、数の概念は純粋に論理的な手段によって定義できることを示そうとした。したがって、（彼が正しければ）論理には算術と算術に還元可能なすべての数学分野が含まれることになる。彼はこれを提唱した最初の著述家ではなかった。彼の先駆的な著作『算術の基礎』第15～17節では、ライプニッツ、 J.S.ミル、そしてジェボンズの努力を認め、後者の「代数は高度に発達した論理であり、数は論理的識別である」という主張を引用している。^{[ 131 ]}

フレーゲの最初の著作である『概念スクリプト』は、2 つの結合子（否定と条件）、2 つの推論規則（モーダス・ポネンスと置換）、および 6 つの公理のみに依拠した、厳密に公理化された命題論理体系である。フレーゲはこの体系の「完全性」に言及したが、それを証明することはできなかった。^{[ 132 ]}しかし、最も重要な革新は、数学関数の観点から量化子を説明したことである。伝統的な論理では、「シーザーは人間である」という文は、「すべての人間は死ぬ」と基本的に同じ形式であるとみなされていた。固有名詞を主語とする文は普遍的であると見なされ、「すべてのシーザーは人間である」と解釈できた。^{[ 133 ]}フレーゲは当初、伝統的な「概念主語と述語」を放棄し、それぞれを「時の試練に耐える」と信じる引数と関数に置き換えた。彼は続けて、「内容を議論の関数とみなすことが概念の形成につながることは容易に理解できる。さらに、if、and、not、or、there is、some、allなどの単語の意味間のつながりを示すことは注目に値する」と述べている。^{[ 134 ]}フレーゲは、量化子表現「すべての人間」は「すべての人間」と同じ論理的または意味論的形式を持たず、普遍命題「すべてのAはBである」は、2つの関数、すなわち「-はAである」と「-はBである」を含む複雑な命題であり、最初の関数を満たすものは2番目の関数も満たすと主張した。現代の記法では、これは次のように表現される。

$\displaystyle \forall \;x{\big (}A(x)\rightarrow B(x){\big )}}$

英語では、「すべての x について、Ax ならば Bx」となります。このように、単数命題のみが主語述語形式であり、それらは還元不可能な単数形、つまり一般命題に還元できません。対照的に、普遍命題と特殊命題は、単純な主語述語形式ではありません。「すべての哺乳類」が「すべての哺乳類は陸生動物である」という文の論理的主語である場合、文全体を否定するには、述語を否定して「すべての哺乳類は陸生動物ではない」とする必要があります。しかし、これは当てはまりません。^{[ 135 ]}この日常言語の文の機能分析は、後に哲学と言語学に大きな影響を与えました。

これは、フレーゲの論理学では、ブールの「基本」命題は「二次」命題とは異なる方法で表現できることを意味する。「すべての住民は男性か女性のいずれかである」は

$\displaystyle \forall \;x{\Big (}I(x)\rightarrow {\big (}M(x)\lor W(x){\big )}{\Big )}}$

一方、「住民は全員男性である」または「住民は全員女性である」は

$\displaystyle \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow M(x){\big )}\lor \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow W(x){\big )}}$

フレーゲはブールの微積分学に対する批判の中で次のように述べている。

「本当の違いは、私が（ブール論理による）2つの部分への分割を避け、全体を均質に提示している点です。ブール論理では、2つの部分が並行して存在するため、一方が他方の鏡像のようになりますが、まさにその理由から、両者の間に有機的な関係はありません。」^{[ 136 ]}

フレーゲの論理学は、統一的かつ包括的な論理体系を提供するだけでなく、多重一般性という古くからの問題を解決した。「すべての少女が少年にキスをした」という曖昧さは、従来の論理学では表現しにくいが、フレーゲの論理学は量化子の異なるスコープによってこれを解決する。

$\displaystyle \forall \;x{\Big (}G(x)\rightarrow \exists \;y{\big (}B(y)\land K(x,y){\big )}{\Big )}}$

つまり、どの女の子にも、その女の子がキスした男の子（誰でもいい）が対応するということだ。しかし、

${\displaystyle \exists \;x{\Big (}B(x)\land \forall \;y{\big (}G(y)\rightarrow K(y,x){\big )}{\Big )}}$

これは、すべての女の子がキスをした特定の男の子がいることを意味する。この装置がなければ、論理主義のプロジェクトは疑わしいか不可能だっただろう。これを用いて、フレーゲは祖先関係、多対一関係、数学的帰納法の定義を提供した。^{[ 137 ]}

この時期は、デデキント、パッシュ、ペアノ、ヒルベルト、ツェルメロ、ハンティントン、ヴェブレン、ヘイティングなどを含む「数学学派」として知られる学派の活動と重なります。彼らの目的は、幾何学、算術、解析、集合論などの数学の分野を公理化することでした。最も注目すべきはヒルベルトのプログラムで、これはすべての数学を有限個の公理に基礎づけ、「有限主義的」な手段でその一貫性を証明し、あらゆる数学的命題の真偽を判定する手順を提供しようとしたものです。自然数の標準的な公理化は、ペアノ公理にちなんで名付けられました。ペアノは、数学記号と論理記号を明確に区別しました。フレーゲの業績を知らなかったにもかかわらず、彼はブールとシュレーダーの業績に基づいて独自に論理装置を再構築しました。^{[ 138 ]}

論理主義プロジェクトは、1901年にバートランド・ラッセルによってパラドックスが発見されたことで、ほぼ致命的な後退を被った。これは、フレーゲの素朴な集合論が矛盾を導くことを証明した。フレーゲの理論には、任意の形式的基準に対して、その基準を満たすすべての対象の集合が存在するという公理が含まれていた。ラッセルは、自分自身の要素ではない集合だけを含む集合は、その定義と矛盾することを示した（自分自身の要素でなければ自分自身の要素であり、自分自身の要素であればそうではない）。^{[ 139 ]}この矛盾は現在、ラッセルのパラドックスとして知られている。このパラドックスを解決する重要な方法の1つは、エルンスト・ツェルメロによって提案された。^{[ 140 ]}ツェルメロ集合論は最初の公理的集合論であった。それは、現在では標準的なツェルメロ・フレンケル集合論（ZF）に発展した。ラッセルのパラドックスを象徴的に表すと次のようになる。

${\displaystyle {\text{R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{とすると、}}R\in R\iff R\not \in R}}$

ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって書かれ、1910年から1913年にかけて出版された、数学の基礎に関する3巻からなる記念碑的な著作『プリンキピア・マテマティカ』にも、精緻な型の体系を用いてパラドックスを解決しようとする試みが含まれていた。すなわち、要素の集合は、その各要素とは異なる型を持つ（集合は要素ではなく、1つの要素は集合ではない）ため、「すべての集合の集合」について語ることはできない。プリンキピアは、記号論理学における明確に定義された一連の公理と推論規則から、すべての数学的真理を導き出そうとする試みであった。

1930年代は、メタ数学（数学的手法を用いてメタ理論、つまり他の数学理論に関する数学理論を生成する数学の研究）の発展において重要な時期であり、ゲーデルとタルスキの名前が支配的でした^。[ 141 ]^メタ数学の初期の研究は、ヒルベルトのプログラムによって推進されました。メタ数学の研究は、1929年に、与えられた一階述語論理式が論理的に妥当である場合、つまりその言語のすべての構造において真である場合に限り演繹可能であることを示したゲーデルの研究で頂点に達しました。これはゲーデルの完全性定理として知られています。1年後、彼はヒルベルトのプログラムが元の形では達成不可能であることを示す2つの重要な定理を証明しました。1つ目は、アルゴリズムやコンピュータプログラムなどの効果的な手順で定理を列挙できる一貫性のある公理系は、自然数に関するすべての事実を証明できないということです。このようなシステムでは、自然数に関する真であるがシステム内では証明できない命題が必ず存在する。 2つ目は、そのようなシステムが自然数に関するいくつかの基本的な事実を証明できる場合、システム自体の一貫性を証明できないということである。 これらの 2 つの結果は、ゲーデルの不完全性定理、または単にゲーデルの定理として知られている。 10 年後半、ゲーデルは、選択公理と連続体仮説がツェルメロ＝フレンケル集合論と整合していることを証明する際に、集合論的構成可能性の概念を発展させた。 証明論 では、ゲルハルト・ゲンツェンが自然演繹とシーケント計算を発展させた。 前者は、論理的推論が実際に「自然に」起こるようにモデル化しようとするもので、直観主義論理に最も容易に適用できる。一方、後者は、あらゆる形式システムにおける論理的証明の導出を明確にするために考案された。ゲンツェンの研究以来、自然演繹とシーケント計算は証明論、数理論理学、コンピュータ科学の分野で広く応用されてきた。ゲンツェンはまた、直観主義論理と古典論理の正規化定理とカット除去定理を証明し、論理証明を正規形に還元するために使用できることを明らかにした。^{[ 142 ]}

ルカシェヴィチの弟子であるアルフレッド・タルスキは、真理と論理的帰結の定義、および論理的充足の意味論的概念で最もよく知られています。1933年に彼は（ポーランド語で）形式化された言語における真理の概念を出版し、その中で真理の意味論を提唱しました。「雪は白い」のような文は、雪が白い場合に限り真である、というものです。タルスキの理論は、真理についての主張を行うメタ言語と、真理が主張されている文を含む対象言語を分離し、対象言語の句と解釈の要素との間に対応関係（Tスキーマ）を与えました。真理を説明するという難しいアイデアに対するタルスキのアプローチは、論理学と哲学、特にモデル理論の発展において、永続的な影響を与えてきました。[143] タルスキはまた、演繹システムの方法論^{、および完全}性、決定可能性、一貫性、定義可能性などの基本原理に関する重要な研究も行いました。アニタ・フェファーマンによれば、タルスキは「20世紀の論理学の様相を変えた」。^{[ 144 ]}

アロンゾ・チャーチとアラン・チューリングは、計算可能性の形式モデルを提案し、それぞれ1936年と1937年にヒルベルトの決定問題に対する独立した否定解を与えた。決定問題とは、任意の形式的な数学的命題が与えられた場合に、その命題が真であるかどうかをアルゴリズム的に判定する手順を求めるものであった。チャーチとチューリングは、そのような手順は存在しないことを証明した。チューリングの論文では、アルゴリズムによる解を持たない数学的問題の重要な例として、停止問題が紹介された。

チャーチの計算システムは現代のλ計算へと発展し、チューリングマシンは汎用計算装置の標準モデルとなった。他の多くの提案された計算モデルが、チャーチとチューリングが提案したものと同等の能力を持つことがすぐに示された。これらの結果から、人間が実行できる決定論的アルゴリズムはすべてチューリングマシンで実行できるというチャーチ＝チューリングのテーゼが生まれた。チャーチは、ペアノ算術と一階述語論理の両方が決定不能であることを示し、さらに決定不能性の結果を証明した。1940年代のエミール・ポストとスティーブン・コール・クリーネによる後の研究は、計算可能性理論の範囲を拡張し、解決不能性の度合いの概念を導入した。

20世紀初頭の数十年間の成果は、特に1950年代以降、様相論理、時間論理、義務論理、関連性論理といった分野において、分析哲学や哲学論理にも影響を与えた。

第二次世界大戦後、数理論理学は相互に関連しながらも独立した4つの研究分野、すなわちモデル理論、証明理論、計算可能性理論、集合論に分かれた。^{[ 145 ]}

集合論において、強制法は、モデルを構築し独立性の結果を得るための堅牢な方法を提供することで、この分野に革命をもたらした。ポール・コーエンは、ツェルメロ＝フレンケル集合論から連続体仮説と選択公理の独立性を証明するために、1963年にこの方法を導入した。^{[ 146 ]}彼の手法は、導入後すぐに簡略化および拡張され、その後、数理論理学のあらゆる分野の他の多くの問題に適用されてきた。

計算可能性理論は、1930年代と40年代のチューリング、チャーチ、クリーネ、ポストの研究に端を発している。それは抽象的計算可能性の研究へと発展し、再帰理論として知られるようになった。^{[ 147 ]} 1950年代にアルバート・ムチニクとリチャード・フリードバーグがそれぞれ独立に発見した優先法は、解けない度合いと関連構造の理解において大きな進歩をもたらした。高階計算可能性理論の研究は、集合論との関連性を示した。構成的解析と計算可能解析の分野は、古典的な数学定理の実効内容を研究するために発展し、これらは今度は逆数学のプログラムに影響を与えた。計算可能性理論の別の分野である計算複雑性理論も、記述的複雑性の研究の結果として論理的な用語で特徴づけられた。

モデル理論は、数理論理学の手法を応用して、特定の数学理論のモデルを研究する学問である。アルフレッド・タルスキはこの分野で多くの先駆的な業績を残しており、その名称は彼が発表した一連の論文『モデル理論への貢献』に由来する。1960年代には、アブラハム・ロビンソンがモデル理論的手法を用いて、ライプニッツが最初に提起した問題である、無限小に基づく微積分と解析学を開発した。

証明論においては、ゲオルク・クライゼルが考案した実現可能性法やゲーデルの弁証法解釈などのツールを通して、古典数学と直観主義数学の関係が明確化されました。この研究は、現代の証明マイニングの分野に影響を与えました。カリー・ハワード対応は、論理と計算の間の深い類似性として現れ、自然演繹体系とコンピュータ科学で使用される型付きラムダ計算との間の対応関係も含まれています。その結果、この種の形式体系の研究は、論理的側面と計算的側面の両方に取り組むようになり、この研究分野は現代型理論として知られるようになりました。順序分析や、パリス・ハリントン定理などの算術における独立結果の研究においても進歩がありました。

これはまた、特に1950年代以降、数理論理学の考え方が哲学的思考に影響を与え始めた時期でもありました。たとえば、時制論理は、時間に関して修飾された命題を表現し、推論するための形式化されたシステムです。哲学者アーサー・プライアーは、 1960年代にその発展に重要な役割を果たしました。様相論理は、形式論理の範囲を拡張して様相の要素（たとえば、可能性と必然性）を含みます。ソール・クリプキの考え、特に可能世界に関する考え、および現在クリプキ意味論と呼ばれる形式システムは、分析哲学に深い影響を与えました。^{[ 148 ]}彼の最もよく知られ、最も影響力のある著作は、命名と必然性（1980）です。^{[ 149 ]}義務論理は様相論理と密接に関連しています。義務、許可、および関連概念の論理的特徴を捉えようとします。1800年代初頭にボルツァーノが数学的論理と哲学的論理を融合させたいくつかの基本的な新奇性を示したが、アレクシウス・マイノングの弟子であるエルンスト・マリーが、ホワイトヘッドとラッセルの命題論理の構文に基づいて、彼の著書『義務論の基本法則』の中で最初の形式的な義務論体系を提案した。

第二次世界大戦後に創設されたもう一つの論理体系は、 1965年にアゼルバイジャンの数学者ロトフィ・アスケル・ザデによって考案されたファジー論理である。